高等数学-第七版-课件-9-8 多元函数微分学的几何应用

1、第八讲 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例引入引入空间曲线空间曲线的参数方程的参数方程),(tx

2、),(ty ),(tz , tzkyjxir ktjtittf)()()()( )(tfr 映射映射3, :Rf 一元向量值函数一元向量值函数定义定义设数集设数集,RD 则称映射则称映射nRDf:为一元向量值函数，为一元向量值函数，通常记为：通常记为：因变量因变量自变量自变量定义域定义域Dttfr ),(l注注(1) 一元向量值函数是一元函数的推广一元向量值函数是一元函数的推广一元函数一元函数一元向量值函数一元向量值函数自变量自变量因变量因变量实数值实数值实数值实数值实数值实数值n维向量维向量(2) 这里只研究这里只研究n=3的情形的情形表示法表示法在在3R中中, 若向量值函数若向量值函数Dt

3、tf ),(的三个分量函数依次为的三个分量函数依次为,),(),(),(321Dttftftf 则向量值函数则向量值函数f可表示为可表示为Dtktfjtfitftf ,)()()()(321或或Dttftftftf ),(),(),()(321图形图形xyzOMr设设,OMr 当当t 改变时改变时,终点终点M的轨迹的轨迹(记作曲线记作曲线)称为向量值函数称为向量值函数Dttfr ),(的的终端曲线终端曲线，曲线曲线也称为向量值函数也称为向量值函数Dttfr ),(的的图形图形一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的

4、导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例定义定义设向量值函数设向量值函数)(tf在点在点0t的某一去心邻域内有定义的某一去心邻域内有定义,如果如果存在一个常向量存在一个常向量,0r对于任意给定的正数对于任意给定的正数, 总存在正数总存在正数, 使得当使得当t 满足满足 |00tt时时,对应的函数值对应的函数值)(tf都满足都满足:,|)(|0 rtf那么那么,常向量常向量0r就叫做向量值函数就叫做向量值函数)(tf当当0tt 时的极限，记作时的极限，记作,)(lim00rtftt 或或0

5、0,)(ttrtfl注注向量值函数向量值函数)(tf当当0tt 时的极限存在的充要条件时的极限存在的充要条件:)(tf的三个分量函数的三个分量函数)(),(),(321tftftf当当0tt 时的时的极限存在极限存在,且有且有: )(lim),(lim),(lim)(lim3210000tftftftftttttttt定义定义l注注 向量值函数向量值函数)(tf在在0t连续的充要条件连续的充要条件:设向量值函数设向量值函数)(tf在点在点0t的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, 若若)()(lim00tftftt 则称向量值函数则称向量值函数)(tf在在0t连续连续.)(tf的三个分量函数的

6、三个分量函数)(),(),(321tftftf都在都在0t连续连续.定义定义设向量值函数设向量值函数.),(Dttf 若若,1DD )(tf在在1D中的每一点中的每一点都连续，则称都连续，则称)(tf在在1D上连续上连续,并称并称)(tf1D为为上的连续函数上的连续函数.一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例定义定义.|dd0tttr 设向量值函数设向量值函数)(tf

7、在点在点0t的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, 如果如果ttfttftrtt )()(limlim0000存在存在,那么就称这个极限向量为向量值函数那么就称这个极限向量为向量值函数)(tfr 在在0t处的导数或导向量处的导数或导向量,记作记作)(0tf 或或l注注)(tf的三个分量函数的三个分量函数)(),(),(321tftftf都在都在0t可导可导.0t向量值函数向量值函数)(tf在在可导的充要条件可导的充要条件:当当)(tf在在0t可导时可导时,.)()()()(321ktfjtfitftf )(tf1D),(0tf 设向量值函数设向量值函数.),(Dttf 若若,1DD )(tf在

8、在1D中的每一点中的每一点都存在导向量都存在导向量在在上可导上可导.那么就称那么就称运算法则运算法则(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)0dd Ct)()(ddtuctcut )()()()(ddtvtutvtut )()()()()()(ddtuttuttutt )()()()()()(ddtvtutvtutvtut )()()(ddtuttut )()()()()()(ddtvtutvtutvtut 设设)(),(),(ttvtu 可导可导,C是常向量是常向量,c是任一常数，则是任一常数，则几何意义几何意义xyzOr割向量割向量0 t向量向量向量值函数向量值函数Dttfr ),(的终

9、端曲线的终端曲线,为空间曲线为空间曲线割向量割向量切向量切向量与与t 的增长方向一致的增长方向一致0 t与与t 的增长方向相反的增长方向相反与与t 的增长方向一致的增长方向一致与与t 的增长方向一致的增长方向一致向量值函数向量值函数Dttfr ),(的终端曲线的终端曲线在点在点M处的一个切向量处的一个切向量,其指向与其指向与t 的增长方向一致的增长方向一致.MNr tr trt 0lim: )(0tf ),(0tfOM )(0ttfON 指向指向, 0)(0 tf设设一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四

10、）举例一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例u例例1).(lim4tft 设设,)(sin)(cos)(tkjtittf 求求u例例2u例例3(1)滑翔机在任意时刻滑翔机在任意时刻t 的速度向量和加速度向量的速度向量和加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻滑翔机在任意时刻t 的速率的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻滑翔机的加速度与速度正交的时刻.设空间曲线设空间曲线的向量方程为的向量方程为,),62 , 34 , 1()(22Rttttttfr 求曲线求曲线在与在与20 t相应的点处的单位切向

11、量相应的点处的单位切向量.一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而位置一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而位置向量为向量为ktjtittfr2)sin3()cos3()( 的路径螺旋的路径螺旋式向上式向上. 求求多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线过点过点 M 与切线垂直的平面与切线垂直的平面空间曲线在点空间曲线在点 M 处的割线的极限处的割线的极限位置位置空间曲线在点空间曲线在点 M

12、 处的切线处的切线空间曲线在点空间曲线在点 M 处的法平面处的法平面xyzOM二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式方程的情形二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式方程的情形)(, )(, )(:tztytx切线方程切线方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0tM(x0,y0,z0)对应的参数为对应的参数为t0法平面方程法平面方程)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt)(0tf T)(),(),(000ttt 切向量切向量l注注不全为不全为0)(),(),(000ttt zyxo)

13、,0(20kRMu例例4切线方程切线方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0t法平面方程法平面方程)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt求曲线求曲线 32,tztytx的切线方程和法平面方程的切线方程和法平面方程.在点在点(1,1,1)处处u例例5求螺旋线求螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和对应点处的切线方程和在在法平面方程法平面方程.特例特例)(, )(:xzxy视为参数方程视为参数方程 ),(, )(,xzxyxx 参数为参数为x， 切线方程切线方程000zzyyxx1)(0 x)(0 x法平面方程法平面方程0)()()(00000zzxyyxxx

14、T)(),(, 1 (00 xx 二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式方程的情形二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式方程的情形光滑曲线光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFF,G有对各个变量的连续偏导数有对各个变量的连续偏导数0),(),(),(000 zyxzyGF在在),(0000zyxM的某邻域内的某邻域内)(xy )(xz 0)(),(, xxxF 0)(),(, xxxG 两边对两边对x求导求导0dddd xzzFxyyFxF0dddd xzzGxyyGxGT)(),(, 1 (0

15、0 xx 000),(),(,),(),(,),(),(MMMyxGFxzGFzyGF切线方程切线方程法平面方程法平面方程 000zzyyxxMzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),(MzyGF),(),()(0 xxMyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0zzT 000),(),(,),(),(,),(),(MMMyxGFxzGFzyGFu例例6 求曲线求曲线处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程. 0, 6222 zyxzyx在点在点) 1 , 2, 1 ( 处处多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空

16、间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线（一）隐式方程情形（二）显式方程情形三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线（一）隐式方程情形（二）显式方程情形, 0),(: zyxF设设有有光滑曲面光滑曲面MT 上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.此平此平面称为面称为 在该点的在该点的切平面切平面.有关概念有关概念过该点垂直于切平面的直线称为过该点垂直于切平面的直线称为 在该

17、点的在该点的法线法线.推导推导在在上取一点上取一点M(x0,y0,z0)，对应于参数，对应于参数t=t0考虑考虑内过内过M的任意曲线的任意曲线, )(, )(, )(:tztytx在在上上0) )(, )(, )(tttF两边在两边在t=t0处求导得处求导得：)(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t令令),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx ).(, )(, )(000tttT 0)( ),()( ),()( ),(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx曲面曲面 在点在点 M

18、的的法向量法向量曲面曲面的法线方程的法线方程 000zzyyxx曲面曲面的切平面方程的切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx由于曲线由于曲线 是任意的是任意的, 这些切线都在以这些切线都在以为法向量的平面上为法向量的平面上,nnT 切向量三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线（一）隐式方程情形（二）显式方程情形三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线（一）隐式方程情形（二）显式方程情形)( ),(000 xxyxfx),(:yxfz 1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx)( ),(000yyyxfy0zz曲面曲面的切平面方程的切平面方程曲面曲面的法线方程的法线方程令令,),(),(zyxfzyxF 1, zyyxxFfFfF法向量法向量) 1,( yxffn)( ),(000 xxyxfx)( ),(000yyyxfy0zzl注注2211cosyxf