(初中数学竞赛希望杯)与一元一次方程有关的问题

1、与一元一次方程有关的问题r小知识定位一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用 算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容， 它既是对前 所学知识一一有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、 函数等内容打下坚实的基础。一元一次方程是最简单的方程，也是进一步学习代数方程的基础，很多方程 都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的 基本方法和技巧.在解决各种关于一元一次方程的题型中，需要1 .体会方程思想在实际中的应 用，2.体会转化的方法，提升数学能力。知识梳理知识梳理1 一元一次方程的定义用等号连结两个代数式的

2、式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式.一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的.如果给等式中的文字（未知数）代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式.条件等式也称为方程.使方程成立的未知 数的值叫作方程的解.方程的解的集合，叫作方程的解集.解方程就是求出方程 的解集.只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是1的方程叫作一元一次方程.任何一个一元一次方程总可以化为 ax=b（a*05形式，这是一元一次方程的标准形 式（最简形式）.解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式a

3、x=b; （5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解.知识梳理2含字母系数方程的解法思考：ax=b是什么方程？在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求 awQ所以ax = b不一定是一元一次方程，我们把它称为含字母系数的方程。方程ax=b的解由a, b的取值来确定：(1)京卢0,则方程有唯一解区=-；a(2)若a=0,且b=0,方程变为0x=0,则方程有无数多个解；若a=0,且bwQ方程变为0x=b,则方程无解.知识梳理3含绝对值方程的解法解含绝对值方程，通常有两个方向。一是类似a =3时，a= 3,把绝对值符号中的式子作为一个整体，求得其值，如|5x-2=3,则5x-2=3或5x-2=

4、-3,进而再 解两个一元一次方程。其二是分类讨论，对绝对值符号里面的式子的符号进行讨 论。【试题来源】【题目】解方程22X =【答案】9【解析】解法1从里到外逐级去括号.去小括号得1 (1T311 3)3铲-中式力司于去中括号得1 (314135一句=去大括号得229373所以有13；解法2按照分配律由外及里去括号.去大括号得33X + 一44,化简为去中括号得23一区十 一32去小括号得555化简得V =- 836,所以 吊为原方程的解.解法3由外向里逐层去括号1123,?首先去掉最外层的括号 ,有一二一；（：/一 ） 九 + :3l 43门 22I I 9 .得-去掉中括号，得.43即,去

5、掉小括号，得.tJir no从而，151二,22a：=-9#对应知识梳理1【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】若关于x的一元2【选项】A. 27【答案】C【解析】本题考查基本概念方程的解2x-k x-3k ，一 一，次方程 +=1的解是 x=-1 ,贝U k的值是(32B. 1C. -13D. 011因为x=-1是关于x的一元一次方程2x -k x -3k =132的解,2 (-1) -k -1 -3k13所以- +=1 ,解得k= -3211#对应知识梳理1【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题

6、目】若方程 3x-5=4和方程1 空二x = 0的解相同，则a的值为多少？ 3【答案】a=2【解析】题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x,所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程中有 a与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法 求得a与x的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。解：3x-5=4,3x=9 ,x=33a - x因为3x-5=4与方程1= 0的解相同33a - x所以把x=3代入1= 0中3 3a -3 八 一即 1 0 倚 3-3a+3=0 , -3a=-6

7、, a=23#对应知识梳理1【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3b=ad -bc.d时，x=【试题来源】【题目】a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算ac(1)则12的值为; (2)当24=18-1 2(1 x) 5【答案】(1) 4; (2) 3【解析】此题将方程与代数式联系起来了。(1)即 a=1, b=2, c=-1 , d=2,因为=ad bc，所以=2- (-2) =424(1 _x) 5=18 得：10-4 (1-x) =18所以 10-4+4x=18,解得 x=3#对应知识梳理17L次方程有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【

8、题目】如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的(水水面高为h厘米,不考虑瓶子的厚度._La【选项】A. aa bbB.a bhC.a bD.【答案】A【解析】此题体现了方程的思想。左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解 决问题解：设墨水瓶的底面积为 S,则左图中墨水的体积可以表示为Sa设墨水瓶的容积为 V,则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb于是，Sa= V-Sb, V= S(a+b)由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为SaSaV S(a b)#对应知识梳理1次方程有关的问题【适用

9、场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】 小杰到食堂买饭，看到 A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了 2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买 了饭离开队伍，且 B窗口队伍后面每分钟增加 5人。此时，若小李迅速从 A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时,排队。【答案】26【解析】“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且 B窗口队伍后面每分钟增加于B窗口前的队伍每分钟减少 1人，有多少人5人”相当题中的等量关系为：小李在 A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间解：设开始时，每队有 x人在排

10、队，2分钟后，B窗口排队的人数为：x-6X 2+5X 2=x-2xx-21根据题意，可列方程：-二21462去分母得 3x=24+2(x-2)+6去括号得3x=24+2x-4+6移项得3x-2x=26解得x=26所以，开始时，有 26人排队。#对应知识梳理1【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程ax=b【答案】当aw0时，x =- a当a=0, b=0时，即0x=0,方程有任意解当a=0, bw0时，即 0x=b,方程无解b【斛析】(分类讨论)当aw。时，x= a当a=0, b=0时，即0x=0,方程有任意解当a=0, bw0时，即 0x

11、=b,方程无解 即方程ax =b的解有三种情况。#对应知识梳理2【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】无解。问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ： (1)有唯一解；(2)有无数解；(3)a - 4(1)当2+b刈，即bN2时，万程有唯一解 x = a，2 b(2)当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解，(3)当2+b=0且a-4w。时，即b=-2且aw4时，方程无解。先解关于 x的方程，把x用a、b表示，最后再根据系数情况进行讨论。解： 将原方程移项得 2x+bx=1+a-5 ,合并同类项得：(2+b

12、)x=a-4a - 4当2+b%,即b六2时，方程有唯一解 x =,2 b当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解，当2+b=0且a-4wo时，即b=-2且aw4时，方程无解，#对应知识梳理2【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】1 -x a bb ab【答案】当a+bw0时,2a 2bx =2a b当a+b=0时，方程有任意解【解析】根据题意，abw0,所以方程两边可以同乘 ab去分母,得 b(x-1)-a(1-x)=a+b去括号，得 bx-b-a+ax=a+b移项，并项得 (a+b)x=2a+2b2a 2b当 a+bw 0

13、时，x =2a b当a+b=0时，方程有任意解说明：本题中没有出现方程ax = b中的系数a=0, bw0的情况，所以解的情况只有两种。#对应知识梳理2【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】解下列方程5x-2,1【答案】x=1或x= -一5【解析】(分类讨论)5x-2=3, 5x=5, x=1x-,所以此时方程的解是x=15得到矛盾等式0=3,所以此时方程无解，_2当 5x-20 时，即 x一,5，_2当 5x-2=0 时，即 x=, 5, 一 2 当 5x-20 时，即 x ,51因为x=-A符合大前提5综上，方程的解为x=1卫因为x=1符合

14、大前提5x-2= -3, x= _ 15x0 时，即 x1, x-1=-2x+1, 3x=2, x= 3因为x=2不符合大前提x1,所以此时方程无解3当x-1=0时，即x=1, 0=-2+1, 0 =-1,此时方程无解当 x-10 时，即 x1, 1-x=-2x+1, x=0因为x=0符合大前提x1,所以此时方程的解为 x=0综上，方程的解为x=0#对应知识梳理3【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3一习题演练【试题来源】【题目】解下列方程:0 4x + 0,9 区 - 5 0 02x + 0,030.50.03（2）1 + - (1 - z)41 1 1(15X

15、1-6【解析】(1)(1) = 9 ; (2) a=21;即=一0 =(3) 二2击+ 3整理得1 +5(1 一 -W 14L + 11 - 工)1 + 大(1力& 1 千旦/1 + （1 ：） = 9,于是 5（1 工：）=-10 于是 1 f=-2C, .r = 21（3） = 2L I（X 1） 6 = -6L - 1 = 0, = 3 t【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】已知下面两个方程3(x+2)=5x ,4x-3(a-x)=6x-7(a-x) 有相同的解，试求 a的值.【答案】【解析】 本题解题思路是从方程中求出x的值，代入

16、方程，求出a的值.解 由方程可求得3x-5x=-6 ,所以x=3.由已知，x=3也是方程的解，根据方程解的定 义，把x=3代入方程时，应有4M-3(a-3)=6 3-7(a-3),7(a-3)-3(a-3)=18-12 ,所以4a = 18,所以日二4：. a【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程22(x+3)-3(x-a)=3a的解.x = 101.【答案】【解析】解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5.由题设知a+2=5,所以a=3.于是有 22(x+3)-3(x-3)=3

17、 3, -2x=-21 ,所以 = 10.【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】解下列关于 x的方程:a2(x-2)-3a=x+1 ;、3x + 2ab 1(2)ax + b 二-【答案】(1)当仃=1时，原方程无解;当. 时，方程的解为一切实数.当力丰.1且 1时，方程有唯一解当。=1且”方程的解为一切实数.a = 1且b f 时，方程无解, u41时，方程有唯一解上=3-6 4岫Get 6（3） 口 * 时，方程有唯一解r二hn二_h时，方程的解为一切实数.【解析】（1） I）j = 2（t + 35或0k2【解析】分析当方程数二V0时

18、，则方程的解是正数；反之，若方程 ax=b的解是正数，则 ab0成立.(3)若abv 0时，则方程的解是负数；反之，若方程 ax=b的解是负数，则 abv 0成立. 解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k 2-5k.要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k) 0.看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5).因为k2Q所以只要k5或k5时，原方程的解是正数，所以 k5或0v kv 2即为所求.【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】当k取何值时，关于 x的方程3(x+1)=5-kx ,分别有：正数解；(2

19、)负数解；(3) 不大于1的解.【答案】(1) #一3; (2)卜一3; (3)卜或十 |【解析】按未知数 x整理方程得(3 +舟父=2(1)要使方程有正数解，需要 3 +kC,即小)一：，；(2)要使方程有负数解，需要 3 +不,即卜式一3；2(3)要使方程有不大于 1的解，需要3 + k，C,此时方程有解且- 1r + 32若0,则3 +卜1，一力；k + 3若0 2,卜 - I k + 3 故人 一 1【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】若abc=1,解方程2 ax 2bs2 ex+=1 ab + a + 1 bc + b + 1

20、ca + c + 1_【答案】X = 2【解析】解 因为abc=1,所以原方程可变形为2 ax2b 笈2 ex+4- - 1ab + a + abc bc+b + 1 ca + c + 1化简整理为2(b + 1)k + 2cz bc + b + 1 ca + c + 12(b + l)x +2 ex be + b + abc ca + c + 1化简整理为2(b + l)x + 2b ex=)b(ca + c +1)2式 b + abc + be)=1bca + be + b所以x =4为原方程的解.说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简 化.【知识点

21、】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】 若a, b, c是正数，解方程m - a - b x - b - c h - c - a .+= 3.cab【答案】x=a+b+c【解析】解法1原方程两边乘以abc,得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc .移项、合并同类项得 abx-(a+b+c)+bcx-(a+b+c)+acx-(a+b+c)=0因此有x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0 .因为 a0, b0, c 0,所以 ab+bc+acwo,所以x-(a+b+c)=0 ,即x=a+b+c为原方程的解.解法

22、2将原方程右边的3移到左边变为-3,再拆为三个-T,并注意到s - a - b x a - b - c1 二cc其余两项做类似处理.设m=a+b+c,则原方程变形为cab所以因为a0, bOt c0,所以工+ 1 +所以x.m = 0,cab即 x-(a+b+c)=0 .所以x=a+b+c为原方程的解.说明 注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一.【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】 设n为自然数，x表示不超过x的最大整数，解方程：/ s +1)笈 + 2五+ 3幻 +4料+幻 .【答案】x=n(n+1)【解析】分析

23、 要解此方程，必须先去掉,由于n是自然数，所以n与(n+1)中必有一个是偶数，因此1r是整数.因为因是整数，2国, 34，nx都是整数，所以x必是整数.解 根据分析，x必为整数，即x=x,所以原方程化为.n2(n +l)ax + 2x + 4x+nx - 合并同类项得(1 + 2 + 3+-+n)x =故有n(n + 1)dQ+l尸. =22所以x=n(n+1)为原方程的解.【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值.【答案】2【解析】解由原方程可解得9a = -z -

24、14210因为a为自然数，所以啦是大于142的整数.所以g .7x142,即笈157g.Q又因为笈为自然数，要使充算为整数，K必须是10的倍数，而且为使a最小，所以x应取x=160.所以9a = r X 160 - 142 = 2.10所以满足题设的自然数 a的最小值为2.说明本题实际上是求a =上-142的最小自然数解. IDx【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】 2，一【题目】已知|2-卷|=4,则x的值是()【选项】A.-3B. 9C. - 3 或 9D.以上结论都不对【答案】C【解析】分析：绝对值为 4的数是M,从而可去掉绝对值符号，计算

25、即可.1.2斛：3分别解两个方程，即得结果 x= - 3或9点评：本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的思路有通分，移项，左右同乘除等.【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】已知关于 x的方程|5x-4|+a=0无解, 解，则化简|a- c|+|c- b| - |a b|的结果是（【选项】A. 2aB. 2b【答案】D【解析】根据关于 x的方程|5x- 4|+a=0无解, 解，可判断出a, b, c的取值范围，进而求解.|4x- 3|+b=0 有两个解，|3x- 2|+c=0 只有一个 )C. 2cD.0|4x- 3|+b=0

26、有两个解，|3x- 2|+c=0 只有一个解：根据关于x的方程|5x-4|+a=0无解，可得出：a0,由|4x - 3|+b=0有两个解，可得出：b0,由|3x-2|+c=0只有一个解，可得出； c=0,故 |a c|+|c- b|- |a- b| 可化简为:|a|+|b|a b|=a- b- a+b=0.故选D.点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是根据已知条件判断出 a,b, c的取值范围.然后化简.【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】方程|2007x - 2007|=2007的解是（）【选项】A.0B. 2C.

27、1或2D. 2或0【选项】D【解析】分别讨论 x冶，xvl,可求得方程的解.解：当x*时，原方程可化为：2007x - 2007=2007 ,解得：x=2 ,当x1 时，原式=x - x+1 - x+1+x=1 ,2=1显然不成立，故舍去.(2)当 0Vxv 1 时，原式=| (x 1) x| (1x) +x,=|- 2x+1| - 1+2x,=2x - 1 - 1+2x,=4x 2,又丁原式=1,4x 2=1 ,3 x=.4故选c .点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的最基本的计算，难易适中.【知识点】与一元一次方程有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如果方程|3x| - ax- 1=0的根是负数，那么 a的取值范围是()【选项】A. a3B. amC. a 3D. a3,av 3,再去绝对值符号进行 求解.解：原方程为|3x|=ax+1 . 若 a=3,则 |3x|=3x+1 .当 xv 0 时，-3x=3x+1 , x=-工；当x用时，3x=3x+1 ,不成立；当a=3时，原方程的根为：x=-士；6若 a 3,当 xv 0 时，-3x=ax+1，.= x= -L0时，3x=ax+1 ,x=- 3时，原方程的解为：x= L0.若 a0时，3x=