「命题逻辑的基本概念」

1、命题逻辑的根本概念 第一节命题一、什么是命题命题是一个非真即假不可兼的陈述句.有两层意思,首先命题是一个陈述句,而命令句、疑问句和感慨句都不是命题.其次是说这个陈述句所表达的内容可决定是真还是假,而且不是真的就是假的,不能不真又不假,也不能又真又假.凡与事实相符的陈述句为真语句,而与事实不符的陈述句为假语句.这就是说 ,一个命题具有两种可能的取值又称真值为真或为假,又只能取其一.通常用大写字母T表示真值为真,用 F表示真值为假,有时也可分别用1和0表示它们.由于只有两种取值,所以这样的命题逻辑称为二值逻辑.我们把以这种非真必假的命题作为研究对象的逻辑称为古典逻辑,但也有人反对关于命题的这种观点

2、,认为存在既不真也不假的命题,例如：直觉主义逻辑、多值逻辑等.Aw举例举例说明命题概念：1 ."雪是白的".是一个陈述句,可决定真值,显然其真值为真,或说为T,所以是一个命题.2 ."雪是黑的".是一个陈述句,可决定真值,显然其真值为假,或说为 F,所以是一个命题. 3 . 好大的雪啊不是陈述句,不是命题.4.一个偶数可表示成两个素数之和 "哥德巴赫猜测.是命题,或为真或为假,只不过当今尚不知其是 真命题还是假命题.5 . "1 + 10 1=110"o这是一个数学表达式,相当于一个陈述句,可以表达为"1加101等

3、110",这个句子所表达的内容在十进制范围中真值为假,而在二进制范围中真值为真.可见这个命题 的真值还与所讨论问题的范围有关.冷?举例举例：以下句子都是命题 1 8小于12.（2） 8大于12.3 2 1世纪末,人类将住在月球.4任何一个大于5的偶数可表成两个素数的和.1显然为命题,它陈述了一个事实.2表示了一个错误的判断,故为假,又是一个陈述句,故为命题.3也是命题,虽然现在还不知道真假,但到21世纪末,就能知其真假,故它是不为真必为假的一个陈述句,即为命题.4是不知真假的一个陈述句,但"不知"不等于"不存在",这句话要么为真,要么为假,只是

4、不知道而已,故也为一个命题.举例举例:以下句子不是命题.1 8大于12吗（2） 请勿吸烟.3 X大于丫.4本页这一行的这句话是假话.1是一个疑问句,不是陈述句.2是一个祈使句.3是一个不能确定其真假的句子,它可能为真 , 也可能为假,从而不为命题.在判断一个语句是否是命题时,从语法上就是看他是否是陈述句.但值得注意的是,这里所说的陈述句不包括那些 "自指谓"的语句.如4这个语句,它的结论是对自身而言的,就是所谓"自指谓"的.这种自指谓的语句往往会产生自相矛盾的结论,即所谓的悖论.如上面这句话,如果成认它 是真的,由于本页这一行中没有别的话,所以必须成认它

5、是假的；另一方面,如果成认它是假的, 这刚好就是 这句话所说的,所以又必须成认它是真的.因此这句话本身包含了悖论.我们在判断一个语句是否是命题 时把这种语句排除在命题之外.二、命题变项为了对命题作逻辑演算,采用数学手法将命题符号化形式化 是十分重要的.我们约定用 大写字母表示命题,如以P表示“雪是白的",Q表示"北京是中国的首都"等等. 当P表示任一命 题时,P就称为命题变项变元.有些文献中,用小写拉丁字母表示命题变量：p,q, r, ；而用大写字母代表具体的、确指的命题：P, Q,R,本书在不发生混淆的地方有时也用大写字母代表命题变量.命题与命题变项含义是不同的

6、,命题指具体的陈述句, 是有确定的真值,而命题变项的真值不定,只当将某个具体命题代入命题变项时,命题变项化为命题,方可确定其真值.命题与命题变项象初等数学中常量与变量的关系一样.如 5是一个常量,是一个确定的数字,而x是一个变量,赋给它一个什么值它就代表什么值 , 即x的值是不定的.初等数学的运算规那么中对常量与变量的处理原那么是相同的,同样在命题逻辑的演算中,命题与命题变项的处理原那么也是相同的.因此,除在概念上要区分命题与命题变项外,在逻辑演算中就不再区分它们了.三、简单命题和复合命题简单命题又称原子命题,它是不包含任何的与、或、非一类联结词的命题.如 1 . 1.1中所举 的命题例子都是

7、简单命题.这样的命题是不可再分割了,如再分割就不是命题了.而像命题"雪是白的而且1 + 1 = 2",就不是简单命题,它可以分割为 "雪是白的"以及"1+1 = 2 "两个简单命 题,联结词是"而且".在简单命题中,尽管常有主语和谓语,但我们不去加以分割,是将简单 命题作为一个不可分的整体看待,进而作命题演算.在谓词逻辑里,才对命题中的主谓结构进行 深入分析.?仅只限于简单命题的讨论,除分别讨论真值外,再没有可研究的内容了.而命题逻辑所讨论的 正是多个命题联结而成的复合命题的规律性.把一个或几个简单命题用联结词如与

8、、或、非联结所构成的新的命题称为复合命题 ,也称为分子命题.复合命题自然也是陈述句,其真值依赖于构成这复合命题的各简单命题的真值以及联结词,从而复合命题有确定的真值."张三学英语和李四学日语"就是一个复合命题,由简单命题 "张三学英语""李四学日语"经联结词"和"联结而成, 这两个简单命题真值均为真时,这复合命题方为真.在数理逻辑里,仅仅把命题看成是一个可取真或可取假的陈述句,所关心的并不是这些具体的陈述句的真值究竟为什么或在什么环境 下是真还是假,这是有关学科本身研究的问题,而逻辑关心的仅是命题可以被赋予真或假这

9、样的 可能性,以及规定了真值后怎样与其他命题发生联系的问题.不能分解成更简单的命题的组合的命题称为简单命题.而像下面这样的命题： 1期中考试,张三没有考及格.2期中测试,张三和李四都考及格了.3期中测试,张三和李四中有人考 9 0分.4张三能考90分,那么李四也能考9.分(5)张三能考90分当且仅当李四也能考90分.它们都是由简单命题通过加上诸如："不是","或者","而且","如果-那么","当且仅当"等这样一些否认词或连词得到的.这些词称为联结词.由联结词连接的命题称为复合命题.第二节命题连

10、接词及真值表联结词可将命题联结起来构成复杂的命题,命题逻辑联结词的引入是十分重要的,其作用相当于初等数学里的实数集上定义的+、-、X、一等运算符.通过联结词便可定义新的命题,从而使命题逻辑的内容变得丰富起来,我们要讨论的仅只是复合命题的真值,可由组成它的相应命题的真值所确定.值得注意的是逻辑联结词与日常自 然用语中的有关联结词的共同点和不同点.?下面介绍五个常用的逻辑联结词： -、八、V、一、联结词分为两类. 一类是由此联结词构成的复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真 假决定,这种联结词叫做真值联结词.例如,张三和李四都考了 90分.假设"张三考了 90分","

11、;李四考了 9 0分"都真,那么原命题真,假设这两个命题有一个假,那么原命题假.所以"和"是个真值联结 词.另一类是由此联结词构成的复合命题的真假不完全由构成它的简单命题的真假来确定,例如：(1)清华大学是中国最好的大学之一,促使许多有志学子前来求学.(2)珠穆朗玛峰最高,促使许多有志学子来清华求学.这两个命题都是用联结词"促使来连接的,但前者为真,后者却为假了.在古典逻辑中,我们只讨论真值联结词,即复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假来确定.一、否认词-1 ?否认词"1 "是个一元联结词.一个命题 P加上否认词就形成了一个新的命题 ,记作P ,这个新命题是命题的否认,读作非Po?规定,假设命题P的真值为真,那么P的真值就为假.假设 P的真值为