学生第1讲相似三角形培优讲义1!

1、第1讲相似三角形讲义学习目标解三角形相似的判定方法学习重点：能够运用三角形相似判定方法解决数学问题及实际问题.学习难点：运用三角形相似判定方法解决数学问题的思路学习过程一、证明三角形相似例1:已知，如图， D为 ABC内一点连结 EQ AD,以BC为边在 ABC外作/ CBEW ABD / BCEh BAD求证： DB ABC例2、矩形ABC邛，BC=3AB E F,是BC边的三等分点，连结 AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形请证明你的结论。下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：(1)如图：称为“平行线型”的相似三角形的相似三角形。 如图：/ 1 = Z2, / B=/ D

2、,则AADa ABC；称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF与4ECA二、相似三角形证明比例式和乘积式例3、 ABC中，在AC上截取 AR在CB延长线上截取 BE,使AD=BE求证：DF?AC=BC?FEA求证：(1) mA=MD?ME (2) 1A三、相似三角形证明两角相等、两线斗例5:已知：如图E F分别是止方形/ FBD例6、直角三角形 ABC中，/ ACB=90 ,2EME2DMDdBl MC工行和线段相等。ABCD勺边AB和AD上的点，且受 空 1。求证：/AEF=AB AD 3AFDE-BCBCD提止方形，AE交BC

3、于F, FG/ AC交AB于G,求证：FC=FGDC例4:已知：如图，在 ABC中，/ BAC=90, M是BC的中点，DML BC于点E,交BA的延长线于点 D=AGFEB例7、RtABC锐角C的平分线交 AB于E,交斜边上的高 AD于O,过O引BC的平行线交 AB于F,求证：AE=BF4. ABC 中,贝 U S/XADE：S四边形DFGE S四边形FBC字目标训练一、填空题1、两个相似三角形的面积比 S:S2与它们对应高之比 hi：h2之间的关系为BE 22、如图2 ,平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F ,如果-BE f ,那么BC 3BF2FD. 33、如图，点

4、A1, A2, A3,A4在射线 OA上，点 Bi, B2, B3在射线 OB 上，且 ABi / A2B2 / A3B3,A2B1/A3B2/A4B3.若A2B1B2, A3B2B3的面积分别为1, 4,则图中三个阴影三角形面积之和、选择题1.已知AABaADEf 且 AB: DE=1: 2,则4ABC的面积与 DEF的面积之比为()(A)1: 2(B)1: 4(C)2: 1(D)4: 12.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值()A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上但有限D .有无数个3.美是一种感觉，当人体下半身长与身高

5、的比值越接近时，越给人一种美感.如图，某女士身高165cm,下半身长x与身高l的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（A. 4cm4、如图， ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC的面积的 （）（第4题图）（第5题5、 如图，直角梯形 ABCDK / BCD= 90° , AD/ BG BC= CQ E为梯形内一点，且/BEC= 90° ,将 BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到 DCF连EF交CD M 已知BC= 5, CF= 3,则DM:MC勺值为 （）:3:5:3:46、如图，

6、在RtABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形，则 a,b,c满足的关系式是（）A、b a c B 、b ac 222C、b a c D 、b 2a 2c7、如图,Rt AABAO, ABL AC AB=3, AC=4,P 是 BC边上一点，作 PEE± AB于 E,PDL AC于D 设 BP=x,贝U PD+PE ()“ XX7A. 3 B. 4 C.- 552D.212x 12x525三、解答题1、如图 5,在 ABC中，BC>AC点D在BC上，且DC= AC,/ACB的平分线 CF交AD于F,点E是AB的中点,连结EF.(1)求证：EF/ BC.cB. 6cmC. 8c

7、mD. 10cm(2)若四边形BDFE的面积为6,求 ABD的面积.2、(本小题满分10分)如图：在等腰 ABC中，CH是底边上的高线，点 P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接 AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.(1)证明：/ CAEh CBF;(2)证明：AE=BF; 以线段AE, BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G),记 ABC和 ABG勺面积分别为S»A AB环口 S»AABG如果存在点 P,能使得 SaAB(=S»A ABG,求/ C的取之范围。B3、如图，四边形 ABCM, AD= CD, / DAB= Z ACB=

8、 90° ,过点 D作DE! AC,垂足为 F, DE与AB相交于点 E.(1)求证：AB- AF= CB- CD(2)已知AB= 15cm, BC= 9cm, P是射线DE上的动点.设DP= xcm (x>0),四边形BCDP勺面积为ycm2.求y关于x的函数关系式;当x为何值时， PBC的周长最小，并求出此时 y的值.CG,AE与CG相交于点M, CG与AD相交于点N.4、如图10,四边形ABCD DEFGTB是正方形，连接 AE、求证：(1) AE CG；(2) AN ?DN CN ?MN.5、如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公

9、共顶点，/ BAG/AG=90 ,它们的斜边长为 2,若？ ABCK定不动，？ AFG绕点A旋转，AR AG与边BC的交点分别为 口日点D不与点B重合，点E不与点C重合)，设BE=mi Ct=n.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明(2)求m与n的函数关系式，直接写出自变量 n的取值范围.(3)以？ ABC勺斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使B®CE求出D点的坐标，并通过计算验证 BD2 + CE2=DE2.(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2 + CE2=DF是否始终

10、成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由6、为了加强视力保护意识，小明想在长为米，宽为米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表.在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙.(1)甲生的方案：如图 1,将视力表挂在墙 ABEF和墙ADGF的夹角处，被测试人站立在对角线AC上，问：甲生的设计方案是否可行请说明理由.(2)乙生的方案：如图2,将视力表挂在墙 CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处.(3)丙生的方案：如图 3,根据测试距离为 5m的

11、大视力表制作一个测试距为3m的小视力表.如果大视力表中“ E”的长是，那么小视力表中相应“ E”的长是多少cm(图(第6题)(图(图7、将两块大小一样含 30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB重合，直角边不重合，已知AB=&BC=AD=4 ACW BD相交于点E,连结 CD(1)填空：如图 9, AC=, BD=;四边形 ABCD梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形) 如图10,若以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10的平面直角坐标系，保持AABD不动，将A ABC向X轴的正方向平移到A FGH的位置，FH与BD相交

12、于点P,设AF=t, A FBP面积为S,求S与t之间的函数关系式，并写出 t的取值值范围图108、如图 1, 一副直角三角板满足 AB= BG AC= DE / ABC= / DEF= 90° , / EDF= 30°【操作】将三角板 DEF的直角顶点E放置于三角板 ABC的斜边AC上，再将三角板 DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q【探究一】在旋转过程中，CE(1)如图2,当 最 =1时，EP与EQ满足怎样的数量关系并给出证明CE (2)如图3,当CE = 2时EP与EQ满足怎样的数量关系，并说明理由,其中m根据你对(1)、(2)的探究结果，试写出当CE=m时，EP与EQ满足的数量关系式为EA的取值范围是(直接写出结论，不必证明)【探究二】若，AC= 30c