向量直角坐标系

1、1/40第六章第六章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何几何空间中的一些图形与方程对应起来几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代用代数方法研究了几何问题数方法研究了几何问题.讨论如下几个问题讨论如下几个问题:1. 向量、向量的一些运算向量、向量的一些运算;2. 空间中的平面与直线空间中的平面与直线;3. 空间中的一些曲面和曲线空间中的一些曲面和曲线;4. 二次曲面二次曲面.在平面解析几何中在平面解析几何中,本章把这种方法运用到三维几何空间本章把这种方法运用到三维几何空间,曾通过坐标法把二维曾通过坐标法把二维2/40第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算 点与向量的坐标点与向

2、量的坐标一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、向量的模、方向角、方向余弦、投影四、向量的模、方向角、方向余弦、投影五、小结五、小结六、作业六、作业3/40向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念或或或或第一节第一节 向量及其线性运

3、算向量及其线性运算00a或或或或4/40自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a aba a当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点在一条直线上，即两向量平行，又称公共起点在一条直线上，即两向量平行，又称两向量两向量共线共线 ab 向量平行：向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反两个非零向量的方向相同或者相反 /abK K个向量共面个向量共面相等的含义：相等的含义

4、：经过平移后可以重合（自由向量）经过平移后可以重合（自由向量）5/401 加法：加法：cba abc平行四边形法则平行四边形法则特殊地：若特殊地：若ab平行四边形法则失效平行四边形法则失效二、向量的线性运算abc三角形法则三角形法则三角形法则的实质：三角形法则的实质： 将两向量的首尾相联，则一向量的首与将两向量的首尾相联，则一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量。另一向量的尾的连线就是两向量的和向量。6/40特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac 7/40向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.

5、abba （2 2）结合律：）结合律：()()abcabc （3）0.aa 推广到推广到n个向量的和个向量的和（4）. 0)( aaabc 8/402 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab向量的减法性质：向量的减法性质：两边之和大于第三边：两边之和大于第三边：| |.abab| |abab 9/40(2)0, aa 当当与与 同同向向；00.a 当当 ，0, aa 当当与与 反反向向；aa2a21 3 向量与数的乘法向量与数的乘法(1)|aa ；（方向）（方向）（大小）（大小） 10/40数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（2 2

6、）结合律：）结合律：)()(aa a)( （3 3）分配律：）分配律：aaa )(baba )(（1 1）1,( 1)aaaa 11/40例例1 1 化简化简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 12/40例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMab 13/40例例3已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,a BDb 试用试用

7、 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba,解：解：ABCDMabBCAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba 14/40()aaea 设设或或表表示示与与非非零零向向量量同同方方向向的的单单位位向向量量，按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，|aa a |aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.|.)|aaaeaa ea( (或或 15/40证证 充分性显然；下证必要性：充分性显然；下证必要性：ab设设.的唯一性的唯一性

8、 ，设设ab ，又又设设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a 0a，0故，. 即即两个向量的平行关系两个向量的平行关系.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理,当当,abba 与与 同同向向，则则从从而而有有| | | | | ()| | abbb bb abaaa|,|ba取.ba即得a b当 与 反向，证明类似 16/40数轴上的向量：数轴上的向量：给定一个点，一个单位向量就确定了一条数轴。给定一个点，一个单位向量就确定了一条数轴。xP0e 1M2MPOPxex 点点向向量量实实数数1

9、212,MMxx设设点点的的坐坐标标分分别别为为则则12212121()M MOMOMx ex exx e = =- -= =P- - - -点点 的的坐坐标标转转化化为为数数轴轴上上简简单单的的向向量量运运算算代代数数运运算算 17/40,Oi j kOxyz 在在空空间间取取定定一一点点 和和三三个个两两两两垂垂直直的的单单位位向向量量 , , , ,就就确确定定了了三三条条都都以以 点点为为原原点点的的数数轴轴, ,依依次次记记为为轴轴( (横横轴轴) ), , 轴轴( (纵纵轴轴) )和和 轴轴( (竖竖轴轴) )x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系O

10、-xyz 三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合 右手系右手系.三、空间直角坐标系18/40 xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限19/40点点M有序数组有序数组(,)xyzaa a 11M xyzoPQRa OMa 向向量量或或 11,xyzOPa i OQa j ORa k 设设,xyzaOMOPPNNMOPOQORa ia ja k ,xyza i a j a ka 向向量量 沿沿三三个个坐坐标标轴轴方方向向的的分分量量a 向向量量 的的坐坐标标分分解解式式N, ,aMx y z 向向量量 的的坐坐标标( (也也称称为为点点有有

11、序序数数组组- - -的的坐坐标标) ),(,)xyzxyzaaa aaaaa或或M点点的的向向径径20/40特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC21/40向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,xyzxyzaa ia ja kbb ib jb k ()()()()()xyzxyzxxyyzza

12、ba ia ja kb ib jb kab iabjab k ()()()()()()xxyyzzxyza bab iabjab kaaiaja k 同同理理：- -22/40,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa 即即23/40解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，ABMxyzo24/40由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段

13、段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz 25/40四、向量的模 方向角 方向余弦 投影1. 向量的模xyzo Ma ,xyzxyzaOMa ia ja kaaa 222|xyzaaaa 26/40设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1M 2M?21 MMd 2221212212121.M MM Mxxyyzz 空间两点间距离公式空间两点间距离公式12212121,M Mxxyy zz 27/40解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222

14、213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.28/40非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo M a b OAB:AOB 非非零零向向量量的的夹夹角角2. 方向角与方向余弦,.a ba bAOB 记记( () ), ,即即( () )29/40由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .xyz Oa x

15、azaya30/400222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式31/401coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为32/40例例 6 6 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式. 解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117

16、116kji 或或0a|aa .116117116kji 33/40例例 7 7 设有向量设有向量21PP，已知，已知221 PP，它与，它与x轴轴和和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3 和和4 ，如果，如果1P的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1(，求，求2P的坐标的坐标.解解设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 34/40.32,3 设设2P的的坐坐标标为为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z,

17、2, 4 zz2P的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 35/403.向量在轴上的投影AuuAAAu过过点点 作作垂垂直直于于 轴轴的的平平面面，交交 轴轴于于 点点（点点 叫叫 点点在在 轴轴上上的的投投影影）A u A0e aOA 设设OAOAu 向向量量叫叫向向量量点点在在 轴轴上上的的分分向向量量,OAeau 向向量量 在在 轴轴设设称称数数为为上上的的投投影影Prjua 记记为为注：投影是一个数！注：投影是一个数！36/40jjj,Pr,Pr,Prxyyxxyyzzaaa aaxyzaa aa aa 向向量量 的的坐坐标标就就是是向向量量 分分别别在在轴轴

18、, , 轴轴和和 轴轴的的投投影影，即即注：注：投影性质：投影性质：jPr| cos ,1uaaau 其其中中性性质质 ：为为向向量量 与与 轴轴的的夹夹角角; ;jjjPr()PrPr;2uuuabab 性性质质 ：jjPr)r3(P.uuaa 性性质质 ：37/40例例8 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求向量，求向量pnma 34在在x轴轴上的投影及在上的投影及在y轴上的分向量轴上的分向量.解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴轴上上的的分分向向量量为为j7.38/40向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则，三角形法则）（平行四边形法则，三角形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）五、