行波法与积分变换法——数学物理方程ppt课件

1、行波法(求解无界区域内波动方程定解问题)积分变换法 (无界或有界区域)0,(2txuauxxtt xut0| xutt0|atxatx考虑代换利用复合函数求导法则得uuuuuxxx22uuuuuxxx222222uuu 同理有: 22tu2222222uuua 代入方程，得到 02u在上式中对 积分, 得 fu( 是 的任意可微函数) f再将此式对 积分, 2,fdftxu12fxatfxat其中 都是任意二次连续可微函数. 12,ff利用初始条件，确定两个函数的具体形式。 由第二式得012|(0)(0)tufxafxa xxafxaf21012| (0)(0)ttuafxaafxa xCda

2、xfxf0211 xxfxf21.12(0)(0)Cff其中 xCdaxxf0122121 xCdaxxf0222121由由, , xCdaxfxf0211 xxfxf21解得 atxatxdaatxatxtxu2121,代入通解表达式，得达朗贝尔达朗贝尔(DAlembert)(DAlembert)公式公式. .图 3-1 u2x2( )fxaa t=0u2xa3au2x32a2a t=1/2u2x2at=1t=2考虑 的物理意义22()ufxat 随着时间t 的推移u2的图形以速度a 向x轴正向移动.物理意义物理意义: : 随着时间随着时间 t t 的推移的推移, , 的图形以速度的图形以速

3、度 a a 向向 x x 轴正方向移动轴正方向移动, , 也就是说也就是说, , 它表示一个以速度它表示一个以速度a a 向向x x 轴正方向行进的波轴正方向行进的波, , 称为称为右行波右行波. .同样道理同样道理, , 以速度以速度a a 向向x x 轴负方向轴负方向传播的行波传播的行波, , 称为左行波称为左行波. . atxfu22atxfu11在 平面上斜率为 的两族直线 , 对一维波动方程的研究起到重要作用, 称这两族直线为一维波动方程的特征线, 变换tx a1称为特征变换, 行波法也叫特征线法.atx atx 常数xat常数 atx 0222dtadx2ttxxua u的积分曲线

4、, 这个常微分方程称为它的特征方程 .一维波动方程的两族特征线恰好是常微分方程,2GFuEuDuCuBuAuyxyyxyxx2220A dyBdxdyC dx一般的二阶线性偏微分方程它的特征方程为(*)这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的特征曲线. 220dydyABCdxdx2dyBBACdxA记2( , )x yBAC称其为二阶线性偏微分方程的判别式0),( yx双曲型方程0),( yx椭圆型方程0),( yx抛物型方程02u可以证明，当 时，有两条相异的实特征线因此特征线法对双曲型方程都是有效的，沿着特征线做自变量替换 总可以把双曲型方程化为 ( , )0 x y1122( ,

5、 ),( , )x ycx yc12( , ),( , )x yx y从而得到方程的通解12( )( )uff032yyxyxxuuu例 求下面问题的解:(3.1)解: 特征方程 03222dxdxdydy两族积分曲线为 13Cyx2Cyx做特征变换 yxyx3203|xuy0|0yyu(3)0dydxdydx3uuuuuxxx22(3)(3)uuuuuxxx2222296uuu 2(3)(3)uuuuux yyy 2222232uuu yxyx3uuuuuyyy 22()()uuuuuyyy222222uuu 02u代入方程化简得:yxyx3 21ffuyxfyxfyxu213,它的通解为1

6、f2f其中 , 是两个二次连续可微函数. 于是原方程的通解为 22133xxfxf 0321xfxf代入初始条件 , ，得 203|xuy0|0yyu第二式的两端得关于 积分得x 12121130033fxfxffC 解得 212213443344fxxCfxxC2222343341,yxyxyxyxu所求问题的解为 2193344fxxC2222sincos0dyxdxdyx dx解 特征方程为特征曲线为 1cosCxxy2cosCxxy例 求方程22sincoscos0 xxxyyyyuxuxuxu的一般解.sin1dyxdx xyxcosxyxcos所以，做变换则原方程可以变为 02u)

7、cos(cos,21xyxfxyxfyxu其中 , 是任意的二次连续可微函数. 1f2f于是，方程的通解为研究波在空间传播问题.200010 (, ,0)( , , ) (, ,)( , , ) (, ,)tttttuaux y ztux y zx y zux y zx y z 三维波动方程的初值问题一、球对称情形 cossinsincossinrzryrx2222222sin1)(sinsin1)(1 ururrurrru球坐标系 假设 仅是 r 的函数, 那么是r 和 t 的函数, 此时称定解问题是球对称的。),(),(zyxzyx );,(tzyxu222222222rururzuyux

8、uu 球对称波动方程0222222 rururatu进一步有0)()(22222 rruatru对球对称问题对球对称问题球对称情形下，三维波动方程边值问题可化为 2222200001()()0|0()|( )()|( )rttruruatrrururrrurrt这个问题我熟悉！由达朗贝尔公式001001()()()()21( ),02( , )()()()()21( ),02r atr atat rat rratratratratrdrataru r tratratatratrrdratar 二二. . 一般情况一般情况 dtudSturtruMMrSS 1),(41),(41),(2令 表示

9、 在球面 上的平均值。),(tru),(tzyxuMrS cos,sinsin,cossinrzryrx 其中M=M (x,y,z), 是球面 上的点, ,MrS二二. . 一般情况一般情况 dtudSturtruMMrSS 1),(41),(41),(2令表示以 M 为中心的单位球面，MS1表示 上的面积元素，dSMrS drdS2 d dddsin 表示单位球面上的面积元素， dtrzryrxutruMS 1),cos,sinsin,cossin(41),(),(), 0(tMutu 即而),(),(lim0tMutrur 以下推导 所满足方程及初始条件。 ),(tru222221414M

10、rMrBBu dVrudVa rt高斯公式dSnurdnuduuuruMrMMSSS 24141cossinsincossin4111 进一步有： dSudtdVtururaMrMrSrB 02222224 两边关于 r 求导，得 dSutrurarMrS 22224 得dSturtruMrS ),(41),(2 2222244turrurra 由即22222turrurra 22222)(2rurrrurrurrurr 0)()(22222 ruratur可得：由22222)(turrtur 0)()(22222 ruratur由初值条件和 的表达式，有： ),(tru0001()()|,|

11、ttrururrt其中 分别是函数 在 上的球平均值。 01,01, MrS满足如下定解问题： ur2222200001()()00,0()|0()|()|rttruruarttrrururrurt 22222()()0ruruatr方程的通解为12()()ruf ratf rat120121( )( )( )( )( )( )f rf rrrrfrfrra利用初始条件0001()()|,|ttrururrt有其中是两个二次连续可微的任意函数2, f f1010201011( )( )( )211( )( )( )2rrf rrrdCaf rrrdCa 所以001()()()()( , )21

12、( )2r atr atratratratratu r trdar 解方程组得22212322212312311231(, )1(),(),(), )4(, )ur tu xryrzrt du xryrzrt d(, )( , )ur tu r t将 延拓到r0的范围内。并且( , )u r t同理 也是偶函数01( ),( )rr利用所以 ratratatratratrdarrratratatratratrdarratratratratrtru0)(212)()()()(0)(212)()()()(),( 由于 ，只考虑 的情形0r0 atr001() () () ()1( , )( )22

13、at rat rat rat rr atr atu r tdrar 001001lim( , )()()()1()()ru r tatatattatatattatat利用洛必达法则20002212002(0, )1(sincos ,sin sin ,cos )4 () sin d d(sincos ,sin sin ,cos )4()() sin d dutxatyatzatatatattxatyatzatatat 011(, )4MMatatSSu M tdSdSatatat即简记成三维波动方程的泊松公式三、泊松公式的物理意义 从泊松公式出发，解释波在三维空间的传播现象.设 且， 3RT )

14、,(zyx TzyxTzyxzyx),(0),(0),( 1. 在任一固定点 的振动情况 ),(000zyxM 设 ， 由 沿以 M 为中心，at 为半径的球面的曲面 积分所决定。 TM ),(minQMdTQ ),(maxQMDTQ ),(tMu ,MatS0),( tMuM 点处于静止状态，说明点处于静止状态，说明 T 的振动尚未达到的振动尚未达到 M 点。点。 当 时， 为空集，所以 TSMat adtt 1 当 时， 不为空集，aDttt 21TSMat 0),( tMu所以M点处于振动状态, 说明 T 的振动已传到 M 点。 当 时， 为空集，说明振动已 传过 M 点， M 点仍回复

15、到静止状态。 aDtt 2TSMat 2. 在某固定时刻 ，初始时刻的振动所传播的范围 0tTP ),( 设 ，T 是半径为 R 的球体。由Poisson公式，只有与 M 相距为 的点上的初始扰动能够影响 的值，故 P 点的初始扰动，在时刻 只影响到以 P 为球心，以 为半径的球面 0at),(tMu0t0at22222)()()(:0tazyxSMat 当 P 在 T 内移动时，球面族的包络面所围成的区域即为 T 内各点的振动在 时刻所传播的区域，称为 T 在时刻 的影响区域。0t 总之，三维空间中有限区域 T上的初始振动，有着清晰的前阵面和后阵面，对空间的任一点，振动传过后，仍回复到平衡状

16、态，这种只在有限时间内引起振动的现象称为 Huygens 原 理。 在 足够大时，包络面以T 的心o(T)为心，分别以 和 为半径的球面所夹部分。故 时刻的影响区域为 的球壳，球面 是振动到来的前峰，称为波的 前 阵 面,球面 是振动传过后的后沿，称为波的后阵面。 0tRat 0RatrRat 000tRat 0)(0TORatS )(TORatS Rat 0Rat 0R解 例. 设已知三维波动问题中的初位移，初速度分别为： , 求解相应的Cauchy问题。 0, zyxzyxddatddatddzyxatta 200220022200cossin)(sin)cos(sin)(sin)(41

17、ddatatatzyxtausin)()cossinsincos(sin412200 三. 降维法及二维波动方程考虑二维波动方程的初值问题 20001()0,0( , ),( , ),ttxxyytt tua uux ytux yx yux yx y 设解为 ,令 ，那么( , , )u x y t( , , , )( , , )u x y z tu x y t20001()0( , )( , )ttxxyyzztttua uuuux yux y由泊松公式 011( , , , )4MMatatSSu x y z tdSdSatatat222 2()()xya t球面 在平面 上投影 为 Ma

18、tS0 MatC dcosddS设其上面积微元为 ，则由投影关系有：222()()()cosatxyzatat其中 v 表示 dS 的单位法向量与 之夹角， d又上、下两球面的投影有对称关系，故022212221( , )( , , , )2()()()( , )()()()MatMatu x y z td da tatxyd datxy 柱面波 常见的两种积分变换常见的两种积分变换-傅立叶变换傅立叶变换-拉普拉斯变换拉普拉斯变换. ixFefx dx 12ixf xFed F假如 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:( )f x如果函数 在 上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下(,)

19、有时把 记为 。 F Ff一. 傅立叶变换反演公式反演公式傅立叶变换的性质: 1） 线性性质 设 f, g 是绝对可积函数， 是任意复常数，那么 , ( )( )FfgF fF g F fi F f2） 微分性质 设 f , 绝对可积函数，那么 f dF xfiF fd3乘多项式 设 f , x f 绝对可积，那么 4伸缩性质 设 f (x) 绝对可积，那么 10()( )()(),.|F f axF faaa 6） 卷积性质 设f , g 是绝对可积函数， 令 fg xfxt g t dt FfgFf F g 那么5平移性质 设 f (x) 绝对可积，那么 ()(),.iyF f xyeF

20、fyR 2200,uuxR ttxu xx 例例 用积分变换法解方程：用积分变换法解方程：解：作关于 x 的傅立叶变换, ,ixu x tUtu x t edx x 方程可变为 20,|tdUtUtdtUt 设 2,tUte 可解得 由于221412xttFeet 22412xttFeet 即 22441122, xxttUtFeFFett 那么从而方程的解 241( , )2stu x txs edst 1,( , )u x tFUt 2141*2xtFFet 241*2xtet 2141( )2xtFFFet 22( , ),0,0uuf x txR ttxu xx 例例 用积分变换法解方

21、程用积分变换法解方程解： 作关于 的傅立叶变换。设xdxetxutUtxuxi, x方程变为 20,|tdUtUtFtdtUt ,f x tFt 22()0,( , ).tttUteFed 用常数变易法可解得 22412xttFeet 而 224401212(),( , ).()xtxttUtFetFFedt 那么 1,( , )u x tFUt 2214401212()( , )()xtxttFFetFFedt 利用反演公式有2141*2xtFFet 214012()( , )*()xttFFf xedt 241*2xtet 24012()( , )*()xttf xedt 2()412xt

22、edt 24012()()( , )xttfdedt 例 用积分变换法求解初值问题：200( , )(,0)|( )|( )ttxxtt tua uf x txtuxux 解：作关于 x 的傅立叶变换。设,u x tUt( )( ),x( )( ).x ,f x tFt于是原方程变为2222,d UtaUtFtdt 满足初始条件0,|,tUt 0,|tdUtdt 222200,|,|ttd UtaUtFtdtUtdUtdt 齐次方程的解齐次方程的解12( , )cossinUtCa tCa t设非齐次方程的解为设非齐次方程的解为12( , )( )cos( )sinUtC ta tC ta t

23、1212( , )( )-sin( )sin( )cos( )cosUtC t aa tC t aa tC ta tC ta t令令12( )cos( )sin0C ta tC ta t12( , )( )()sin( )cosUtC taa tC t aa t12222212( , )( )sin( )cos( )cos( )sinUtC t aa tCt aa tC t aa tC t aa t 那那么么代入方程代入方程122222122212( )sin( )cos( )cos( )sin( )cos( )sin)( , )C t aa tC t aa tC t aa tC t aa t

24、aC ta tC ta tFt 得得12( , )( )sin( )cosFtC ta tC ta ta12( )cos( )sin0C ta tC ta t12( , )( )sin( , )( )=cosFtC ta taFtCta ta 积分12( , )( )sin( , )( )=cosFtC ta taFtCta ta 方程通解为01( , )cossin( , )sin()tUtCa tDa tFatda 由初始条件0sin( , )( )cos( )1( , )sin()ta tUta taFatda 取傅立叶逆变换，得 12xatxat1( )cos ( )( )2iatia

25、ta tee其中的傅立叶变换.sina t1,( )20,atatxatgx其它是而所以 取傅立叶逆变换，得 ( , )Ut ()0()1211,22x a tx attx atx a txatxats dsdf sdsaa()01,211( )( )tata tu x txatxatgxfgx daa傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法有效方法,但但1.傅立叶变换要求原象函数在傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积上绝对可积,大部大部分函数不能作傅立叶变换分函数不能作傅立叶变换2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义傅立叶变换要求函数在整

26、个数轴上有定义,研研究混合问题时失效究混合问题时失效.二二. . 拉普拉斯变换拉普拉斯变换定义定义: f (t): f (t)定义在定义在 上，若其满足下列条件上，若其满足下列条件f (t)f (t)分段光滑；分段光滑；存在常数存在常数 M M 和和 使得使得 则称则称f (t)f (t)为初始函数为初始函数, , 称为称为f (t)f (t)的增长指数的增长指数. .0,)00s 0|( )|s tf tMe0stee反例反例定理定理: : 设设f (t)f (t)是一以是一以 为增长指数的初始函数为增长指数的初始函数, ,则经变换则经变换得到的函数得到的函数F(p)F(p)是是 上的解析函

27、数上的解析函数. .00s 0:ptL f tF pf t edt0(Re)ps上述变换称为拉普拉斯变换1!nnpnt, 2, 1 , 0n例例 (Re0)p 000010111nptnptnptptnnptt edtt det eedtpppntedtp 22010(1)!nptptnnn ntedtpnnedtpp22(2)cos,patpa(Re0)p 22(3) sinaatpa反演公式：在反演公式：在 f (t) f (t) 的每一个连续点均有的每一个连续点均有 ()1122s is itpts if tF p edF p e dpi 其中，0,.psiss1(1)a tepa(Re

28、Re )pa基本性质基本性质: : 1） 线性性质 设 f, g 的拉普拉斯变换分别 为L( f ), L(g ), 是任意复常数，那么 , ( )( )LfgL fL g2） 微分性质 假设 , 那么 pFtfL: 0:fppFtfL 00 :2fpfpFptfL 000:111nnnnnffpfppFptfL6） 卷积性质 0 xfg xfxt g t dt定义4延迟性质 pFestfLps1,0.pL f atFaaa5伸缩性质 L fgL f L g那么3积分性质 01tLf s dsF pp例 设 求解常微分方程的初值问题 tyy 1| , 0|32 00tttyyeyyy解 对 进行拉普拉斯变换, 设 , 那么t pFty11pet )(0ppFyppFy 00 2ypypFpy 12pFp于是原方程变为 11321)(2ppFppFpFp由上式得: 318111411183ppppF对 进行拉普拉斯逆变换, 得 pF 3311848ttty teee0, 0,222txxuatu0|0tu 0|xuf t解 问题归结为求解下列定解问题: 例 一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。对 t 进行拉普拉斯变换怎么变换？为什么？晓得 的值了0|tu,ppx