一元一次方程的解法1

1、考前须知(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的,去分母后应加上括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号(1)移项要变号(2)不要丢项初中数学中考专题复习?一元一次方程的解法?【目标】1,熟悉解一元一次方程的一般步骤,理解每步变形的依据;2,掌握一元一次方程的解法,体会解法中蕴涵的化归思想;3,进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【知识点整理】知识点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名具体做法称在方程两边都乘以各分母的 去分母最小公倍数先去小括号,再去中括号,去括号最后去大括号把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方 移项程的另一边(记住移项要变 合并同 把方程化

2、成ax= b(a手0)的字母及其指数不变类项 形式系数化在方程两边都除以未知数的人不要把分子、分母写颠倒成1系数a,得到方程的解x=b.a知识点解析：(1)解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,而且也不一定要按 照自上而下的顺序,有些步骤可以合并简化.(2)去括号一般按由内向外的顺序进行,也可以根据方程的特点按 由外向内的顺序进行.(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时,一般先利用分数的性 质将分母变为整数后再去分母,注意去分母的依据是等式的性质,而 分母化整的依据是分数的性质,两者不要混淆.知识点二、解特殊的一元一次方程1 .含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去, 使之成为一

3、般的一元一次方程, 化去绝对值的依据是绝对值的意义.知识点解析：此类问题一般先把方程化为|ax + b=c的形式,再分类讨 论：当c<0时,无解；当c = 0时,原方程化为：ax + b = 0; (3)当 c>0时,原方程可化为：ax + b =cm!cax + b = -c.2 .含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式 ax=b,再分三种情况分类讨论：(1)当a#0时,x = b； (2)当a=0, b= 0时,x为任意有理数；(3) a当a=0, b?0时,方程无解.【例题分类与解析】一、解较简单的元次方程例题1.解以下方程3(1) 4gm = m(2)

4、-5x+6+7x=1+2x-3+8x【答案】解：(1)移项,得-3m+m = Y.合并,得2m = -4.系数化为1,得m 55= -10.(2) 移项,得-5x+7x-2x-8x =1-3-6 .合并,得-8x=-8.系数化为1,得x= 1.【总结】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边,把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边.(2)合并：即通过合并将方程化为 ax = b(a#0)的形式.(3)系数化为1:即根据等式性质2:方程两边都除以未知数系数a,即得方程的解x. a举一反三：【变式】以下方程变形正确的选项是().A .由 2

5、x-3=-x-4 ,得 2x+x=-4-3B .由 x+3=2-4x ,得 5x=5C .由-2x = 3,得 x=-1 32D .由 3=x-2 ,得-x =-2-3【答案】D例题2.解方程：2 x(1) x-5=+3；(2)15.4x+32 = 0.6x.3 2【答案】解：(1) x -5 = +3 . 32移项,合并得1x=8.6系数化为1,得x = 48.15.4x+32=-0.6x .移项,得 15.4x+0.6x =-32 .合并,得16x= -32.系数化为1,得x = -2 .【总结】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左

6、边,把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边.(2)合并：即通过合并将方程化为 ax = b(a#0)的形式.(3)系数化为1:即根据等式性质2:方程两边都除以未知数系数a,即得方程的解x5. a举一反三：【变式】以下方程的解法对不对如果不对,错在哪里应当怎样改正3x+2 = 7x+5解：移项得3x+7x=2+5,合并得10x = 7.,系数化为1得乂=工.10【答案】以上的解法是错误的,具错误的原因是在移项时没有变号,也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x,方程左边的2 移到方程右边应变为-2.正确解法：解：移项得3x-7x =5-2 , 合并得-4x = 3,系数化为1得x =

7、.4二、去括号解一元一次方程 例题1.解方程：1 2 2x 1=10x 723-2x1=2x-3【思路】方程中含有括号,应先去括号再移项、合并、系数化为1,从而解出方程.【答案】(1)去括号得：4x+2=10x + 7移项合并得：-6x = 5 解得：x = -5 6 (2)去括号得：3-2x-2 = 2x-6移项合并得：-4x = -7解得：x=74【总结】去括号时,要注意括号前面的符号,括号前面是“十号,不变号；括号前面是“-,各项均变号.举一反三：【变式】(四川乐山)解方程：5(x-5)+2x =-4 .【答案】解： 去括号得：5x-25+2x = -4 .移项合并得：7x =21.解得

8、：x = 3.例题 2.解方程：1x-1(x -1) = |(x-1).解法1:先去小括号得：lx-1x 1=2x-2.22233再去中括号得：一工/二244 33移项,合并得：力x-11 .1212系数化为1,得：x=X. 5解法2:两边士乘以2,去中括号得：x-1 (x-1) =4 (x-1).去小括号,并移项合并得：-5x = -M 解得：乂 =岂. 665解法 3:原方程可化为：1(x-1) 1 -1(x-1) =2(x-1) 223去中括号 得 l(x -1)+1 -1(x-1) = -(x-1).22 43移项、合并,得-(x-1) = -1.122解得x=?【总结】解含有括号的一

9、元一次方程时,一般方法是由内到外或由外 到内逐层去括号,但有时根据方程的结构特点,灵活恰当地去括号, 以使计算简便.例如此题的方法3:方程左、右两边都含x-1,因此将方程左边括号内的一项x变为x-1后,把x-1视为一个整体运 算.例题3.解方程:11111口 1 'lx-1 -1 匚111 = 0 .2|2上12J 1 J解法1:层层去括号去小括号1 1 1-4 1 .|一2 2 |14去中括号1 111x1-1=0.2 842去大括号一 x -168移项、合并同类项,得系数化为1,得x=30.解法2:层层去分母移项,得2傀3卜卜/两边都乘2 得1 1 lx-1 -12 IL2 2 1

10、=2.移项,得111x.1 -1 =3.2|!_22两边都乘2, W - 1 - x -1 |-1=6.2 2移项,得L-11=7,两边都乘2,彳- x-1 =14 . 2 22移项,得1x=15,系数化为1,得x=30.【总结】此题既可以按去括号的思路做,也可以按去分母的思路做.举一反三：【变式】解方程111 J'lx-1 |1-641.2i3Ui5)一 j【答案】解：方程两边同乘2,彳#1 |1'-x-1 -61+ 4 = 2.3 U15J 一移项、合并同类项,得I1111!x-1 1-61=-2.3 _4 5两边同乘以3,得x -1 -6 = -6 .4 5移项、合并同类

11、项,得1x-1=0.4 5两边同乘以4,得x -1 = 0 .5移项,得k=1,系数化为1,得x=5.5三、解含分母的一元一次方程例题1.解方程：2+心十上3=1.6 23【答案】解法 1:去分母,得(4x+3)+3(4x+3)+2(4x+3) =6.去括号,得 4x+3+12x+9+8x+6= 6.移项合并,得24x= -12,系数化为1,得x =.2解法2:将“4x+3看作整体,直接合并,得 6(4x+3) =6,即4x+3 =1,移项,得4x= -2 ,系数化为1,得x =.2【总结】对于解法1:(1)去分母时,“1不要漏乘分母的最小公倍 数“6；(2)注意适时添括号3(4x+3)预防出

12、现3X4x+3.对于解法2: 先将“4x+3看作一个整体来解,最后求x.举一反三：x-232x 5 x -1一=-146【答案】解：去分母得：4(x-2) -3(2x 5)-2(x-1)-12去括号得：4x -8-6x-15 = 2x-2-12合并同类项,得：Yx=9系数化为1,得x=-9.4例题2.解方程:4x-1.5 5x-0.8 _1.2-x0.50.2 - 0.1【思路】先将方程中的小数化成整数,再去分母,这样可预防小数运 算带来的失误.【答案】解法1：将分母化为整数得：生立竺一&=3521约分,得：8x-3-25x+4 =12-10x .移项,合并得：x = .U .7解法2

13、:方程两边同乘以1,去分母得：8x-3-25x+4 =12-10x .移项,合并得：x = U.7【总结解此题一般是先将分母变为整数,再去分母,如解法 1；但有时直接去分母更简便一些,如解法 2.举一反三：【变式】解方程043 一吐吗=1. 0.50.3【答案】解：原方程可化为9.3_空=1. 53去分母,得 3(4y+9)-5(3+2y) =15.去括号,得 12y+27-15-10y = 15.移项、合并同类项,得2y = 3.系数化为1,得y =3.2四、解较复杂的一元一次方程例题 1.解方程：-0.17-0.2x =1 0.70.03【思路】先将方程中的小数化成整数,再去分母,这样可预

14、防小数运算带来的失误.【答案】原方程可以化成：小-1Z- =173去分母,得：30x-7(17-20x) =21.去括号、移项、合并同类项,得：170x= 140.系数化成1,得：x = .17【总结解此题的第一步是利用分数根本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数,以使分母化整,与去分母方程两边都乘以分母的最小公 倍数要区分开.例题 2.解方程：1x 1(x-1) = 2(x1) 223解法1：先去小括号得： "一为)=2-22 2233再去中括号得：Jx-IxJmZx-Z244 33移项,合并得：-幺x-111212系数化为1,得：x J5解法2:两边士乘以2,去中括号得：x-2(x

15、-1) = 4(x-1)去小括号,并移项合并得：5x = -H,解得：x ="665解法3:原方程可化为：1(x-1) 1(x-1)=2(x-1) 223去中括号 得 l(x -1) 1 -1(x-1) =-(x-1) 22 43解得x=移项、合并,得-(x-1)=-1 1225【总结】解含有括号的一元一次方程时,一般方法是由里到外或由外 到内逐层去括号,但有时根据方程的结构特点,灵活恰当地去括号,以使计算简便.例如此题的方法3:方程左、右两边都含(x-1),因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后,把(x-1)视为一个整体运算.举一反三：【变式】32(- -1)-2.x=22

16、3 4【答案】解：去中括号得：(-1)-3 2-x-242去小括号,移项合并得：一0 x = 6,解得x = -84五、解含绝对值的方程例题1.解方程|x|-2 = 0【答案】解：原方程可化为：|x=2当x A 0时,得x=2,当 x<0 时,得-x=2,即,x = -2 .所以原方程的解是x = 2或x = -2.【总结】此类问题一般先把方程化为 2乂5的形式,再根据ax的正负 分类讨论,注意不要漏解.例题2.解方程：3|2x|-2 =0 .【思路】将绝对值里面的式子看作整体,先求出整体的值,再求 x的 值.【答案】解：原方程可化为：2x=| .当XA0时,得2x = 2,解得：x,3

17、 3当X<0时,得_2x=2 ,解得：x =, 33所以原方程的解是乂=3或乂=一3.【总结】此类问题一般先把方程化为|ax + b=c的形式,再根据ax+b的正负分类讨论,注意不要漏解.举一反三：【变式】解方程|x-2|-1 =0.【答案】解：原方程可化为：|x-2|=1 ,当x-2 >0,即x>2时,原方程可化为 x-2 = 1,解得 x = 3;当x-2<0,即x<2时,原方程变形为-x-2=1 ,解得x=1.所以原方程的解为x = 3或x=1.六、解含字母系数的方程例题1.解关于x的方程：mx-1 = nx【答案】解：原方程可化为：m-nx=1当m-n#0

18、,即m#n时,方程有唯一解为：x =;m - n当m-n=0,即m = n时,方程无解.【总结】解含字母系数的方程时,先化为最简形式ax=b,再根据x系 数a是否为零进行分类讨论.举一反三：【变式】假设关于x的方程k-4x=6有正整数解,求自然数k的值.【答案】解：原方程有解,k-4 = 0原方程的解为：x=-6-为正整数,.k4应为6的正约数,即k 4可 k -4为：1, 2, 3, 6k 为：5, 6, 7, 10答：自然数k的值为：5, 6, 7, 10.一元一次方程的解法高效稳固练习A一、选择题1.以下方程解相同的是.A.方程5x+3 = 6与方程2x = 4B.方程3x = x+1与

19、方程2x =4x-1C.方程x+1=0与方程"x1=0 22D.方程6*-35*-2=5与方程6乂-15乂 = 32 .以下解方程的过程中,移项错误的选项是.A .方程 2x+6= -3 变形为 2x=-3+6B .方程 2x-6 = -3 变形为 2x=-3+6C.方程3x= 4-x变形为3x+x=4D .方程4-x = 3x变形为x+3x=43 .方程的解是 .4 31 _4_3A.x=12B .x = C.x = D.x = -12344.对方程22x-1-x-3=1,去括号正确的选项是.A . 4x-1-x-3 = 1 B. 4x-1-x+3 = 1 C. 4x-2-x-3

20、= 1D. 4x-2-x+3 = 15.方程3-、1 = 0可变形为.A. 3-x-1 =0 B . 6-x-1 =0 C . 6-x+1 =0 D . 6-x+1 =26 . 3x-12的值与互为倒数,那么x的值为. 3A . 3 B . -3 C . 5 D . -57 .解方程笠口一空1=1时,去分母,去括号后,正确结果是. 36A . 4x+1-10x+1 = 1 B . 4x+2-10x-1 =1 C . 4x+2-10x-1=6 D . 4x+2-10x+1=68 . 2021山东日照某道路一侧原有路灯106盏,相邻两盏灯的距离为36米,现方案全部更换为新型的节能灯,且相邻两盏灯的

21、距离变为70米,那么需更换的新型节能灯有.A 54 盏 B . 55 盏 C . 56 盏 D . 57 盏二、填空题9 . 1方程2x+3=3x-2,利用:可变形为2x-3x=-2-3 ,这种 变形叫.2方程-3x = 5,利用,把方程两边都 ,把x的 系数化为1,得x =.10 .方程2x-kx+1 =5x-2的解是x = -1 , k的值是.11 .如果式子2x+3与x-5的值互为相反数,那么x=.12 .将方程 为+上+为+人去分母后得到方程2439613 .(黔东南州)在有理数范围内定义一种运算“冰,其规那么为2b = a-b.根据这个规那么,求方程(x-2)1 = 0的解为.14

22、. 一列长为150m的火车,以15m/s的速度通过600m的隧道,那么这列火车完全通过此隧道所需时间是 s.三、解做题15 .解以下方程：(1)4(2x-1)-3(5x+2)= 3(2-x);0.1x-0.2 x 1 =3 .0.020.516 .式子12-3(9-y)与5(y-4)的值相等,求2y(y2+1)的值.17 .小明的练习册上有一道方程题,其中一个数字被墨汁污染了,成为3x11 = 1 一匕 他翻看了书后的答案,知道了这个方程的解是 L554于是他把被污染了的数字求出来了,请你把小明的计算过程写出来.【一元一次方程的解法高效稳固练习 A答案与解析】一、选择题1 .【答案】B【解析】

23、将各项中的两个方程解出后,再看解是否相同.2 .【答案】A【解析】A中移项未改变符号.3 .【答案】C【解析】系数化为1,两边同乘以4即可.4 .【答案】D【解析】A中,去掉第1个括号时第二项漏乘,去掉第 2个括号 时,-3没变号；B中,去掉第1个括号时第二项漏乘；C中,去掉第 2个括号时,-3没变号.5 .【答案】C【解析】A中,去分母时3没有乘以2,-1没变号；B中,去分母 时-1没变号；D中,等号右边0乘以2应是0,而不应是2.6 .【答案】A【解析】-3x-12与互为倒数,所以3x-12=-3, x=3.37 .【答案】C【解析】两边同乘以 6得：2(2x + 1)-(1CX+ 1&g

24、t; 6,再去括号得：4x +2-10x-1 =6.8 .【答案】B【解析】设有x盏,那么有(x -1)个灯距,由题意可得： 36(106 -1)=70(x7),解得：x = 55.二、填空题除以9 .【答案】1等式性质1, 移项；2等式性质2,-3,5一310 .【答案】k = -6【解析】将x = -1代入得：2+k+1 = 5 2,解得：k = -6.11 .【答案】23【解析】由题意可得2x十3+x-5=0, 3x=2, x=2.312 .【答案】43x=6【解析】将方程两边乘以36,得18x+9x+12x+4x= 6.13 .【答案】x = 3【解析】根据规那么得：x-2-1 =0,

25、 x=3.14 .【答案】50三、解析随但15解做题= 50(秒).15.解:(1)8x-4-15x-6=6-3x8x-15x+3x= 6+4+6-4x=16=-41-x C x-2 x -=3-6x-3(1-x)= 18-2(x-2)11x=2525x 二一11(3)原方程可化为：10x;20_10x；10=3,约分得：5x-10-(2x+2)=3,去括号得5x-10-2x-2 =3,移项及合并,得3x=15,系数化为 1,得 x = 5.16 .【解析】解：12-3(9-y)=5(y-4),解方程得:c ,2c 52y(y 1)=2 2十1| = 5/"+11=5父竺二把 U )

26、4417 .【解析】解：将x代入,得:43 111 55解得：*=3.所以被污染的数字为3.一元一次方程的解法高效稳固练习B一、选择题1 .关于x的方程3x+5=0与3x+3k= 1的解相同,贝U k的值为()A . -2 B , - C , 2 D ,-332 .以下说法正确的选项是()A .由 7x=4x-3 移项得 7x-4x =-3B .由1=1 + 等去分母得 22x-1 = 1+3x-3C .由 22x-1-3x-3= 1 去括号得 4x-2-3x-9 =4D .由2x-1 =x+7移项合并同类项得x = 53 .将方程 2一七1=1去分母得到方程6x-3-2x-2 =6,其错误的

27、原 23因是.A .分母的最小公倍数找错B .去分母时,漏乘了分母为1的项C .去分母时,分子局部的多项式未添括号,造成符号错误D .去分母时,分子未乘相应的数4 .解方程勺-30=7 ,较简便的是.5 4A .先去分母 B .先去括号 C .先两边都除以- D .先 5两边都乘以4 55 .小明在做解方程作业时,不小心将方程中一个常数污染了看不清楚,被污染的方程是：2yHy+ ,怎么办呢小明想了想,便翻 看了书后的答案,此方程的解是y = |,于是小明很快补上了这个常数, 并迅速完成了作业.同学们,你们能补出这个常数吗它应是.A . 1 B . 2 C . 3 D . 46 .山东日照某道路

28、一侧原有路灯106盏,相邻两盏灯的距离为36米,现方案全部更换为新型的节能灯,且相邻两盏灯的距离变为 70米,那么需更换的新型节能灯有.A 54 盏 B . 55 盏 C , 56 盏 D . 57 盏7. 表示一种运算符号,其意义是aAb = 2a -b,假设必1A3 = 2,那么x等于.A. 1 B. 1C. - D. 2228 .关于x的方程3m +8nx +7 =0无解,那么mn是 .A.正数二、填空题B.非正数C.负数D.非负数(2)3一g=4.也二5102 '129 .福建泉州方程|x|=2,那么方程的解是10 .当x= 时,x士的值等于2. 311 .关于x的方程的3ax

29、=3+3解是4,那么一a2.2a=.2212 .假设关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,那么整数 a的值 是.13 .关于x的方程mx + 3 = 2x m的解满足x 2-3 = 0,那么m的值是14 . a、b、c、d为有理数,现规定一种新的运算：a b=ad-bc,那 c d么当2 4=18时,那么乂=.1 -x 5三、解做题15 .解以下方程:(1)(3)0.15x 0.1300730x 20""30d 0.3x 0.1二1 0.216 .解关于x的方程:(1) 4x+b=ax-8; (2) (m1)x = (m1)(m2)(3) (m1)(m 2)x = m

30、 117 .如下图,用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD其中,GH=2cm GK=2cm 设 BF=xcm(1)用含x的代数式表示 CM= cm, DM= cm .(2)假设DC=10cm求x的值.(3)求长方形ABCD勺面积.【一元一次方程的解法高效稳固练习B答案与解析】一、选择题1 .【答案】C【解析】方程3x+5=0的解为x =-夕,代入方程3x+3k= 1,再解方 3程可求出k.2 .【答案】A【解析】由7x=4x-3移项得7x-4x=-3; B.四/口十立3去分母 32得 2(2x-1) = 6+3(x-3) ;C.把 2(2x-1)-3(x-3)= 1 去

31、括号得 4x-2-3x+9=1; D. 2(x-1) =x+7, 2x-2=x+7, 2x-x=7+2, x = 93 .【答案】C【解析】把方程2x丁=1去分母,得 3(2x-1)-2(x-1)=6,6x-3-2x+2 = 6与6x-3-2x-2 = 6相比拟,很显然是符号上的错误.4 .【答案】B【解析】 由于f与刍互为倒数,所以去括号它们的积为1.545 .【答案】B【解析】设被污染的方程的常数为 k,那么方程为2y=1y + k ,把2 2y=5代入方程得"一1=5+k,移项得_k=31 一,合并同类项得-k33 2 66 2 3=-2,系数化为1得k=2,应选B.6 .【答案】B【解析】设有x盏,那么有(x1)个灯距,由题意可得：36(106 -1)=70(x7),解得：x = 557 .【答案】B【解析】由题意可得：表示 2倍的第一个数减去第二个数, 由止匕可得：1A3=2父1 3=1 ,而 x