第十四章电流与磁场

1、导体与电介质的不同，在于导体中存在大量的、做无规运导体与电介质的不同，在于导体中存在大量的、做无规运动的自由电荷。因此，在导体与外电场的相互作用中，即动的自由电荷。因此，在导体与外电场的相互作用中，即使外电场不太强，在达到静电平衡状态前，导体中自由电使外电场不太强，在达到静电平衡状态前，导体中自由电荷会发生宏观的定向运动，从而出现短暂的宏观电流。荷会发生宏观的定向运动，从而出现短暂的宏观电流。前两章我们从研究静电现象出发，建立了静电场理论，并前两章我们从研究静电现象出发，建立了静电场理论，并研究了静电场与物质的相互作用而达到静电平衡的状态、研究了静电场与物质的相互作用而达到静电平衡的状态、规律

2、和性质。一言以蔽之曰，我们已建立了静电场理论。规律和性质。一言以蔽之曰，我们已建立了静电场理论。人类的研究结果表明，磁现象与电流有关。人类的研究结果表明，磁现象与电流有关。于是，我们自然会想，能否在导体中形成持续的宏观电流于是，我们自然会想，能否在导体中形成持续的宏观电流？若然，相应的电场有何规律？若然，相应的电场有何规律？ 有否应用？有否应用？ 另一方面，人类首先注意到的与静电现象不同的简单另一方面，人类首先注意到的与静电现象不同的简单电磁现象是磁石吸铁，即磁现象。电磁现象是磁石吸铁，即磁现象。磁现象的本质是什么？我们能否像已经对静电现象所磁现象的本质是什么？我们能否像已经对静电现象所做的那

3、样，对磁现象也进行类似的思考与研究？做的那样，对磁现象也进行类似的思考与研究？本章，我们就来研究电流与磁现象，回答上述中的一些基本问题。本章，我们就来研究电流与磁现象，回答上述中的一些基本问题。第十四章第十四章电流与磁电流与磁 场场 第第 14 章章 电流与磁场电流与磁场稳稳恒恒磁磁场场如何描述如何描述14.2 磁场及其基本描述量磁场及其基本描述量如何确定如何确定14.3 毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律特征及规律特征及规律14.4 磁场的基本规律磁场的基本规律磁磁场场力力对载流线对载流线14.5 磁场对电流的作用磁场对电流的作用对运动电荷对运动电荷14.6 带电粒子的运动与磁场带电粒子的运动与磁

4、场磁场的源磁场的源14.1 电流与电源电流与电源电流的形成电流的形成及其描述及其描述一、电流一、电流1 1）、传导电流）、传导电流金属导体：自由电子金属导体：自由电子电解质溶液：正、负离子电解质溶液：正、负离子2 2）、）、 运流电流运流电流分子中电子绕原子核的运动，等效为圆电流。分子中电子绕原子核的运动，等效为圆电流。分子的等效电流称为分子的等效电流称为或或。电流：电流：指电荷的定向运动指电荷的定向运动载流子载流子:在电场力作用下能发生定向运动的带电粒子在电场力作用下能发生定向运动的带电粒子在电场力作用下电荷的定向运动在电场力作用下电荷的定向运动导电的气体：正、负离子和电子导电的气体：正、负

5、离子和电子半导体：电子和空穴半导体：电子和空穴等离子体：正、负离子等离子体：正、负离子带电介质或介质中的带电部分不是由于电场带电介质或介质中的带电部分不是由于电场作用而在空间中形成的电流或单个或多个电作用而在空间中形成的电流或单个或多个电荷在空间中宏观范围内的定向运动荷在空间中宏观范围内的定向运动3 3）、）、 微观电流微观电流物质微观组成结构中带电粒子在其所属结构物质微观组成结构中带电粒子在其所属结构的空间范围中的运动的空间范围中的运动研究电流的形成与维持研究电流的形成与维持二、持续电流的形成二、持续电流的形成 1、静电场不可能在导体中形成持续电流、静电场不可能在导体中形成持续电流静电场的电

6、力线不闭合，总有端点，在任一电力线上总是静电场的电力线不闭合，总有端点，在任一电力线上总是一端电势高，另一端电势低。一端电势高，另一端电势低。当金属导体处于静电场中之初时，金属导体所在空间区域当金属导体处于静电场中之初时，金属导体所在空间区域中一定存在电势最高和最低的地方，自由电子将向静电场中一定存在电势最高和最低的地方，自由电子将向静电场中电势高的地方漂移运动，从而形成电荷的宏观运动。中电势高的地方漂移运动，从而形成电荷的宏观运动。在自由电子受静电场力作用而漂移的过程中，金属导体中在自由电子受静电场力作用而漂移的过程中，金属导体中电势较高的地方将有自由电子不断堆积而有宏观的负电荷电势较高的地

7、方将有自由电子不断堆积而有宏观的负电荷分布，电势较低的地方有宏观的正电荷分布。分布，电势较低的地方有宏观的正电荷分布。0d LlE静电平衡静电平衡: 电荷静止，电荷静止， 导体内场强为零。导体内场强为零。自由电子因静电场获得的能量一般不足以使之由高电势处自由电子因静电场获得的能量一般不足以使之由高电势处运动回到低电势处，或脱离金属导体而运动到导体外部！运动回到低电势处，或脱离金属导体而运动到导体外部！自自由由电电子子不不断断与与导导体体中中的的格格点点碰碰撞撞而而损损失失能能量量超导体？超导体？ 这些电荷分这些电荷分布激发的电场将削弱原静电场，从而自由电子向电势较高布激发的电场将削弱原静电场，

8、从而自由电子向电势较高地方的漂移运动将减慢，直至导体内场强为零，自由电子地方的漂移运动将减慢，直至导体内场强为零，自由电子不再漂移。此时导体与静电场平衡。不再漂移。此时导体与静电场平衡。二、持续电流的形成二、持续电流的形成 2、形成持续电流的条件、形成持续电流的条件2）、在导体内建立静电场）、在导体内建立静电场1）、有闭合导体回路）、有闭合导体回路+-基本基本条件条件闭合导体回路闭合导体回路+静电力静电力3 3）、需要）、需要非静电力非静电力( (利用机械的利用机械的、化学的、化学的、 热的、磁的或光的作用机制等热的、磁的或光的作用机制等) )做做功，功， 使自由电子从电势高的地方回到电势低使

9、自由电子从电势高的地方回到电势低 的地方，以维持导体内部的电场不为零。的地方，以维持导体内部的电场不为零。因静电场满足：因静电场满足：0d LlE及自由电子会不断与导体格点碰撞，及自由电子会不断与导体格点碰撞，所以，上述基本条件不可能使自由电子沿闭合导体回路所以，上述基本条件不可能使自由电子沿闭合导体回路持续地漂移而形成持续电流。持续地漂移而形成持续电流。+静电力静电力 非静电力非静电力能提供非静电力的装置能提供非静电力的装置？电源外部：电源外部：提供静电场，静电力使正提供静电场，静电力使正电荷从电势高的地方向电电荷从电势高的地方向电势低的地方运动。势低的地方运动。电源内部：电源内部：两种力同

10、时存在！方向相反。两种力同时存在！方向相反。电源不断通过非静电力反抗静电力对正电荷做功，电源不断通过非静电力反抗静电力对正电荷做功，使正电荷从电势低的地方（使正电荷从电势低的地方（电源负极电源负极）再回到电势）再回到电势高的地方（高的地方（电源正极电源正极），维持导体两端的电势差，），维持导体两端的电势差，即维持外电路两端的电压，形成持续电流。即维持外电路两端的电压，形成持续电流。+-+静电力静电力+静电力静电力 非静电力非静电力三、电源三、电源 能提供非静电力的装置能提供非静电力的装置注意：电势是描述静电场的物理量注意：电势是描述静电场的物理量LlEdK定义电源定义电源非静电力非静电力把单位

11、正电把单位正电荷荷由负极由负极经电源内部移经电源内部移向正极过程中所做的功向正极过程中所做的功qFEKK非静电力场强度非静电力场强度2 2、电源电动势、电源电动势非静电力非静电力KF电动势反映电源作功电动势反映电源作功本领的大小。本领的大小。lEdK当回路中有多个电源时或非静当回路中有多个电源时或非静电力存在于整个导体回路时：电力存在于整个导体回路时：+-+静电力静电力+静电力静电力 非静电力非静电力刻画电源内非静电力做功本领的物理量刻画电源内非静电力做功本领的物理量电动势是标量。电动势是标量。在导体回路中，各个电源的在导体回路中，各个电源的正负极不一定依次顺接，故正负极不一定依次顺接，故有必

12、要给电源电动势规定一有必要给电源电动势规定一个正方向。个正方向。常规定电动势的正方向常规定电动势的正方向由电源负极指向正极。由电源负极指向正极。一、电流强度一、电流强度把单位时间内通过导体任一横截面的电量定把单位时间内通过导体任一横截面的电量定义为导体内的电流强度义为导体内的电流强度, ,常用符号常用符号I I表示表示电流强度是标量，但电流是有方向的，习惯上，电流强度是标量，但电流是有方向的，习惯上，规定带正电的载流子运动的方向为电流的正方向规定带正电的载流子运动的方向为电流的正方向tqItlim0tqdd导体内导体内电流强度与时间无关时，则称导体内通有电流强度与时间无关时，则称导体内通有研究

13、电流的描述研究电流的描述SISI单位单位: : 安培安培 A A导体内的电流强度表征导体内所载电流的强弱。导体内的电流强度表征导体内所载电流的强弱。上面电流强度的定义可推广到导体中的任一曲面，上面电流强度的定义可推广到导体中的任一曲面，即，可定义通过导体内任一曲面的电流强度。即，可定义通过导体内任一曲面的电流强度。一般情况下，导体内的电流强度随时间变化，电流的一般情况下，导体内的电流强度随时间变化，电流的方向也随时间变化，电流可能连续，也可能不连续。方向也随时间变化，电流可能连续，也可能不连续。匀速圆匀速圆周运动周运动的点电的点电荷的等荷的等效电流效电流强度强度vIpR2q一切物理量均不随时间

14、变化！一切物理量均不随时间变化！二、电流密度矢量二、电流密度矢量因此，需要引入精确描述导体中电流的空间分布的物理量因此，需要引入精确描述导体中电流的空间分布的物理量类似于把河流中的流水看作水流线充满的空间一样，类似于把河流中的流水看作水流线充满的空间一样，可把载有电流的导体看作是充满电流线的空间。可把载有电流的导体看作是充满电流线的空间。显然，一般情况下，载有电流的导体中各处显然，一般情况下，载有电流的导体中各处的电流线疏密情况和电流方向各不相同，因的电流线疏密情况和电流方向各不相同，因此，电流强度只是粗略刻画了导体中电流的此，电流强度只是粗略刻画了导体中电流的整体强弱情况，未能精确描述导体中

15、各处电整体强弱情况，未能精确描述导体中各处电流的强弱和方向。流的强弱和方向。这个物理量就是这个物理量就是电流密度矢量电流密度矢量Stqjddd|SjId|d2. 2. 电流密度和电流强度的关系电流密度和电流强度的关系SSjId方向规定为：方向规定为：SjdnddeSIjcosd|Sj电流强度是电流密度对导体截面电流强度是电流密度对导体截面 的的通量通量。1 1、 电流密度矢量的定义电流密度矢量的定义SdSdtqIddd 电流场：电流场：导体内每一点都有对应的导体内每一点都有对应的),(tzyxj二、电流密度矢量二、电流密度矢量载流导体中任一点的载流导体中任一点的电流密度矢量电流密度矢量 单位时

16、间内流过该点所在的、单位时间内流过该点所在的、且与该点正电荷定向移动方向垂直的单位面积且与该点正电荷定向移动方向垂直的单位面积截面的电量。截面的电量。大小定义为：大小定义为：该点正电荷定向移动的方向该点正电荷定向移动的方向。SIddneJJJJJ为任一曲面时：为任一曲面时：I I可能为负可能为负能流能流能流密度能流密度电流均匀时电流均匀时SIj三、电流连续性方程三、电流连续性方程由电荷守恒定律：由电荷守恒定律：0dSSj稳恒电流条件：稳恒电流条件：Sj线线0ddtqinS均匀电流：导体中各处的电流密度矢量相同均匀电流：导体中各处的电流密度矢量相同稳恒电流：稳恒电流：0ddtqinS对任意一个闭

17、合曲面对任意一个闭合曲面 乃自然界的精确规律之一乃自然界的精确规律之一电荷不可能产生，也不可能消灭电荷不可能产生，也不可能消灭单位时间内流出单位时间内流出的电量一定等于的电量一定等于该面内该面内单位时间单位时间内内电荷的减少量电荷的减少量tqinSddSj dS导体中各处的电流密度矢量不随时间变化导体中各处的电流密度矢量不随时间变化一切物理量均不随时间变化！一切物理量均不随时间变化！电流连续性方程电流连续性方程四、金属导体中的电流密度矢量与载流子的平均漂移速度四、金属导体中的电流密度矢量与载流子的平均漂移速度在导体两端加上电压时，会在导体两端加上电压时，会在导体内部形成在导体内部形成。在这种在

18、这种自由自由电子将有电子将有。 设每个载流子电量为设每个载流子电量为:q载流子数密度为载流子数密度为:n 平均漂移速度的大小平均漂移速度的大小:dv电子漂移方向电子漂移方向Evd t SdvjI d金属导体中自由电子在做热运金属导体中自由电子在做热运动动, ,并不断地与并不断地与晶格离子碰撞。晶格离子碰撞。与与晶格离子的碰撞使自由晶格离子的碰撞使自由电子不能被电子不能被很小。很小。在载流导体中任一点处沿电流密度方向取一柱体元在载流导体中任一点处沿电流密度方向取一柱体元平均速度的统计平均值平均速度的统计平均值电流的简化图像：电流的简化图像： 在各处的所有电在各处的所有电子以该处的平均漂移速度运动

19、子以该处的平均漂移速度运动考考虑虑某某个个载载流流导导体体tStvnqI)(ddSIjd矢量式矢量式dvnqj, 0qjdv（1）同向同向Sqnv d, 0qdv（2）反向反向jdnqv 设每个载流子电量为设每个载流子电量为:q载流子数密度为载流子数密度为:n 平均漂移速度的大小平均漂移速度的大小:dv在载流导体中任一点处沿电流密度方向取一柱体元在载流导体中任一点处沿电流密度方向取一柱体元多种电荷参与导电的情形多种电荷参与导电的情形与与与与 SdvjI dvd tnqe电荷体密度电荷体密度dvedvq具有量纲具有量纲Amiiiivqnjd五、五、欧姆定律的欧姆定律的“微分形式微分形式”mEea

20、碰撞过程可忽略外电场力，碰撞过程可忽略外电场力，考虑金属导体，考虑金属导体，导体中载流子的平均漂移速度应与导体中的电场有关导体中载流子的平均漂移速度应与导体中的电场有关因而，导体中任一点的电流密度应与该点电场场强有关因而，导体中任一点的电流密度应与该点电场场强有关则载流子为自由电子则载流子为自由电子自由电子在导体中做热运动，且不断与晶格碰撞，自由电子在导体中做热运动，且不断与晶格碰撞，, eqdvenj?dv在无外电场时，在无外电场时， 在在相邻相邻两次碰撞之间，自由电子自由飞行两次碰撞之间，自由电子自由飞行当有外电场时，当有外电场时， 在在相邻相邻两次碰撞之间，自由电子的加速度为两次碰撞之间

21、，自由电子的加速度为晶格很密，自由程小，可近似认为飞行时外电场均匀晶格很密，自由程小，可近似认为飞行时外电场均匀设与晶格碰后离开速度为设与晶格碰后离开速度为0v则到再碰时刻则到再碰时刻t的的位移位移为为2/20t atvr对包含某点的微小区域内的大量电子求平对包含某点的微小区域内的大量电子求平均速度的统计平均值，有均速度的统计平均值，有2/0tavv故由于碰撞的随机性，有故由于碰撞的随机性，有00 v t乃自由电子的自由飞行时间的统计平均值，乃自由电子的自由飞行时间的统计平均值，近似等于自由电子的平均自由程与热运动平均速率的比值近似等于自由电子的平均自由程与热运动平均速率的比值vt故得故得Em

22、eavv22ddvenjEmne22载流子的迁移率载流子的迁移率dvnqj经经典典图图像像)(1014m/s 匀速匀速平均速度平均速度tv/eq一般一般平均速度的统平均速度的统计平均值计平均值五、五、欧姆定律的欧姆定律的“微分形式微分形式”考虑金属导体，考虑金属导体，导体中载流子的平均漂移速度应与导体中的电场有关导体中载流子的平均漂移速度应与导体中的电场有关因而，导体中任一点的电流密度应与该点电场场强有关因而，导体中任一点的电流密度应与该点电场场强有关则载流子为自由电子则载流子为自由电子, eqdvenj?dvdvnqjEmqv2dEmnqj22mnq22E多种电荷参与导电的情形多种电荷参与导

23、电的情形在载流导体中任一点处沿电流密度方向取一柱体元在载流导体中任一点处沿电流密度方向取一柱体元IdSdl dVVVdjSjIddSjdSEdlSlEddd)d/(ddSlV则对一长为则对一长为d dl、截面为、截面为S S和载流均匀的导体元，和载流均匀的导体元，VSlIddSSSjIIddSSjdSSjd有有jSESlSlEdd)/(ddSlV对一段长为对一段长为l的的载流均匀的导体，有载流均匀的导体，有llVSlIddVlSlRdVIR此即欧姆定律此即欧姆定律此为欧姆定律的微分形式此为欧姆定律的微分形式 电导率电导率 其倒数叫电阻率其倒数叫电阻率1Emeavv22dEmnej22设所载电流

24、稳恒设所载电流稳恒II1I2I六、焦耳定律的微分形式六、焦耳定律的微分形式电场力作功功率电场力作功功率(对单位体积内对单位体积内 的载流子的载流子)ddvEnqvf则热功率则热功率密度：密度：2EwRIP2焦耳定律焦耳定律由于晶格离子对电子的碰撞，使电子损失能量，由于晶格离子对电子的碰撞，使电子损失能量，晶格离子获得能量，并以热量的形式释放出来。晶格离子获得能量，并以热量的形式释放出来。在平衡状态下，电场力作功与导体释放的热量相等。在平衡状态下，电场力作功与导体释放的热量相等。EvnqdEjEE2E焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式END本页不要求本页不要求当空间中存在稳恒电流时当空间中存在

25、稳恒电流时1 1、电源两极、电源两极、载流载流导体不均匀处及某些表面处有净余导体不均匀处及某些表面处有净余电荷。但在任一有电荷。但在任一有净余电荷分布的区域里，净余电荷分布的区域里， 流进流出的流进流出的电量相同，因此，空间中（包括导体区域）宏观净余电电量相同，因此，空间中（包括导体区域）宏观净余电荷分布确定，与时间无关。荷分布确定，与时间无关。电流稳恒条件电流稳恒条件0dSSj七、稳恒电流电路七、稳恒电流电路2 2、分布在电源两极、分布在电源两极、载流载流导体不均匀处及某些表面处导体不均匀处及某些表面处的净余电荷决定空间中的电场，因而，场强分布与时间的净余电荷决定空间中的电场，因而，场强分布

26、与时间无关。稳恒电流电路的电场叫做稳恒电场，与静电场规无关。稳恒电流电路的电场叫做稳恒电场，与静电场规律相同：律相同：GaussGauss定理和环流定理。导体内电场场强不为定理和环流定理。导体内电场场强不为零，导体表面附近场强一般也不与表面垂直。零，导体表面附近场强一般也不与表面垂直。载流回路中电荷定向运动。载流回路中电荷定向运动。0ddtqinSI12ISab0 j0ddbaSbbSaaSjSjajbjIIIba1j2j两不同导体交界面两侧两不同导体交界面两侧02211SdjSdj0dd21SjSj21jj 均匀导体内的场强平行于导体表面。均匀导体内的场强平行于导体表面。Ej 0in E0i

27、n2211EE导电介质导电介质ED aSdaSd0d LlElEELd)(K而而LlEdK3 3、闭合电路的环流定理、闭合电路的环流定理对稳恒电场：对稳恒电场：闭合电路的环流定理闭合电路的环流定理（1）在电源内部）在电源内部欧姆欧姆定律定律推广推广)(KEEj（2）在电源外部）在电源外部0KEEj本页不要求本页不要求一段含源电路一段含源电路计算计算ab、两端的电势差：两端的电势差：baablEVVdcalEd ) 1 (4 4、稳恒电流、稳恒电流电路中两点的电势差电路中两点的电势差bccabalElElEdddljcadcaslIdcaRIdIR)(Ejljcadlsjscad。 r ,RIc

28、ba。 本页不要求本页不要求bclEd ) 2(dlsjsbc IrbcrId)( KEEJKEJEIRlEcad ) 1 (lEjKbcd)(bclEdK。 r ,RIcba。 本页不要求本页不要求baablEVVdIR IrbccalElEdd IrbcrIdIRlEcad ) 1 (本页不要求本页不要求0abVV对于闭合电路，可将对于闭合电路，可将 看作一点。看作一点。ba,0IrIR闭合电路的欧姆定律闭合电路的欧姆定律5 5、闭合、闭合电路欧姆定律电路欧姆定律IrIRVVab0iiiiiir IRI当回路有多个电当回路有多个电阻和电源时：阻和电源时：。 r ,RIcba。 本页不要求本

29、页不要求。11,r1RI。 22,r2Rba简单电路（如图所示）简单电路（如图所示）设电路中有如图示电流。设电路中有如图示电流。依据闭合电路的欧姆定律依据闭合电路的欧姆定律：0222111IRIrIrIR221121RrrRI讨论讨论（1）如果）如果 I 0，电路中电流如图所示；，电路中电流如图所示；（2）如果）如果 I 0, 磁力线穿出磁力线穿出0, 磁力线穿入磁力线穿入传导电流：传导电流：lId由毕奥由毕奥萨伐尔定律：萨伐尔定律：30d4drrlIB p p S0d)(dsSBd任意电流系统可分为任意电流系统可分为21d,dlIlI各自产生磁场各自产生磁场21d,dBB通过闭合面之磁通量通

30、过闭合面之磁通量21d,d 通过闭合面之总磁通量通过闭合面之总磁通量 21mdddSSB0 此结论对运动电荷及永久磁体的磁场也成立！此结论对运动电荷及永久磁体的磁场也成立！微电流元的磁场通过闭曲面微电流元的磁场通过闭曲面S的磁通的磁通1B1dS2B2dS|12BB磁力线管磁力线管:B二、磁高斯定理二、磁高斯定理 稳恒磁场高斯定理：稳恒磁场高斯定理：sSB0dsSBd2211SdBSdB2211dSBdSB0BBBBI长直密绕螺线管的磁场长直密绕螺线管的磁场二、磁高斯定理二、磁高斯定理 稳恒磁场高斯定理：稳恒磁场高斯定理：sSB0dz轴线上轴线上zenIB00O载流体系的轴对称性载流体系的轴对称

31、性zzpeBeBeBB)()()(npBBzBR下S侧S上S取同轴封闭柱面为取同轴封闭柱面为Gauss面面0dddd下侧上SBSBSBSBs下上SBSBddlBSBSBp2)(d)(d侧侧l02)(ddlBSBSBsp侧0)(BzzpeBeBB)()(考虑任意场点考虑任意场点pzzpeBeBeBzB),(并总可设并总可设进一步用环路定理可得前述结论进一步用环路定理可得前述结论略略二、磁高斯定理二、磁高斯定理 SSB0dGauss定理定理0 Bxkxjxi 磁场为无源场！磁场为无源场！线线无无头头无无尾尾B稳恒磁场稳恒磁场静电场静电场 sqSE0/d Gauss定理定理0/ E静电场为有源场！静

32、电场为有源场！线出自正电荷，线出自正电荷， 聚于负电荷聚于负电荷E磁场与电场不同等的磁场与电场不同等的原因：自然界无磁单极原因：自然界无磁单极狄拉克磁单极狄拉克磁单极（1931年，至今年，至今未发现）未发现）, SVSdAdVA德国柏林亥姆霍兹材料与能源研究中心与来自德累斯顿德国柏林亥姆霍兹材料与能源研究中心与来自德累斯顿、圣安德鲁斯、拉普拉塔和牛津的研究人员在、圣安德鲁斯、拉普拉塔和牛津的研究人员在2009年年9月月于柏林进行的中子散射实验中，找到了自旋冰中磁单极于柏林进行的中子散射实验中，找到了自旋冰中磁单极子的类似物，但这并非狄拉克所预言的基本粒子。子的类似物，但这并非狄拉克所预言的基本

33、粒子。/wiki/Spin_ice二、磁高斯定理二、磁高斯定理 通过任意闭合曲线通过任意闭合曲线L的磁通量的磁通量如图，以该闭合曲线如图，以该闭合曲线L为边界为边界作任意两个不相交的曲面作任意两个不相交的曲面S1、S2。它们的各个面元方向。它们的各个面元方向分别如图所定。显然，它们组分别如图所定。显然，它们组成一个闭曲面成一个闭曲面S。由磁高斯定理。由磁高斯定理有有 0d SSB0dd2121 SSSBSB故故 2121ddSSSBSB因因S1、S2任意，所以闭合曲线任意，所以闭合曲线L决定了通过以它为边界决定了通过以它为边界的任何曲面的磁通量，从而

34、，可称之为通过该闭合曲的任何曲面的磁通量，从而，可称之为通过该闭合曲线线L的磁通量。的磁通量。磁矢势磁矢势A三三 、安培环路定理、安培环路定理静电场：静电场： llE0dStokes定理定理0 E无旋场无旋场单位正点电荷沿单位正点电荷沿l运动时电场力所做的功运动时电场力所做的功稳恒磁场：稳恒磁场：BlldlBd llBd环量环量? 物理意义为何？物理意义为何？若任选一根磁力线为闭合回路若任选一根磁力线为闭合回路 llBd llBd0 对任意闭合回路的情形对任意闭合回路的情形, 由毕由毕萨萨定律可得结果定律可得结果安培环路定理安培环路定理。不知道。不知道。下面通过以长直电流的磁场为例来下面通过以

35、长直电流的磁场为例来研究这个问题研究这个问题,并作为该并作为该定理的定理的说明。说明。长直电流的磁场的环量：长直电流的磁场的环量：安培安培环路环绕载流线一次环路环绕载流线一次（一次链套）：（一次链套）：IllldrB e p p erIB20 cosddlBlB d dBr llBd lI p p d20I0 l 绕向相反或电流反向，绕向相反或电流反向，IlBl0d N次链套：次链套：llBd dddreerlr极坐标系极坐标系ddrle平面安培环路：平面安培环路：此对空间安培环路情形亦成立。此对空间安培环路情形亦成立。lBrdpd20rrIlIN0pp220NI非非链套情形链套情形(回路不环

36、绕任何载流线回路不环绕任何载流线)：lba1l2l2211ddd21lBlBlBlll )dd(221210 llI p p 0 任意安培任意安培环路环路的非的非链套情形：链套情形： llB0d空间有多个电流：空间有多个电流：I2IiI6I1I5l llBd jjBBlBljjd jljlBd iiI0 iiI0 iiI：被积分回路所链套的电流强度之代数和被积分回路所链套的电流强度之代数和1 1B1dl1d 2 2B2dl2d 安培环路定理安培环路定理 iilIlB0d iI：被积分回路所链套的电流强度被积分回路所链套的电流强度;注意：注意：1. 代数和代数和, 例如例如(见图见图),3I1I

37、2I)(d210IIlBl由由所所有有电电流流共共同同产产生生B但安培环路定理表达式中的电流但安培环路定理表达式中的电流强度是指穿过闭合曲线的电流，强度是指穿过闭合曲线的电流，不包括闭合曲线以外的电流。不包括闭合曲线以外的电流。2. 安培环路定理可严格证明，上述只是说明。安培环路定理可严格证明，上述只是说明。3. iilIlB0d Stokes定理定理jB0磁场为有旋场！磁场为有旋场！电流是磁场的涡旋中心电流是磁场的涡旋中心!4. 仅适用稳恒电流产生的磁场。仅适用稳恒电流产生的磁场。5. 可用于确定具有某些对称性的载流系统的磁场分布。可用于确定具有某些对称性的载流系统的磁场分布。磁场无源有旋。

38、磁场无源有旋。 LSl dASdA)(SlSdjlB0d长直密绕螺线管的磁场长直密绕螺线管的磁场不能引入标量函数来描述磁场！不能引入标量函数来描述磁场！同轴电缆同轴电缆 RjrjrlBl2 dp载流柱体载流柱体lII 1l2lI长直密绕螺线管的磁场（例长直密绕螺线管的磁场（例14-5）z轴线上轴线上zenIB00OnpBBzBR下S侧S上Sl0)(BzzpeBeBB)()(考虑任意场点考虑任意场点pzzpeBeBeBzB),(并总可设并总可设安培环路定理安培环路定理 iilIlB0d 1l常量常量1lp2)(d11BlBlzzpeBB)(2l2labinzBB)(3lab3loutzBB)(常

39、量常量nIBBin004l4labnbIbBbBoutin00outBzpenIB0（管内）（管内）0pB（管外）（管外）00Bea/zeb/120)()(2122bBbBdlBzzl略略绕轴匀转的匀绕轴匀转的匀电柱面、柱体电柱面、柱体对称性分析对称性分析(见图见图,俯视俯视)例例14-4 无限长圆柱面上直电流的磁场无限长圆柱面上直电流的磁场RI安培环路定理的应用安培环路定理的应用解：解：PBdBdIdIdro磁场分布的对称性：磁场分布的对称性： 线为圆心在线为圆心在载流柱面的轴上且垂直于该轴的圆载流柱面的轴上且垂直于该轴的圆B取圆心在柱轴、圆面垂直于柱轴取圆心在柱轴、圆面垂直于柱轴且半径为且

40、半径为r的圆周为安培环路的圆周为安培环路,则则IlBl0 d )( , 20RrrIB p p 此相当于电流全部集中于柱轴的情形此相当于电流全部集中于柱轴的情形)( , 0RrB Br曲线如图。曲线如图。rBRoRIp p 20讨论：柱对称分布的均匀载流体。讨论：柱对称分布的均匀载流体。补偿法：习题补偿法：习题14-15，14-18IrBlBl02 d p p 长直载流线长直载流线 p p erIB20 长直电流磁场长直电流磁场1、分析磁场分、分析磁场分 布的对称性布的对称性2、适当选择安、适当选择安 培环路培环路3、运用安培环、运用安培环 路定理路定理步骤：步骤：llBdrINBp2002d

41、rBlBlp0 B环内：环内：环外：环外：解：解：空心圆环上的螺旋形线圈（螺绕环）电流的磁场。空心圆环上的螺旋形线圈（螺绕环）电流的磁场。补充例补充例安培环路定理的应用安培环路定理的应用设密绕设密绕N圈，载流圈，载流I，如图，如图若环细，若环细， r可近似为平均半径可近似为平均半径R 。磁场分布与电流分布具有相同的磁场分布与电流分布具有相同的轴对称性，磁力线为与环共轴的轴对称性，磁力线为与环共轴的圆周。圆周。单位长度匝数单位长度匝数讨讨论论1、环截面可不是圆周，如，托卡马克的螺绕环截面为豆形；、环截面可不是圆周，如，托卡马克的螺绕环截面为豆形；2、长螺线管与螺绕环有类似结果，但管内磁场总是匀强

42、。、长螺线管与螺绕环有类似结果，但管内磁场总是匀强。nI0 此载流体系具有轴对称性，可类似于长直螺线管进行分析。此载流体系具有轴对称性，可类似于长直螺线管进行分析。取之为安培环路，则取之为安培环路，则1R2RINr?磁感应强度分布的对称性及其与截面形状无关。磁感应强度分布的对称性及其与截面形状无关。rBp2llBdNI0 ：电流线密度电流线密度lI ddBddBllBd1012lBl 20 BBabcd1l2l无限大平面电流的磁场。无限大平面电流的磁场。例例14-6 解：解：单位长度的电流强度单位长度的电流强度对于矩形回路对于矩形回路lI无限大载流面两侧为两个磁场方向无限大载流面两侧为两个磁场

43、方向相反的相反的匀强匀强磁场区域。磁场区域。讨论：讨论：长直载流螺线管长直载流螺线管nI对载流面对称的面上的对载流面对称的面上的B大小相等大小相等 又叫面电流密度又叫面电流密度匀流柱面匀流柱面RIp2/LI /均匀轴流柱体？均匀轴流柱体？2/ RIjp2/dRrIp 11d2llB22d2llB10 lB垂直于载流面，且等分为二垂直于载流面，且等分为二 1、两无限大平行载流面：、两无限大平行载流面： 1)、电流同向：中间磁场为零；、电流同向：中间磁场为零；2)、电流反向：两侧磁场为零。、电流反向：两侧磁场为零。2、无限大载流厚板：、无限大载流厚板： 载流面叠加载流面叠加第十二次平时作业第十二次

44、平时作业PZ45：习题：习题14: 14-12;共共6题题PZn：表示第表示第n道平时作业题道平时作业题各次所布置的平时作业题将连续排序各次所布置的平时作业题将连续排序PZ44：习题：习题14: 14-11;PZ47：习题：习题14: 14-14;PZ46：习题：习题14: 14-13;PZ49：习题：习题14: 14-19。PZ48：习题：习题14: 14-18;14.5 磁场对载流导线的作用磁场对载流导线的作用一、安培力公式一、安培力公式一个载流子受力：一个载流子受力：BvqF L)(ddBvqlnSF vnqj SjI jl/dBlIBjlSF d)(dd llBlIFF)d(d电流元受

45、力：电流元受力：1、载流导体所受磁力的、载流导体所受磁力的Lorentz力本质：力本质：定向运动的自由电子受定向运动的自由电子受Lorentz力而附加侧向运动力而附加侧向运动自由电子因与导体晶格不断碰撞而给导体以侧向冲量自由电子因与导体晶格不断碰撞而给导体以侧向冲量大量自由电子所施侧向冲量的结果表现为载流体受到磁力大量自由电子所施侧向冲量的结果表现为载流体受到磁力Ampere力乃大量自由电子力乃大量自由电子Lorentz力之和力之和2、安培力公式、安培力公式匀强匀强磁场中的直电流磁场中的直电流 sinIBlF 教材教材P69略略略略BlIdFdllBlIdFdF例例14-7 求匀强磁场中载流导

46、线受力。求匀强磁场中载流导线受力。BABl解：解：l lBlIF)d(BlIl )d(BABI 在均匀磁场中，一段载流曲线和在均匀磁场中，一段载流曲线和 相应的相应的AB 段直电流受力相同！段直电流受力相同！显然，在均匀磁场中，任一显然，在均匀磁场中，任一闭合闭合载流曲线受力为零！载流曲线受力为零！考虑在均匀磁场中的半径为考虑在均匀磁场中的半径为R的载流圆环，如图，的载流圆环，如图，设想其被设想其被AB所在直线截成两个半圆所在直线截成两个半圆BABRI则则AB下方那下方那个半圆所受磁场力与载有相同个半圆所受磁场力与载有相同电流电流强度且方向如图的强度且方向如图的AB线段所受磁场力大线段所受磁场

47、力大小相等方向相反，大小为小相等方向相反，大小为2RBI这两这两个半圆所受磁场力是一对平衡力个半圆所受磁场力是一对平衡力其中任一半圆所受平衡力则是该其中任一半圆所受平衡力则是该半圆所受半圆所受磁场力和另一半圆在两个端点处所施的等大磁场力和另一半圆在两个端点处所施的等大拉力，即圆环中张力。拉力，即圆环中张力。TTIBRT Ampere力公式力公式BlIdFd长直电流磁场中的载长直电流磁场中的载流线所受流线所受Ampere力力I1I2 BFF共面共面2212ddlIBF 单位长度单位长度受力：受力：aIIIBlFp p 2dd2101211 aIIIBlFp p 2dd2102122 1A的定义：

48、的定义：/mA1211N/m102207 p p 270N/A104 p p 同同时时确确定定：1dF2dFa补充例补充例 求两平行长直载流线间的相互作用力。求两平行长直载流线间的相互作用力。 解：解：电流同向相吸电流同向相吸,异向相斥异向相斥真空中两条截面积可略的相距真空中两条截面积可略的相距1米的平行长圆直米的平行长圆直载流线间相互作用力每米长度上为载流线间相互作用力每米长度上为210-7N时时,则则每根导线中的电流为每根导线中的电流为1A。1I2I22dlI11dlIdIB 20p p BlIdFd二二 、载流线圈在磁场中受到的磁力矩、载流线圈在磁场中受到的磁力矩(Ampere力矩力矩)

49、匀强磁场中的刚性矩形载流线圈匀强磁场中的刚性矩形载流线圈 如图，边长如图，边长l2与磁场强垂直与磁场强垂直 sin111BIlFF 222BIlFF cos12lFM N 匝：匝：NISmmBNBISM sinsin 磁力矩：磁力矩：BmBemM n磁矩 1F2F1l2lBI由右手定则根据电流绕向由右手定则根据电流绕向 规定线圈正法向规定线圈正法向一般情形亦成立一般情形亦成立讨论：讨论：1、力矩与力矩与 ;2、边长、边长l1、 l2与磁感应强度均不垂直与磁感应强度均不垂直比较：比较：EpM ne （俯视）（俯视）B1lne 2F2FM cos21lBIlcosBISsinBISB沿水平线沿水平

50、线2l铅直铅直1l水平面水平面1F2F 11 FF、铅直共线铅直共线22 FF、水平、不共线水平、不共线在线圈平面内在线圈平面内不在线圈平面内不在线圈平面内一对平衡力一对平衡力一对力偶一对力偶见后见后大小不同的同形载流线圈共轴固定地排在平面内大小不同的同形载流线圈共轴固定地排在平面内时的磁矩和磁力矩时的磁矩和磁力矩线圈载流反向线圈载流反向BlIdFdBen顺磁性顺磁性 )(2)(2)(2)(2BbIaBaIbBbIaBaIb)()(BbIaBaIbldr)d(BlIrMar2b b在匀强磁场中在匀强磁场中的矩形载流圈的矩形载流圈简便算法：简便算法：任一边上各电流微元任一边上各电流微元所受磁力方

51、向相同，所受磁力方向相同，其合力作用于该边中点其合力作用于该边中点2b b2a矩形载流圈在磁场中的方位任意时矩形载流圈在磁场中的方位任意时)()()()(baBBabBbaabBI)()(BbaBabIBbaI)()(baImBmM考虑对任一点考虑对任一点OO的力矩，则的力矩，则bcdcbddbcdcb)()()()(与与O O点无关，乃力偶矩点无关，乃力偶矩对对称中心对对称中心O)d()(BlIrooMo)d()d(BlIrBlIooBmBlIoo)d(Bm略略2. 匀强磁场中之任意形状平面载流线圈匀强磁场中之任意形状平面载流线圈0)d()d( BlIBlIFll小矩形：小矩形：总磁力矩：总

52、磁力矩： ,ddBmM BeSI)d(nBeISn非匀强磁场：非匀强磁场：)(,0BmFM 指指向向弱弱场场区区域域指指向向强强场场区区域域FF,0p p 应用：直流电动机（如无轨电车，电气机车）应用：直流电动机（如无轨电车，电气机车）, 磁电式电流计磁电式电流计IBBBnddeSIm nene思考：非平面载流线圈的受力情况思考：非平面载流线圈的受力情况（微载流线圈）（微载流线圈）磁镜原理磁镜原理(见后）见后）BM m )d(Bm )d(M dBeSIn)d( BmlS磁力矩：磁力矩：三、三、 Ampere力的功力的功BIlF xFA：m 穿过闭合回路的穿过闭合回路的磁通之增量磁通之增量SBI

53、 )( mimf I1. 运动的载流导线运动的载流导线运动的载流导线运动的载流导线ab与两与两平行导轨构成闭合回路平行导轨构成闭合回路, I保持不变。匀强磁场垂保持不变。匀强磁场垂直于闭合回路。直于闭合回路。 m I取闭合回路所围平面区域取闭合回路所围平面区域为计算磁场穿过该回路磁为计算磁场穿过该回路磁通的曲面，通的曲面，xIlabFoixfxxifxx xBIl)(ifxxBIlifBIlxBIlx 其上各面元正其上各面元正向取为与电流绕向成右手向取为与电流绕向成右手螺旋关系的平面区域法向螺旋关系的平面区域法向mmimf)( 或穿过或穿过扫过面积的磁通量扫过面积的磁通量2. 转动的载流线圈转

54、动的载流线圈BmM sinISBM d sindISBA ?0d , 0d A则则若若 )cos(d)(cosdd BSIIBSA d转动转动d磁力矩对刚体所做的微功为磁力矩对刚体所做的微功为M线圈在匀强磁场中线圈在匀强磁场中选与电流绕向呈右手螺旋关系的线圈平面法向为选与电流绕向呈右手螺旋关系的线圈平面法向为 线圈平面区域中面元的正向线圈平面区域中面元的正向md I|d| )d(Bm21 21dsin BISA)(12mmm II时磁通量为正，反之为负。时磁通量为正，反之为负。d 2m1mmdI)(mimfI dsindISBA )cos(d)(cosdd BSIIBSA 选与电流绕向呈右手螺

55、旋关系的线圈平面法向为选与电流绕向呈右手螺旋关系的线圈平面法向为 线圈平面区域中面元的正向线圈平面区域中面元的正向md I0d , 0d A则则若若 2/0p p 小线圈在外磁场中的能量：小线圈在外磁场中的能量：BmWm)d(Bm12coscosIBSIBSmW)cos(IBS)(Bm)(BmWFm粒子与磁场的相互作用能粒子与磁场的相互作用能电子的自旋电子的自旋-轨道相互作用轨道相互作用当载流回路在非匀磁场中转动保持当载流回路在非匀磁场中转动保持I不变时，此式亦可用。不变时，此式亦可用。例例14-8 如图，如图，电流电流I2的等腰直角三角形线圈的等腰直角三角形线圈ABC。若将线圈从图。若将线圈

56、从图示位置以示位置以AC边为轴转过边为轴转过180并保持其电流不变，并保持其电流不变，求无限长直电流磁场所做的功。求无限长直电流磁场所做的功。解：解：bablalIId2102pABABCSBIIAd2m2在无穷长直电流在无穷长直电流I1的磁场中放置一通有的磁场中放置一通有1IbBAdIB 20p p ABC在长直电流激发的磁场中转动在长直电流激发的磁场中转动ABC转动过程中转动过程中I2不变化，磁场力对不变化，磁场力对之所做功等于磁通量增量与之所做功等于磁通量增量与I2之积之积直电流激发的直电流激发的磁场不均匀磁场不均匀则则取面元方向与电流绕向成右手螺旋关系取面元方向与电流绕向成右手螺旋关系

57、 BCB2IaABCABCSBSBddmiCBACBASBSBddmf故故CBASBdmABCSBdABABCSBd无限长直电流磁场在无限长直电流磁场在ABC翻转中对之所做的功为翻转中对之所做的功为lal dbbaaIIln2120p2IlIIIII 补充例补充例 两条半径为两条半径为R的长平行导轨相距的长平行导轨相距l,另一长为另一长为l的导的导线通过圆环导线套于导轨。两导轨通以反向电流线通过圆环导线套于导轨。两导轨通以反向电流I时，导线中时，导线中流有微弱电流流有微弱电流I。如图。导轨中电流沿表面分布。求垂直导线。如图。导轨中电流沿表面分布。求垂直导线受到的安培力。受到的安培力。解：解：1

58、2o1rdr1电流电流 1 在电流元处产生磁场在电流元处产生磁场1012 rIBp p 1dF各个电流元的各个电流元的dF1的方向相同！的方向相同！RRlIIrIrIFRlR ln2 d201101p p p p 各个电流元的各个电流元的dF2的方向相同，且与的方向相同，且与F1同向！同向！FRRlIIFF ln 201p p 应用：船舶、潜艇的电磁推进装置，电磁炮应用：船舶、潜艇的电磁推进装置，电磁炮II 补充例补充例 平行于外磁场插入一无限大载流薄片，总磁场已知，平行于外磁场插入一无限大载流薄片，总磁场已知，求外磁场求外磁场 、薄片中电流密度、薄片上磁压。载流与、薄片中电流密度、薄片上磁压

59、。载流与 垂直垂直 。B0BB0BB1BB2B解：解： 由图知，由图知，21 BB 薄片电流方向薄片电流方向：垂直向外垂直向外: 0B方向：同总磁感应强度方向方向：同总磁感应强度方向0B0B设薄片的磁场为设薄片的磁场为 （匀强，上（匀强，上下反向）。由场强迭加原理下反向）。由场强迭加原理BBBB 01BBB 022210BBB 电流线密度：电流线密度：abcd取矩形回路，如图，由安培环路定理，有取矩形回路，如图，由安培环路定理，有abBBabcdBabB )(02121 021 BB 可否不用可否不用Ampere环路定理求之？环路定理求之？薄片所受磁压：单位面积薄片所受压力薄片所受磁压：单位面

60、积薄片所受压力,2210BBB 021 BB 面积为面积为dl1dl 的薄片所受压力的薄片所受压力(下标下标“up”和和 “down”分别代表薄片分别代表薄片“上方上方”和和“下方下方”)：01, 0111dd dddBldlBldlBldlBldlfupdownup，由上向下，由上向下磁压强为磁压强为2)()(ddd2102101BBBBBllfp)(2122210BB 讨论：讨论：1、 的情况；的情况；21 BB 2、上述公式也适用于有限曲面；、上述公式也适用于有限曲面；3、无外场情形。、无外场情形。dl1长直载流柱面长直载流柱面第十三次平时作业第十三次平时作业PZ51：习题：习题14: