【精品】知识要点空间直角坐标系可编辑

1、知识要点-空间直角坐标系作者 日期第5讲空间直角坐标系知识梳理1.右手直角坐标系右手直角坐标系的建立规那么：x轴、y轴、z轴互相垂直,分别指向右手的拇指、食指、中指；点的坐标P(x,y,z)作点的方法与步骤(路径法)：沿x轴正方向(x 0时)或负方向(x 0时)移动|x|个单位,再沿y轴正方向(y 0时)或负方向(y 0时)移动|y|个单位,最后沿x轴正方向(z 0时)或负方向(z 0时)移动|z|个单位,即可作出点点的位置求坐标的方法：过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A,B,C ,点A,B,C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a,b, c ,那么(a,b,c)就是点P的坐标2、在x轴上

2、的点分别可以表示为(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c),在坐标平面xOy , xOz , yOz内的点分别可以表示为(a,b,0), (a,0,c), (0,b,c);3、点P(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a, b, c)点P(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(a,b, c);点P(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(a, b,c);点P(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b, c);点P(a,b,c)关于坐标平面xOz的对称点为(a, b,c);点P(a,b,c)关于坐标平面yOz的对称点为(a,b,c);点P(a,b,c)关于原点的对称点(a, b,

3、c).4.空间两点P(Xi,Yi,Zi)Q(X2,Y2,Z2),那么线段PQ的中点坐标为(Xi X2 yi y2 Z1 Z2.2,2,25.空间两点间的距离公式空间两点 P(Xi,yi,Zi)Q(X2,y2,Z2),那么两点的距离为 |PQ| J(Xi X2)2 (% y2)2 (Zi z?)2 , 特殊地,点A(x, y, z)到原点O的距离为| AO |,x2 y2 z2 ;5.以C(xo, yo,Zo)为球心,r为半径的球面方程为 2222(X Xo)(y yo)(Z Zo)r特殊地,以原点为球心,r为半径的球面方程为x2 y2 z2 r2重难点突破重点：了解空间直角坐标系,会用空间直角

4、坐标系表示点的位置,会推导和使用空间两点间的距离公式难点：借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比,熟悉空间点的对称及坐标间的关系重难点：在空间直角坐标系中,点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用I .借助空间几何模型进行想象,理解空间点的位置关系及坐标关系问题I:点P(a,b,c)到y轴的距离为解析借助长方体来思考,以点O,P为长方体对角线的两个顶点,点 P(a,b,c) 到y轴的距离为长方体一条面对角线的长度,其值为Ja2 c22.将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题 2:对于任意实数 x,y,z,求 Jx2y2z2J(xi)2(y2)2(zi)2的最小值解析在空间直角坐标系中, 打

5、y2 J(x 1) (y 2) (z 1)表示 空间点(x, y,z)到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)的距离之和,它的最小值就是 点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的线段长,所以Jx2y2z2J(x1)2(y2)2(z1)2的最小值为 娓.3.利用空间两点间的距离公式,可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直(2)判断空间三点是否共线(3)得到一些简单的空间轨迹方程热点考点题型探析考点1:空间直角坐标系 题型1:熟悉空间直角坐标系 例1 (1)在空间直角坐标系中,y a表示A. y轴上的点BC .垂直于y轴的平面D .平行于y轴的直线(2)在空间直角坐标系中,方程y x

6、表示A.在坐标平面xOy中,1, 3象限的平分线B .平行于z轴的一条直线C .经过z轴的一个平面D.平行于z轴的一个平面【解题思路】熟悉空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中,方程x 1表示所有横坐标为1的点的集合解析(1) y a表示所有在y轴上的投影是点(0,a,0)的点的集合,所以y a表示经过点(0, a,0)且垂直于y轴的平面(2)方程y x表示在任何一个垂直于z轴的一个平面内,1, 3象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们熟悉空间直角坐标系(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题.如：经过点(a,0,0)且垂

7、直于x轴的平面上的点都可表示为(a,y,z)题型2:空间中点坐标公式与点的对称问题例2 点P(a,b,c)关于z轴的对称点为Pi,点Pi关于平面xOy的对称点为P2,那么巳的坐标为【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系,得到空间直角坐标系中的对称关系解析因点P和P关于z轴对称,所以点P和P的竖坐标相同,且在平面xOy的射影关于原点对称,故点Pi的坐标为(a, b, c),又因点Pi和巳关于平面xOy对称,所以点巳坐标为(a, b, c)【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例2中可以直接得出点巳为点P(a,b,c)关于原点的

8、对称点,故坐标为(a, b, c)【新题导练】1 .正四棱柱ABCD ABiGDi的顶点坐标分别为A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0) , Ai (0,0,5),那么 Ci 的坐标为.解析正四棱柱ABCD ABGDi过点A的三条棱恰好是坐标轴,Ci的坐标为(2, 2, 5)2 .平行四边形ABCD的两个顶点的的坐标为A( 1,1,3), B(3,2, 3),对角线的交点为M (1,0,4),那么顶点C的坐标为 , 顶点D的坐标为解析由得线段AC的中点为M ,线段BD的中点也是M ,由中点坐标公式易得C(3, 1,5) , D( 1, 2,11)3 .M (4,3, 1),记

9、M到x轴的距离为a , M到y轴的距离为b , M到z轴的距离为c,那么()A. a b c B . c b a C .cab D . b c a解析借助长方体来思考,a、b、c分别是三条面对角线的长度.a 而,b V17,c 5,选 C考点2:空间两点间的距离公式 题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题点P ,在Oy轴上是X例3 如图：点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意否存在一点B ,使得PAAB包成立假设存在,求出B说明理由.【解题思路】转化为距离问题,即证实 PA2 AB2 PB2解析设 P(0,0,c) B(0,b,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P ,假设在Oy轴上存在一

10、点B ,使得PA AB包成立,贝U PA2 AB2 PB2222222222(0 1)(0 1) (c 0) (1 0)(1 b) (0 0) (0 0)(0 b) (c 0)即 3 (b 1)2 b2 ,解得：b 2所以存在这样的点B ,当点B为(0,2,0)时,PA AB包成立【名师指引】在空间直角坐标系中,利用距离可以证实垂直问题.此外,用距 离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹.【新题导练】4, A(x,5 x,2x1),B(1,x 2,2 x),当A,B两点间距离取得最小值时,x的值为()1914解析| AB|.(x 1)2 (3 2x)22(3x 3)214x2 12x

11、198 2514(x)77A. 19| AB |取得最小值5.球面22(x 1)2(y 2)2 (z23)29,与点A( 3,2,5),那么球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是 解析球心C(1, 2,3), AC 6,球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是9和36.三点A( 1,1,2),B(1,2, 1),C(a,0,3),是否存在实数a ,使A、B C共线假设存在,求出a的值；假设不存在,说明理由.解析AB ( 1 1)2 (1 2)2 (2 1)2AC,( 1 a)2 (1 0)2 (23)2, (a1)22 ,BC,(1a)2(2 0)2 ( 13)2,(a1)220 ,由于

12、BC AB ,所以,假设A,B,C三点共线,有BC AC AB或AC BC AB ,假设BC AC AB,整理得：5a2 18a 19 0 ,此方程无解;假设AC BC AB,整理得：5a2 18a 19 0 ,此方程也无解.所以不存在实数a ,使A、B、C共线.抢分频道根底稳固练习1 .将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时,我们通常将x轴与y轴,x轴与z轴所成的角画成()A. 900 B . 1350 C .45 0 D . 75解析：选B2 .点P(3,4,5)在yoz平面上的投影点R的坐标是()A (3,0,0) B . (0,4,5) C . (3,0,5) D .(3,4,0)解析：

13、两点的纵坐标、竖坐标不变,选 B3 .三棱锥 O ABC 中,O(0,0,0),A(2,0,0), B(0,1,0),C(0,0,3)此三棱锥的体积为()A. 1 B . 2 C . 3D . 61 1解析OA,OB,OC 两两垂直,Vo abc 1 1 1 2 3 13 24. (2007山东济宁模拟)设点B是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点,那么|AB|等于()A. 10 B .丽C.43D . 38解析A点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点为B(2, 3, 5),AB , (2-2)2一13(-3)25-(-5)2 105. (2007年湛江模拟)点P(1,2,3)关于y

14、轴的对称点为R, P关于平面xOz 的对称点为F2,那么|RP2 | 二解析R( 1,2, 3), F2(1, 2,3), |PPJ y；566. 正方体不在同一外表上的两顶点P (-1 , 2, -1 ) , Q (3, -2,3),那么正方体的体积是解析P,Q不共面,PQ为正方体的一条对角线,PQ 4/3,正方体的棱长为4,体积为64综合提升练习7. 空间直角坐标系中,到坐标平面 xOy , xOz , yOz的距离分别为2, 2, 3 的点有A.1个B.2 个 C.4 个D.8个解析：8 个.分别为(3, 2, 2)、(3, 2, -2)、( 3, -2 , 2)、(3, -2,-2)、

15、 (-3, 2, 2)、 (-3, 2, -2)、 (-3, -2 , 2)、 (-3, -2 , -2)8. (2007山东昌乐模拟)三角形ABC的三个顶点的坐标为A(1, 2,11), B(4,2,3),C(6, 1,4),那么 ABC 的形状为()A.正三角形B .锐角三角形 C .直角三角形 D .钝角三角形解析C| AB |. (1 4)2( 22)2(113)2. 89| AC |.(4 6)2( 21)2(114)2. 75|BC| (4 6)2 (2 1)2 (3 4)2.14AC2 BC2 AB29. (2021年佛冈一中模拟)空间直角坐标系O xyz中有一点人(1, 1,2

16、),点B是平面xOy内的直线x y 1上的动点,那么A,B两点的最短距离是()A.而 B .必C . 3D . 业2 2解析由于点B在xoy平面内的直线x y 1上,故可设点B为(x, x 1,0),I所以 AB(x1)2一(一x-2)2(02)22x2 2x 9 , 2(x 1)2 17 ,22,1 ,j . 34 一 . 1 1所以当1时,AB取得最小值 二4,此时点B为2,1,.). 222 210 .如图,以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴,建立空间直角坐标系O xyz,点P在正方体白对角线AB上,点Q在正方体的棱(1)当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究PQ的最小值；(2)当点P在对角线AB上运动,点Q为棱CD的中点时,探究PQ的最小值； 解析由 A(a,a,0), C(0,a,0), D(0