八年级数学上册15.3《分式方程》分式相关专题总结及应用素材(新版)新人教版

1、1分式相关专题总结及应用、识性专题专题 1 分式基本性质的应用【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据性质，才能更好地解决问题 例 1 化简xy-y y(x -1)2x -1 (x 1)(x -1)【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质,除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式(a 2)(a-2) (a 2)(a-2)=3.【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式, 再进行相加减在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最 简公分母所差的因式运算的结果应根据分式的基本性质化为

2、最简形式专题 2 有关求分式值的问题【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值 但对于分式的求值问题，却没有直接给出其中字母的值，而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法解:6xy10X2xy-y；2；X2-1_2如_3y10 x22X_5x 5x只有掌握好分式的基本把分式的分子与分母同时解:计算丄旦-：a - 2 a2-42a -2 a 222 aJC-2 a+23(a 2)122(a 2)+(a 2)(a-2) (a 2)(a-2)(a 2)(a-2) (a 2)(a-2)3a 18. a 62

3、已知x1-3,求xx2的值z x (x y)(y z)(x z)x y y z z x k贝H x y = 3k, y z = 4k, z x = 5k,解得x=2k,y=k,z=3k,解:2因为x=0，所以用x除所求分式的分子、分母.原式1x2一1丄(x丄)2一2一133xx2 2已知2x -xy-3y =0，且x y，求因为2x2-xy -3y2=0,所以(x y)(2x _3y) =0,所以x y = 0或2x 3y = 0,x2xy -x y的值.又因为x= -y,所以x y = 0,所以2x-3y = 0,所以y二2x,3所以x22x2x x32X 3X3例 5 已知xyz的值.xy

4、z2k_3k6k3(x y)(y z)(x z)3kb4k_5k 60k310例 6已知一yx-z -Ct,解:由已知得1 _yax所以11二y z1ax所以ax所以za 1xyzx y二c,且abc o,求一 xyz a 1 xyz,即 一a的值.4y czJ=x y z c 1 x y zx y z x y z x y z x y z所以原等式两边同时乘以x y z,得:x2 3. x(y z) y2y(z x)z2y z y z z x z x x y2 2 2xyz所以(x y z) = x y z,y z z x x y2 2 2所以亠.丄亠y z z x x y【解读策略】 条件分

5、式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转 化的数学思想.例 8 已知三,求一匚丿 的值.3 4 5x2y + 3z分析 根据已知条件，可把x, y, z用含有一个字母的代数式表示出来，再分别代入到所求式子中化简即可.x v z解：设k,则x = 3k, y = 4k, z = 5k.345所以x y=3Lkxzy+3z 3k 24k+3汇5k 10k 10所以同理已知亠.丄的值.x(x y z)y(x y z).z(x y z)x y二x yz.z(x y)x y=x y z,【解题策略】当代数式中

6、的字母的比值是常数时,般情况下都采用这种方法求分式的值.6例 9小a+b b+c a+c ,k_已知k,求2的值.分析只要求出k的值就可以了，由已知条件可得a b二ck,b c二ak, a c二bk,将这三个等式可加后得到2(a b c) =k(a b c),再通过讨论得到k的值.解：由已知到a - b =ck,b c = ak, a c = bk.三式相加得2(a b c) = k(a b c),即(2一k)(a b c) = 0,所以2-k=0,或a b c = 0.即k=2,或a bc=0.a + b当a b0时，a b - -c,此时1,即k = -1.c所以k =2,或k = -1.

7、k-12 2k 1(-1)1【解题策略】在得到2(a b c)二k(a b c),时，因为a b c可以等于零，所以两边不能同时除以a b c，否则分丢解，应进行整理，用分解因式来解决111 ba例 10 已知，求的值.a b a b a b分析 观察已知条件和所示的分式，可将它们分别进行整理，从中得到某种关系，然后求a bab所以(a b)2二ab,即a2b2二-ab.1例 11 已知x4,求下列各式的值x2X42x x 1当k =2时,kk212 2225a2b2ab(1)x2ab分析 观察(1)和已知条件可知，将已知等式两边分别平方再整理，即可求出(1)的值；对于(2),直接求值很困难，

8、根据其特点和已知条件，能够求出其倒数的值，这样便可求出(2)的811解：(1)因为x 4,所以x42.XIX丿即x24r =16.所以X2=14.XX专题 3 与增根有关的问题11 _ X例 12 如果方程+ 3 =丄上有增根，那么增根是x-22-x分析 因为增根是使分式的分母为零的根，由分母x-2 = 0或2-x二0可得x = 2.所以增根是x = 2.答案：x = 2例 13 若关于x的方程X4x0有增根，则a的值为()x-3A.13B.- 11C. 9D.3分析 因为所给的关于x的方程有增根，即有x-3 = 0,所以增根是x = 3.而x = 3一定是整式x2-4x，a=0的根，将其代入

9、得32-4 3 0,所以x=3.答案：D例 14a何值时，关于x的方程一2畀会产生增根？x-2 x-4 x+2分析 因为所给方程的增根只能是x = 2或x = -2，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.解：方程两边都乘以(x，2)(x-2),得2(x 2)ax =3(x-2).整理得(a -1)x = -10.当a= 1 时，方程无解.10当a=1时， x =- 42,X X 12X42X X 12X2 2 2XXX11 =14 1 =15,X所以2X4X X 11二丄.32-4 3 a=015a -1如果方程有增根,那么（x 2）（x_2） =0,即x=2或x-2.10

10、当x=2时，2,所以a=4;a -110当x = -2时,2,所以a= 6 .a -1所以当 a = -4 或a= 6 原方程会产生增根.专题 4 利用分式方程解应用题【专题探究】列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意例 15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息 1:甲班共捐款 300 元，乙班共挡捐款 232 元.4信息 2:乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的4.5信息 3 :甲班比乙班多 2 人.请根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元4解：设甲班平

11、均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款x元.5根据题意，得型=空2,解这个方程得x = 5.x 4x5经体验，x = 5是原方程解.例 16 某文化用品商店用 2000 元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3 倍，但单价贵了 4 元，结果第二批用了6300 元.（1）求第一批购进书包的单价是多少？（2）若商店销售这两批书包， 每个售价都是 120 元，全部售出生，商店共盈利多少元？分析 设第一反批购进书包的单价为x元，则第二批购进的书包的单价为（x 4），第一批购进书包2000个，第二批购进书包 型个.xx +4解：设第一批购进书包的单价为x

12、元.102000门63003 =xx 4整理,得20（x，4）=21x,解得x=80.依题意，得答：第一批购进书包的单价为80 元.20006300解法 1：(2)(120-80)(120-84)=1000 2700 = 3700(元).8084答：商店共盈利 3700 元.”丄2000解法 2 :(1 3) 120 - (2000 6300) = 12000 - 8300二3700(元)答：商店共盈利 3700 元.二、规律方法专题专题 5 分式运算的常用讨巧(1)顺序可加法有些异分母式可加，最简公分母很复杂，如果采用先通分再可加的方法很烦琐如果先把两个分式相加减，把所提结果与第三个分式可加

13、减，顺序运算下去，极为简便(2) 整体通分法，当整式与分式相加减时，一般情况下，常常把分母为 1 的整式看做一个 整体进行通分，依此方法计算，运算简便(3) 巧用裂项法对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项11 1数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式11一亠 进行裂项n(n +1) nn+1(4) 分组运算法：当有三个以上的异分母分式相加减时，可考虑分组，原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数，且值相同或为倍数关系，这样才能使运算简便.(5) 化简分式法有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大应先把每-个分别化简，再相加减(6) 倒数法求值(取倒数法)

14、.(7) 活用分式变形求值.(8) 设k求值法(参数法)(9) 整体代换法.(10) 消元代入法12x4x3x -1 x 1 x21 x41例 17化简2x 2x 4x3x2T x21 x41答：第一批购进书包的单价为80 元.x 1 x T 2xx2-1 x21 x21原式=132x(x21) 2x( x2-1)4x _ 4x34x3-(x2_1)(x2+1)x4+1_x4_1 x4+1343474x (x 1) 4x (x -1) _ 8x-(x4_1)(x4+1)_x8_1.4例 18 计算a-2+-.a +2解：原式二匕三.4(a 2)(a41 a+2a十2a+2_ (a 2)(a -

15、2) 4 a2a+2a+23w例 19 计算x2x1.x1x3(X-1)(X2X 1)x3x1x1x1X3_1 _X31X -1X -111 1 1 . 1 1 1 1 a a 1 a 1 a 2 a 2 a 3 _ a 2005 a 2006 1 1 a a2006a 2006aa(a 2006) a(a 2006) 2006a22006a.例 20计算1a(a 1) (a 1)(a 2)(a 2)(a 3)1(a 2005)( a 2006)解:原式=一丄丄a 1 a 1a 2005a 2006【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式n(n 1) n n 1例 21计算_11J_X2x

16、X22x x X23x 21X24x 3x14解：原式23212121x x x 3x 2 x 2x 1 x 4x 31 1 1 1x(x+1) _(x+1)(x + 2)_ x(x+1)4 5(x + 1)(x+3) _ (x 2) -x(x 3)-(x 1)x(x 1)(x 2) (x 1)2(x 3)2 2x(x 1)(x 2) (x 1)2(x 3)2(x 1)(x 3)2x(x 2)x(x 1)2(x 2)(x 3)2(2x26x 3)x(x 1)2(x 2)(x 3)111例22已知X.3,求2.x+2 x -4 x-2111 (x-2)-(x 2)1解：原式222x + 2 x-

17、2 x -4 x-4 x-4-41-3=22 2-x -4 x -4 x -4解：原式=1 -1 - 6Ix2+3x+2丿V x2+5x+6丿二42 2x 3x 2 x 5x 644(x 1)(x 2) (x 2)(x 3)4(x+3)丄4(x+1)=-I -_ 8(x1)(x3).4例 24 已知 一=7 ,求一的值X2x+1x4+x2+1当x =3,原式_373(1 .3)2-42例 23计算x23x 6x23x 2x25x 2x25x 6(x1)(x2)(x3)(x 2)(x 3)(x 1)8x+16(x1)(x2)(x3)x162x42x x 149【解题策略】 在求代数式的值时，有时

18、所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、分母颠倒后，变形就容易了，这样的问题通常采用倒数法(把分子、分母倒过 来)求值.1例 25 已知x25x 1 = 0和x严0,求x44的值x21解：由x -5x *1=0和x= 0,提x 5,x1(1x2所以x4+ =lx2+-2x V x丿八2I=(52-2)2-2= 527【解题策略】 若能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便b e c a a b亠abc例 26 已知，求的值.abc(a + b X b+c )(c+a)b c c a a b ,解：设k,abc所以b c二ak, c a二bk, a b二ck所以b c c a a b = ak bk ck,所以2(a b c)二k(a b c),( a b c)(2 -k)二0,即k=2或(a b c) =0,解:因为 x-x 17,所以a =0,所以所以x4x21x2=x2丄仁x丄2X丿x2-4915所以当a b c = 0,所求代数式-_1.1即所求代数式等于丄或_1.8131分析消元法首选方法，即把其中一