第一层练悟篇第3讲不等式与合情推理解析版

1、第3讲不等式与合情推理1.A.C.ln(a b)>0 a3 b3>0不等式的性质及解法(2019全国卷n )若a>b,则(题组练透B. 3a<3bD. |a|>|b|解析：选C 法一：不妨设a=1, b=-2,则a>b,可验证A、B、D错误，只有C正确.故选C.法二：由函数y=ln x的图象(图略)知，当0<ab<1时，ln (a-b)<0,故A不正确；因 为函数y=3x在R上单调递增，所以当 a>b时，3a>3b,故B不正确；因为函数 y=x3在R 上单调递增，所以当a>b时，a3>b3,即a3-b3>0,故

2、C正确；当b<a<0时，|a|<|b|,故D不正确.故选C.，一 1,2.已知关于 x的不等式(ax1)(x+1)<0的解集是(一00, - 1)u 、十°° ，则a = ()A. 2B. - 21 1C. - 2D. 2解析：选B根据一元二次不等式与之对应方程的关系知1, 1是一元二次方程ax2+ (a1)x1 = 0的两个根，所以一1X 1 =-,解得a=2.故选B.2 a1 x23.设 p： x2- x- 20>0, q：面二2 <0,贝U p是 4的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1

3、 x2解析：选 A p:由 x2x 20>0 ,解得 x>5 或 x< 4.q :由 <0? (1 x2)(|x|- 2)<0 ,|x|-2当 x>0 时，可化为(x+1)(x-1)(x-2)>0,解得 0Wx<1 或 x>2.1 x2当 x<0 时，可化为(x1)(x+1)(x+2)<0 ,解得一1<x<0 或 x< 2,故<0 的解为 x<|x|一22或1<x<1或x>2,所以由p? q,但q? /p.故选A.4.若不等式(a24)x2+(a+ 2)x1 >0的解集是空集

4、，则实数a的取值范围为()A. 2, 6B. 2, 655C. 2, 6D. 2, 5 U255解析：选B 当a2 4=0时，解得a=2或a=2,当a=2时，不等式可化为 4x 1 > 0,解集不是空集，不符合题意；当a= 2时，不等式可化为1>0,此式不成立，解集为空a? 4<0,集.当a24W0时，要使不等式的解集为空集，则有解得= a+2 2+4 a2-4 <0,2<a<6.综上，实数a的取值范围为 2, 6 .故选B.5.若不等式x2+ax2>0在区间1,5上有解，则a的取值范围是 .解析：由= a2+8>0,知方程x2+ax 2 = 0

5、恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2+ax-2= 0必有一正根、一负根.于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是.123 23f(5)>0,解得a>- -5-,故a的取值范围为 一石，+ 00 .答案：管，+°°题后T通1 .明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2+bx+c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集；(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解.2 .掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切 xC I 恒成立?

6、 f(x)min>a,f(x)<a 对一切 xC I 恒成立？ f(x)max<a；(2)f(x)>g(x)对一切xC I恒成立？ f(x)的图象在g(x)的图象的上方；(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等.提醒解形如一元二次不等式 ax2+bx+c>0时，易忽视系数 a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0 , a<0进行讨论.线性规划问题题组练透则目标函数 z= 4xx+y-2< 0,x y+ 2 &g

7、t; 0 >1. （2019天津高考）设变量x, y满足约束条件x>- 1,y> 一 1,+ y的最大值为（）A. 2B. 3C. 5D. 6h* 厂解析：选C 由约束条件作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示.z= 4x+y 可化为 y=4x+z,，作直线lo: y=4x,并进行平移，显然当lo过点A（1,1）时，z取得最大值，Zmax=- 4X（ 1）+1 = 5.故选 C.2x-y+2>0,2. （2019洛阳市统考）如果点P（x, y）满足x-2y+ K0, 点Q在曲线x2+ （y+ 2）2= 1 x+ y 2< 0,上，则|PQ|的取值范围是（）A.证一

8、1, V10-1B. V5-1, 10+ 1C. Vw-1,5D. V51,5解析：选D 作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域 （如图中阴影部分所示），因为点Q所在圆的圆心为 M（0, 2）,所以|PM|取得最小值的最优解为（一1,0）,取得最大值的 最优解为（0,2）,所以|PM|的最小值为屿最大值为4,又圆M的半径为1,所以|PQ|的取值 范围是 晒1,5.故选D.3.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在 A, B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时，生产一件乙产品需用 A设备3小时，B设备1小时.A, B两种设

9、备每月可使用时间数分别 为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A. 320千元B. 360千元C. 400千元D. 440千元解析：选B设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千2x + 3y< 480,元，则 6x + y<960,每月利润z=2x+y,作出不等式组所表示x, ye N*,的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x+y=0,平移该直线，当直线经过直线2x+3y= 480 与直线 6x+y=960 的交点 A（150,60）时，z取得最大值，故 zmax= 150X 2+ 60X 1 =360.故选B.2x+3y-6>

10、;0,4. (2019全国卷n )若变量x, y满足约束条件x + y3W 0, 则z= 3xy的最大y-2<0,解析：作出已知约束条件对应的可行域 (图中阴影部分)，由图易知，当直线 y=3xz过点C时，一z最小，即z最大.x+y 3=0,x=3,即C点坐标为(3,0),由解得2x+3y-6=0y=0,故 Zmax=3X 3-0=9.答案：93x y 10,5. (2019湖南省湘东六校联考)若变量x, y满足3x + y-11<0, 且z= axy的最小 y>2,值为一1,则实数a的值为解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若 a>3,则直线

11、z= axy经过点B(1,2)时，z取得最小值，由a 2= 1,得a= 1,与a> 3矛盾；若0<a<3, 则直线z= axy经过点A(2,5)时，z取得最小值，由2a-5=- 1,解得a=2;若a<0,则 直线z= ax y经过点A(2,5)或C(3,2)时，z取得最小值，此时 2a5= 1或3a2 = 1, 解得a=2或a=1,与aw0矛盾.综上可知实数 a的值为2.3答案：2题后T通记牢三种常见的目标函数及其求法a(1)截距型：形如z= ax+by,求这类目标函数的取值吊将函数z=ax+by转化为y= -x+Z，通过求直线的截距Z的最值间接求出z的最值； bb(2

12、)距离型：形如z=(x-a)2+(y-b)2,设动点P(x,y),定点 M(a,b),则z=|PM|2;(3)斜率型：形如z=x7-b，设动点P(x, y),定点M (a, b),则z= kPM.提醒1 .忽视目标函数中y的系数的正负，而由直线截距的最值确定目标函数的最值.2 .求解含参数的线性规划问题，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值.基本不等式题组练透1.已知正数a, b的等比中项是2,且m=b+1, x+2的最小值是解析：棱长为J6的正四面体的体积 v=y1x (a)3=«,每个面

13、的面积为3 ；3、一 ,一,r13360 = 9，由等体积法可得 V = Vo-ABC + Vo-ACD + VO-ABD + Vo-BCD = qX X，n = a + 1,则m+n的最小值是( abB. 4D. 6A. 3C. 5解析：选C 由正数a, b的等比中项是2,可得ab=4,又m=b+1 n = a+-T,所以a，b，m+n= a+b+；+b>2gb+ Qb= 5,当且仅当a = b=2时取等号，故 m+n的最小值为5.故选C.2,已知P(a, b)为圆x2+y2=4上任意一点，则当02+ b2取最小值时，a2的值为()4A. 5B. 2D. 34C, 3解析：选 C -P

14、(a, b)为圆 x1 32+y2= 4 上任意一点，a2+b2 = 4.又 aw 0, bw 0,，+b214b2 4a22 2 Qa= 4?4 (a2+b2)=45+%* >4 5+2 NS号"当且仅当b2=2a2当时取等号，故a2=3.故选C.3. (2019 天津高考)设 x>0, y>0, x+ 2y=5,则x+ 1 2y+ 1的最小值为113+x+6+y =解析：x>0, y>0, 回 >0. x+2y=5,-xyx+1 2y+12xy+x+2y+1 2xy+6,xy、xy=2Vxy+6y > 2712=4J3.当且仅当2而=扁时

15、取x+ 1 2y+ 1xy的最小值为4 3.答案：4 34.已知直线l：ax+ by - ab= 0(a>0, b>0)经过点(2,3),则 a+b 的最小值为解析：因为直线l经过点(2,3),所以 2a + 3b ab= 0,3 2即 3+3 = 1,所以 a+b=(a+b) 3 + 2 = 5 + 3b+2ba>5+ 2/6,当且仅当臂=管，即 a= 3 + 6, b = 2+加时等号成立.答案：5+2.65. (2019四川成都青羊区模拟改编 )已知四面体ABCD的所有棱长都为 V6, O是该四面11 一2x , 6X 6sin体内一点,且点0到平面ABC ,平面ACD

16、 ,平面ABD ,平面BCD的距离分别为3, x,1和口.311211 23xy、23 xy 3226 即 x+y=2x+2y=3(x+y)x+ 2y =32+2v+ x >32+2 7药(，当且3 x+y=26-372 x=-2仅当A=y2yx，372-3v=r-时等号成立，1+，的最小值为一o一. x 2y3(1)凑项:3+ 2,23掌握基本不等式求最值的3种解题技巧通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值;(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值;换元:分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后

17、将式子分开，即化为y= m+-A-+Bg(x)(A>0, B>0), g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等 g x式来求最值.合情推理题组练透1. (2019全国卷H )在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、B.乙、甲、丙C.丙、乙、D.甲、丙、乙解析：选A依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正

18、确,则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾.综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.故选 A.2 .甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人是记者，一人是医生，已知：丙的年龄比医生大，甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小.根据以上情况,卜列判断正确的是A.甲是教师，乙是医生，丙是记者B.甲是医生，乙是记者，丙是教师C.甲是医生，乙是教师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是教师解析：选C 甲的年龄和记者不同， 记者的年龄比乙小,所以丙一定是记者，丙的年龄又比医生大，所以乙不是医生，乙是教师，则甲是医生.故选C.3 . (2019柳州模拟)给出以下数对序列:(1,1)(1,2)(2,1)(

19、1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)记第i行的第j个数对为aij,如843=(3,2),则anm=(B.(m 1, n m)C. (m 1, n m+ 1)D.(m, nm+1)解析：选D由前4行的特点，归纳可得，若anm=(a, b),则 a = m, b=n m+1,anm = (m , n m+1).故选 D.4.我国古代数学名著九章算术中割圆术有:“割之弥细，所失弥少，割之又割,以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣. ”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2+V2+2+“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x,这可以通过方程也+ x =x确定x = 2,111 + 1+