chap动力学普遍方程和拉格朗日方程(II)

1、3. 动能的广义速度表达式动能的广义速度表达式质点系的动能质点系的动能 iniiiniiiiniiirrmvvmvmT1112212121 拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组。应拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组。应用拉格朗日方程时用拉格朗日方程时,须先计算出以广义坐标和广义速度表示须先计算出以广义坐标和广义速度表示的系统的动能。为便于应用拉格朗日方程的系统的动能。为便于应用拉格朗日方程,一般可将质点系一般可将质点系的动能表示为广义速度的代数齐次式结构的形式。的动能表示为广义速度的代数齐次式结构的形式。 由于由于r是广义坐标及时间的是广义坐标及时间的函数函数,所以所以akj,

2、bk, c也是广义坐标也是广义坐标及时间的函数。及时间的函数。111111112122nNNiiiiikjikjkjnNNNiiiiiiikjkikjkkjkrrrrTmqqqtqtrrrrrrmq qqqqqttt令令11112niikjiikjniikiikniiiirramqqrrbmqtrrcmtt3于是于是,动能动能T可表示为可表示为 再设再设cTqbTqqaTkNkkjNkNjkkj01111221012TTTT 可见可见, T2是广义速度的二次齐次式是广义速度的二次齐次式, T1是广义速度的一次齐是广义速度的一次齐次式，次式，T0是广义速度的零次齐次式。这样是广义速度的零次齐次式

3、。这样, 质点系的动能质点系的动能T可可看成是由以上三种不同次的广义速度的代数齐次式构成看成是由以上三种不同次的广义速度的代数齐次式构成. 4. 拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分(首次积分）首次积分） 求解二阶微分方程组的积分时常会遇到数学上的困难求解二阶微分方程组的积分时常会遇到数学上的困难,但对于保守系统但对于保守系统,在某些条件下在某些条件下,却很容易求得其初积分却很容易求得其初积分,使方使方程组的求解变得简单起来程组的求解变得简单起来. 现在现在,我们在上一节阐明的动能的我们在上一节阐明的动能的广义坐标表达式的基础上广义坐标表达式的基础上,来讨论拉格朗日方程的初积分。来讨论拉格

4、朗日方程的初积分。 由于势能函数由于势能函数 V 仅是广义坐标和时间的函数，因此它是广义速仅是广义坐标和时间的函数，因此它是广义速度的零次函数。设度的零次函数。设 L2 = T2， L1 = T1， L0 = T0 - V拉格朗日函数可表示为拉格朗日函数可表示为 L = T V = T2 + T1 + T0 V显然，显然，L2，L1和和L0分别是广义速度的二次齐次函数、一次齐分别是广义速度的二次齐次函数、一次齐次函数和零次齐次函数，得次函数和零次齐次函数，得 L=L2+L1+L0 1广义能量积分广义能量积分初积分之一初积分之一将主动力为有势力时的拉格朗日方程式乘以将主动力为有势力时的拉格朗日方

5、程式乘以 ，并将这，并将这N个个式子相加，得式子相加，得kq 011kNkkkkNkqqLqqLdtdkkkkkkqqLqqLdtdqqLdtd 其中其中011NkkkkkNkkkqqLqqLqqLdtd 带入上式得：带入上式得：当拉格朗日函数不显含时间当拉格朗日函数不显含时间t（则（则 ），即），即时有：时有：0tLkkqqLL,NkkkkkqqLqqLdtdL1 带入上式得：带入上式得：01NkkkLqqLdtdELqqLNkkk1从而有：从而有： E 为积分常数为积分常数再根据欧拉齐次式定理再根据欧拉齐次式定理(P56)有：有：1210111212LLqqLqqLqqLqqLNkkkNk

6、kkNkkkNkkk带入上式得：带入上式得：（2L2+L1）-（L2+L1+L0）= E即即L2-L0 = EkpHEVTTLqqLNkkk021进一步得到：进一步得到：这一结果称为以拉格朗日变量表示的这一结果称为以拉格朗日变量表示的广义能量积分广义能量积分，又称，又称雅可比积分雅可比积分。*注意：如果约束是非定常的，系统的机械能并不守恒。注意：如果约束是非定常的，系统的机械能并不守恒。*NkkkLqqL1为广义能量为广义能量系统称为广义保守系统。系统称为广义保守系统。常数）(CH 2能量积分能量积分如果约束是定常的如果约束是定常的，则，则0irt可知可知 bk = 0,c = 0, 因此得因

7、此得 T1=0，T0=0， 于是得于是得 T=T2广义能量积分变为广义能量积分变为EVTLqqLNkkk1这一结果称为以拉格朗日变量表示的这一结果称为以拉格朗日变量表示的能量积分能量积分，上式即为，上式即为保守系统的机械能守恒定律保守系统的机械能守恒定律表示式。这就是能量积分的物表示式。这就是能量积分的物理意义。理意义。在非定常约束下为什么机械能不守恒是很好理解的。在非定常约束下为什么机械能不守恒是很好理解的。因为不稳定约束下，约束力要做功，所以系统的机械能就不因为不稳定约束下，约束力要做功，所以系统的机械能就不守恒了。守恒了。注意：柯西尼定注意：柯西尼定理始终是转化为理始终是转化为绕质心的，

8、而不绕质心的，而不是看它的实际转是看它的实际转轴！此处易轴！此处易错，入坑需谨慎！错，入坑需谨慎！1112133循环积分循环积分初积分之二初积分之二拉格朗日函数一般是广义坐标、广义速度和时间的函数。拉格朗日函数一般是广义坐标、广义速度和时间的函数。若若 L 中不显含与某一广义速度对应的广义坐标，则该坐标称中不显含与某一广义速度对应的广义坐标，则该坐标称为为循环坐标循环坐标，或称，或称可遗坐标可遗坐标。0jqL即：即：0jqLdtd则：则：jjCqL所以：所以：其中其中Cj 为积分常数。上式称为为积分常数。上式称为循环积分循环积分，或称，或称可遗积分可遗积分。当然，系统有几个循环坐标就有几个循环积分。当然，系统有几个循环坐标就有几个循环积分。jjjjCpqTqL由于由于L=T-V，而且势能，而且势能 V 中不显含广义速度，因此中不显含广义速度，因此其中其中 称为广义动量称为广义动量.jp1416186. 拉格朗日方程的应用举例拉格朗日方程的应用举例*应用拉格朗日方程解题的步骤：应用拉格朗日方程解题的步骤：1.确定系统的自由度数（广义坐标数）；确定系统的自由度数（广义坐标数）；2.选取广义坐标；选取广义坐标；3.计算系统的动能计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能；，且用广义速度来表示动能