Lyapunov指数的计算方法

1、【总结】Lyapunov指数的计算方法 非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚,看了有79本书！下面以吕金虎?混沌 时间序列分析及其应用?、马军海?复杂非线性系统的重构技术?为主线,把目前 已有的LE计算方法做一个汇总！1.关于连续系统Lyapunov指数的计算方法 连续系统LE的计算方法主要有定义 方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法,或者通过求解系统的微分 方程,得到微分方程解的时间序列,然后利用时间序列即离散系统的 LE求解 方法来计算得到.关于连续系统 LE的计算,主要以定义方法、Jacobian方法做主 要介绍内容.1定义法对用维连块动力系统,二网力 在时刻

2、以孙为卬心,区为半径脓一个 «维的球面.随着时间的演化,在t时刻读球面即变形为M缝的椭球面.设该椭球面的第i 个坐标轴方向的半轴长为氏与,那么该系统第i个L河皿3指数为*% = hm-inI.t网wM|阿有|此即连续系统LyaMnw指孩的定义.实际计向眇 取忸武飞,0|为d5为常敷,以中为球心,欧儿里痣范敬为d的正交 矢量集.,叫£为初始球,由非线性微分方程让尸可以分别计菖出点Q町+如 孙理小、足+%经过时间才后演化的轨迹,设具终了专分别为了如、际八、杭,那么令 那么国=6一 .加= W3历L 那么可得新的矢量集? A4NJ由于各个矢量在演化过程中吉哙向着最大的UapurO

3、T指数方向31拨,因此需要通过Sthmidt正交化不断地对新矢量进行置换,即Wulf的文章中提出的GSR方法.表述如下：必就,齿严一 <曲铲及耀 >蜡,壮；时刃料叫vcn 5Km k4入出支 口>以 <>>以尸一附出叫排着以砒为球心,范毅为I的正交矢境惠心叫叱了;为新球继续进行演 化,设演化至N步时,得到矢量罪化必乜匕巧,且N足够大,这可以得到Lyapunov 才徽拊近做计皙公式.卜亨以各n4.4*一竽+$£贴.叫痛计亶时,可以将d取为1定义法求解 Lyapunov 指数.JPG关于定义法求解的程序,和 matlab板块的 连续系统LE求解程序差不

4、多.以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子,用索计算Lyapunov指数%a=0.15,b=0.20,c=10.0%dx/dt =-y-z,%dy/dt =x+ay,%dz/dt =b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);%Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12);%输出向量的初始化,必不可少dX = zero

5、s(12,1);% Rossler版引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = 0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c;dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：%计算Rossler吸引子的Lyapunov指数 clear;yinit = 1,1,1;orthmatrix = 1 0 0;0 1 0;0 0 1;a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);%初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix

6、;tstart = 0; %时间初始值tstep = 1e-3; %时间步长wholetimes = 1e5; %总的循环次数steps = 10; %每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; %寅化的次数 mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);%初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan

7、= tstart:tstep:(tstart + tstep*steps);T,Y = ode45('Rossler_ly', tspan, y);%取积分得到的最后二不时刻的值y = Y(size(Y,1),:);%重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12);%正交化y0 = ThreeGS(y0);%取三个向量的模mod=sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1);mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2

8、);mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3);y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);Ip = lp+log(abs(mod);%三个Lyapunov指数Lyapunovl(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0'end %作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lya

9、punov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为 3*3 向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-(a1'*v2)/(a1'*a1)*a1;a3 = v3-(a1'*v3)/(a1'*a1)*a1-(a2'*v3)/(a2'*a2)*a2;A = a1,a2,a3;

10、计算得到的 Rossler系统的 LE 为0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的 Rossler系统的LE为0.09 0 -9.77需要注意的是一一定义法求解的精度有限,对有些系统的计算往往出现计果和理论 值有偏差的现象.正交化程序可以根据上面的扩展到 N*N向量,这里就不加以说明了,对 matlab用 户来说应该还是比拟简单的！Jacobian方法通过资料检索,发现论坛中用的较多的LET工具箱的算法原理就是Jacobian方法.根本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解,然后对系统的 Jacobian 矩阵进行QR分解,计算Jacobian矩阵特征值的

11、乘积,最后计算出 LE和分数维. 经过计算也证实了这种方法精度较高,对目前常见的混沌系统,如Lorenz、Henon、Duffing等的Lyapunov指数的计算精度都很高,而且程序编写有一定的规 范,个人很推荐使用.虽然我自己要做的系统并不适用于 孑LET工具箱可以在网络上找到,这里就不列出了！关于 LET工具箱如果有问题, 欢送参加本帖讨论！Jacobian法求解 Lyapunov 指数.JPG对离散动力系统,或者说是非线性时间序列,往往不需要计算出所有的Lyapunov指数,通常只需计算出其最大的 Lyapunov指数即可.“198弈,格里波 基证实了只要最大Lyapunov指数大于零,

12、就可以肯定混沌的存在 目前常用的计算混沌序列最大 Lyapunov指数的方法主要有一下几种：(1)由定义法延伸的Nicolis方法(2) Jacobian方法(3) Wolf 方法(4) P范数方法(5) 小数据量方法其中以Wolf方法和小数据量方法应用最为广泛,也最为普遍.下面对Nicolis方法、Wolf方法以及小数据量方法作介绍.(1) Nicolis 方法这种方法和连续系统的定义方法类似,而且目前应用很有限制,因此只对其理论 进行介绍,编程应用方面就省略了Nicolis方法求最大LE.JPG(2) Wolf方法Wolf方法求最大LE.JPGWolf方法的Matlab程序如下: func

13、tion lambda_1=lyapunov_wolf(data,N,m,tau,P)%该函数用来计算时间序列的最大 Lyapunov指数-Wolf方法% m:嵌入维数！ 一般选大于等于10% tau:时间延迟！ 一般选与周期相当,如我选 2000% data:时间序列！可以选1000;% N:时间序列长度满足公式：M=N-(m-1)*tau=24000-(10-1)*1000=5000% P:时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差,即假设当前相点为 I,那么 演化相点只能在|I J卜P的相点中搜寻 ！ P=周期=600% lambda_1:返回最大lyapunov指数值min_po

14、int=1 ;%&&要求最少搜索到的点数MAX_CISHU=5 ; %&&最大增加搜索范围次数 %FLYINGHAWK%求最大、最小和平均相点距离max_d = 0;min_d = 1.0e+100;腺大相点距离 %ft小相点距离avg_dd = 0;Y=reconstitution(data,N,m,tau);咐目空间重构可将此段程序加到整个程序中,在时间循环内,可以保存时间序列的地方.见完整程序M=N-(m-1)*tau;%重构相空间中相点的个数for i = 1 : (M-1)for j = i+1 : Md = 0;for k = 1 : md = d

15、+ (Y(k,i)-Y(k,j)*(Y(k,i)-Y(k,j);endd = sqrt(d);if max_d < d max_d = d;endif min_d > d min_d = d;endavg_dd = avg_dd + d;endendavg_d = 2*avg_dd/(M*(M-1);% 平均相点距离dlt_eps = (avg_d - min_d) * 0.02 ; 点时,对max_eps的放宽幅度min_eps = min_d + dlt_eps / 2 ;max_eps = min_d + 2 * dlt_eps ;%)?f在min_epsmax_eps中找不

16、至U演化相项化相点与当前相点距离的最小限%&&演化相点与当前相点距离的最大限% 从P+1M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置(Loc_DK)及其最短距 离DKDK = 1.0e+100;%第i个相点到其最近距离点的距离Loc_DK = 2;%第i个相点对应的最近距离点的下标for i = (P+1):(M-1)%限制短暂别离,从点P+1开始搜索d = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,1)*(Y(k,i)-Y(k,1); end d = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK =

17、d;一Loc_DK = i; end end%以下计算各相点对应的李氏数保存到lmd()数组中% i为相点序号,从1至iJ(M-1),也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最 短距离的相点位置,DK为其对应的最短距离% Loc_DK+1为Loc_DK的演化点,DK1为i点到Loc_DK+1点的距离,称为演化距离% 前i个log2 ( DK1/DK )的累计和用于求i点的lambda值sum_lmd = 0 ;%存放前i个log2 (DK1/DK )的累计和for i = 2 : (M-1)%计算演化距离DK1 = 0;for k = 1 : mDK1 = DK1 + (Y(k,i)

18、-Y(k,Loc_DK+1)*(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1);endDK1 = sqrt(DK1);old_Loc_DK = Loc_DK ;%保存原最近位置相点old_DK=DK; 一% 计算前i个log2 (DK1/DK )的累计和以及保存i点的李氏指数if (DK1 = 0)&( DK = 0)sum_lmd = sum_lmd + log(DK1/DK) /log(2); endlmd(i-1) = sum_lmd/(i-1);此处可以保存不同相点i对应的李氏指数,见完整程 序.%以下寻找i点的最短距离：要求距离在指定距离范围内尽量短,与DK1的角度最小point_

19、num = 0; % &&在指定距离范围内找到的候选相点的个数cos_sita = 0 ;%&&夹角余弦的比拟初值要求一定是锐角zjfwcs=0 ;%&&增加范围次数while (point_num = 0)%*搜索相点for j = 1 : (M-1)if abs(j-i) <=(P-1)%&&候选点距当前点太近,跳过！continue;end %*计算候选点与当前点的距离dnew = 0;for k = 1 : mdnew = dnew + (Y(k,i)-Y(k,j)*(Y(k,i)-Y(k,j);enddnew =

20、sqrt(dnew);if (dnew < min_eps)|( dnew > max_eps ) %&环在距离范围,跳过! continue;end%*计算夹角余弦及比拟DOT = 0;for k = 1 : mDOT = DOT+(Y(k,i)-Y(k,j)*(Y(k,i)-Y(k,old_Loc_DK+1); endCTH = DOT/(dnew*DK1);if acos(CTH) > (3.14151926/4)%&&不是小于 45 度的角,跳过！continue;endif CTH > cos_sita%&&新夹角小于过

21、去已找到的相点的夹角,保存cos_sita = CTH;Loc_DK = j;DK = dnew;endpoint_num = point_num +1;endif point_num <= min_point max_eps = max_eps + dlt_eps;zjfwcs =zjfwcs +1;if zjfwcs > MAX_CISHU %&& 超过最大放宽次数,改找最近的点DK = 1.0e+100;for ii = 1 : (M-1)if abs(i-ii) <= (P-1)%&&候选点距当前点太近,跳过！continue;endd

22、 = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,ii)*(Y(k,i)-Y(k,ii);endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK = d;一Loc_DK = ii;endendbreak;endpoint_num = 0 ;%&&扩大距离范围后重新搜索cos_sita = 0;endendend%取平均得到最大李雅普诺夫指数(此处只有一个值,假设为正说明体系是混沌的, 假设为负那么说明体系是周期性确实定性运动) lambda_1=sum(lmd)/length(lmd);程序中用到的

23、reconstitution函数如下：此段程序可直接放在时间循环内部,即 可以保存时间序列的地方.见完整程序范例.function X=reconstitution(data,N,m,tau)%该函数用来重构相空间% m 为嵌入空间维数% tau为时间延迟% data为输入时间序列% N为时间序列长度% X 为输出,是m*n维矩阵M=N-(m-1)*tau;%相空间中点的个数for j=1:M%相空间重构for i=1:mX(i,j)=data(i-1)*tau+j);endend这里声明一下,这些程序并非我自己编写的,均是转载,其使用我已经验证过,绝对可以运行！(3)小数据量方法说小数据量方

24、法是目前最实用、应用最广泛的方法应该不为过吧,呵呵！小数据量方法求最大Lyapunov指数.JPG上面两种方法,即 Wolf方法和小数据量方法,在计算 LE之前,都要求对时间 序列进行重构相空间,重构相空间的优良对于最大 LE的计算精度影响非常大！因 此重构相空间的几个参数确实定就非常重要.(1)时间延迟主要推荐两种方法 自相关函数法、CC方法自相关函数法一一对一个混沌时间序列,可以先写出其自相关函数,然后作出自 相关函数关于时间t的函数图像.根据数值试验结果,当自相关函数下降到初始值 的1 1/e时,所得的时间t即为重构相空间的时间延迟.CC方法一一可以同时计算出时间延迟和时间窗口,个人推荐

25、使用这种方法！(2)平均周期平均周期的计算可以采用FFT方法.在matlab帮助中有一个太阳黑子的例子,现 摘录如下：load sunspot.dat濮载数据文件year = sunspot(:,1);% 取年份信息wolfer = sunspot(:,2); plot(year,wolfer) title('Sunspot Data')Y = fft(wolfer);%读取黑子活动数据%绘制原始数据图%快速FFT变换N = length(Y);%FFT变换后数据长度Y(1) = ;%去掉Y的第一个数据,它是所有数据的和power = abs(Y(1:N/2).A2;%求功率谱

26、nyquist = 1/2;freq = (1:N/2)/(N/2)*nyquist;% 求频率plot(freq,power), grid on% 绘制功率谱图xlabel('cycles/year')title('Periodogram')period = 1./freq;%?份(周期)plot(period,power), axis(0 40 0 2e7), grid on%绘制年份功率谱曲线ylabel('Power')xlabel('Period(Years/Cycle)')mp,index = max(power);%

27、求最高谱线所对应的年份下标period(index)%i下标求出平均周期(3)嵌入维数目前嵌入维数的主要计算方法是采用Grassberge和Procaccia提出的GP算法计算出序列的关联维数d,然后利用嵌入维数 m>=2d+1,选取适宜的嵌入维数.GP算法程序如下： function ln_r,ln_C=G_P(data,N,tau,min_m,max_m,ss)% the function is used to calculate correlation dimention with G-P algorithm% 计算关联维数的GP算法时间序列长度时间延迟最小的嵌入维数% data:

28、the time series时间序歹 U % N: the length of the time series% tau: the time delay% min_m:the least embedded dimention m % max_m:the largest embedded dimention m 最大的嵌入维数% ss:the stepsize of r的步长%skyhawkfor m=min_m:max_mY=reconstitution(data,N,m,tau);%reconstitute state spaceM=N-(m-1)*tau;%the number of p

29、oints in state spacefor i=1:M-1for j=i+1:Md(i,j)=max(abs(Y(:,i)-Y(:,j);%calculate the distance of each twoend%points in state spacd算状态空间中每两点之间的距离endmax_d=max(max(d);%the max distance of all points 得到所有点之间的最大距离 d(1,1)=max_d;min_d=min(min(d);%the min distance of all points 彳马至 U所有点间的最短距离 delt=(max_d-m

30、in_d)/ss;%the stepsize of r得至U r 的步长for k=1:ssr=min_d+k*delt;C(k)=correlation_integral(Y,M,r);%calculate the correlation integral ln_C(m,k)=log(C(k);%lnC(r) ln_r(m,k)=log(r);%lnrfprintf('%d/%d/%d/%dn',k,ss,m,max_m);endplot(ln_r(m,:),ln_C(m,:);hold on;endfid=fopen('lnr.txt,w,);fprintf(fid

31、,'%6.2f %6.2fn',ln_r);fclose(fid);fid = fopenClnC.txt'.'w');fprintf(fid,'%6.2f %6.2fn',ln_C);fclose(fid);程序中的correlation_integral函数如下：function C_I=correlation_integral(X,M,r)%the function is used to calculate correlation integral%C_I:the value of the correlation integral%X:the reconstituted state space,M is a m*M matrix%m:the embedding demention%M:M is the number of embedded points in m-dimensional sapce%r:the radius of the Heaviside function,sigma/2<r<2sigma%calculate the sum of all the values of He