高数第九章(8)多元函数的极值及其求法

1、 第九章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzxyz机动

2、目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1)

3、当A0 时取极小值.2) 当3) 当证明见 第九节(P122) . 时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy06

4、32yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC机动 目录 上页 下页 返回

5、结束 求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.例例2.讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(

6、yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定

7、义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(

8、2 xD为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例：某人有引例：某人有200元钱，他决定用来购买两种急需元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买物品：计算机磁盘和录音磁带，

9、设他购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为: xyyxyxUlnln),( 求求 在条件在条件 下的下的极值点极值点yxyxUlnln),( 200108 yx设每张磁盘设每张磁盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：问题的实质：三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函

10、数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足

11、:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 7 7 将正数将正数 12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23 为最大为最大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF ,

12、120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为例例. .2a求表面积为而体积为最大的长方体的体积。例例. .uxyz求函数在附加条件1111(0,0,0,0)xyzaxyza下的极值例例. 抛物面抛物面221zxyxyz被平面截成一个O椭圆，求原点 到此椭圆的最大与最小距离。例例5.要设计一个容量为0V则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzy

13、x水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 试问 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为,340Vxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、

14、高尺寸相等 .内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点 . ),(yxfz

15、0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最小.解答提示解答提示:CBAoyxED设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习思考与练习 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则 ACABS2110321yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点C为所求的驻点 时, 三角形面积最小.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2EDSS点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P118 1，4，8, 9, 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx设拉氏函数)2(sinsi