【2020扬州二模】江苏省扬州市2020届高三第二次模拟考试(5月)数学Word版含答案

1、162020届高三模拟考试试卷数 学（满分160分，考试时间120分钟）2020. 5一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1 .已知集合 A=x| -1<x<2, B = x|x>0,则 AAB=.2 .已知（1 i）z=2+i,其中i是虚数单位，则复数 z的模为.3 .已知某校高一、高二、高三年级分别有 1 000, 800, 600名学生，现计划用分层抽样 的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取 名学生.4 0For I From 1 To 5 S-S+ IEnd For Print S 4.如图伪代码的输出结果为 .x > 0

2、,5 .若实数x, y满足y>- 1,则2xy的最小值为 .x + y- K 0,6 .已知aC 1, 1, b= 3, 1, 2,则直线ax+by 1 = 0不经过第二象限的概率为7 .已知双曲线y2=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为-一兀 18 .已知a为锐角，且 cos（去 = 3,则cos "=-9 .等比数列an的前n项和为Sn,已知a1a6=3a3,且a4与a5的等差中项为 2,则S5 =10 .在正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，AB = 2, AA 1=3,。为上底面 ABCD的中心.设正Si四棱枉ABCDA 1B1C1D1与

3、正四棱锥 OA1B1C1D1的侧面积分别为 Si, S2,则;T=.S21.1.11 .已知曲线 C： f（x） =x3-x,直线l： y=axa,则 a= - 4 是 直线l与曲线C相 切”的 条件.（选填“充分不必要” “必要不充分” “充分必要”或“既不充分又不必要”）12 .已知x>0, y>0,则x + y+16的最小值为 .x xy13 .已知点D为圆O: x2+y2 = 4的弦MN的中点，点 A的坐标为（1, 0）,且aM - AN = 1,则oA OD的最小值为an+1, 4?N*,14 .在数列an中，ai=1,an+1=设an的前n项和为Sn,若S4nW入2na

4、n, n £ N*.，4一1恒成立，则实数 入的取值范围是 .二、 解答题：本大题共 6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.15 .(本小题满分14分)在4ABC中，已知2S=bccos A,其中S为4ABC的面积，a, b, c分别为角 A, B, C 的对边.(1)求角A的值；6(2)若 tan B=5，求 sin 2C 的值.16 .(本小题满分14分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，BC= B1C,。为四边形ACC 1A1对角线的交点，F为棱BB1的中点，且 AFL平面BCC1B1.求证：(1) OF /平面 ABC ;(2)四边形ACC1

5、A1为矩形.17 .(本小题满分14分)某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成.考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：三根细钢管长均为1米（粗细忽略兀兀不计），且与地面所成的角均为016< 0 w万）； 架面与架底平行，且架面三角形ABC与架底三角形AiBiCi均为等边三角形； 三根细钢管相交处的节点 。分三根细钢管上、下两 段之比均为2 : 3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形AiBiCi的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.当时，求"支架高度”； 3（2）求“支架需要空间”的最大值.18 .（本小题满分

6、16分）x2 y22如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E: a2+1=13>»0）过点（1,看）,且椭圆的,2离心率为方一直线i： y = x+t与椭圆E相交于A, B两点，线段 AB的中垂线交椭圆 E于C, D两点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）求线段CD长的最大值；（3）求AC - AD的值.19 .(本小题满分16分)已知函数 f(x) =a(x-)(a R), g(x) = ln x. x(1)当 a= 1 时，解不等式：f(x) -g(x)<0;(2)设 u(x)=xf(x) - g(x).当 a< 0时，若存在 m, nC(0, +8)(mwn),使

7、得 u(m)+u(n)=0,求证：mnv 1 ；当a> 0时，讨论u(x)的零点个数.20 .(本小题满分16分)对数列an,规定 A an为数歹U an的一阶差分数列，其中A an= an+1 an(n C N*).规定 A 2an为an的二阶差分数列，其中 A2an= A an+1A an(n e N*).(1)已知数列an的通项公式an=n2(nC N*),试判断 Aan, A 2an是否为等差数列，请 说明理由；(2)若数列bn是公比为q的正项等比数列，且q>2,对于任意的nCN*,者B存在mCN*, 使得A 2bn=bm,求q所有可能的取值构成的集合；(3)设各项均为正数

8、的数列cn的前n项和为Sn,且A 2cn= 0.对满足m+ n= 2k, mwn 的任意正整数 m, n, k,都有CmWCn,且不等式Sm+ Sn>tSk恒成立，求实数t的最大值.2020届高三模拟考试试卷(十五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21 .(本小题满分10分)已知矩阵 M= a 2 , M= 1 2 , 1. MN =2 b2 3(1)求矩阵M;(2)若直线l在矩阵M对应的变换作用下变为直线x+3y = 0,求直线l的方程.22 .（本小题满分10分）x= 3t, 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，xy=1 3tL兀轴的非负半

9、轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C: P= 242sin（ 0-）,求直线I被曲线C截得的 弦长.23 .（本小题满分10分）某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1 000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1, 2, 3, 4, 5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次 （每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励 50元，若三位数是偶数，则奖励 100m元（m为 三位数的百位上的数字，如三位数为234,则奖励100X 2= 200元）.（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；（2

10、）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X的概率分布与数学期望 E（X）.24 .(本小题满分10分)1,1，+,*(1)求证：；cn=；cn+1(nCN, kCN);' 'k+1 n+1'(2)计算：(一1)0C0 020+( 1)12 C2 020 + ( 1)21C2020+ + ( 1)2 0202T2；C2020；232 021 计算：售(1)kCk 020777.k十22020届高三模拟考试试卷(扬州)数学参考答案及评分标准IOCCCC,YUU Ycl'CCV3+2/2c 1. x|0vx<2 2.等-3. 30 4. 15 5.- 1 6. g7. 2

11、邓 8.'6-9. 12110 .邛0 11.充分不必要12.42 13. -114. >33115 .解：(1)因为 2S= bccos A,所以 2X2bcsin A = bccos A,则 sin A=cos A. (3 分)在 ABC 中，因为 A (0,兀)，所以 sin A=cos A>0,所以 tan A=1, (5 分)兀所以A = .(7分),兀, 一 6(2)由(1)知人="4-,又 tan B = 5,.兀所以 tan(A + B) = tan(y + B)=6_ 1 + 二1 + tan B 51 tan B6 1-5=11.(9 分)在A

12、BC中，因为A + B + C=ti,所以tan C= tan(A + B) = 11,所以 sin 2c = 2sin Ccos C =2X 11 _ 22 _11 sin2C+cos2C= 1 +tan2C= 1+ 112= 122 = 61.(14 分 )2sin Ccos C2tan C16 .证明：（1）取AC中点D,连结OD.在三柱 ABCA1B1C1中，四边形 ACC1A1为平行四边形，BB1/CC1/AA1,且BB1 = AA 1.因为。为平行四边形ACC 1A1对角线的交点，所以 。为A1C的中点.1又D为AC的中点，所以 OD / AA1,且OD = 2AA1.（2分）1又

13、 BB1 / AA1, BB1= AA 1,所以 OD / BB1,且 OD = 2BB1.又F为BB1的中点，所以OD / BF,且OD = BF,所以四边形 ODBF为平行四边形，所 以 OF II BD.（5 分）因为BD?平面 ABC , OF?平面 ABC ,所以OF/平面ABC.（7分）（2）因为BC=B1C, F为BB1的中点，所以 CFXBB1.因为 AFL平面 BCC1B1, BB1?平面 BCC1B1,所以 AF，BB1.（9 分）因为 CFLBB1, AFXBB1, CF?平面 AFC , AF?平面 AFC, CFAAF = F,所以BB平面AFC.（11分）又AC?平

14、面AFC,所以BBAC.又由（1）知 BB1/CC1,所以 AC ± CC1.在三柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以四边形ACC1A1为矩形.（14分）兀17 .解：（1）因为架面与架底平行，且 AA1与地面所成的角为 ,AA1=1米，所以“支架高度"h= 1 x sin邛（米）,（4分）（2）过。作OOi,平面 AiBiCi,垂足为 Oi.又 O1A1?平面 AiBiCi,所以 OOdOiAi.一一一 一3又AAi与地面所成的角为e,所以OiAi=5cos e.同理c3Oi Ci = OiBi = Ccos 0 , 5'所以Oi为等边三角

15、形 AiBiCi的外心，也为其重心，0 户鬻cos20.所以 BiCi = AiOi . 3X 考=3cos 0 V3 = 353cos3-3 3SAAiBiCi= 4 X（ 5 cos记“支架需要空间”为 V,则V=27003cos2e - sin。C -6,彳.（8分）令 t = sin 。，则 tC A 也22 .所以旷二嚼。*2=嚅。t3），任i2， 2又 V' = 27003（i-3t2）=嚅t2-A-嚅t+%t-%则当teg, *）时,V' >0, v单调递增；当te （坐，坐）时，V' < 0, V单调递减,所以当 t=¥ 时，Vma

16、x=27003P33（*）3 = 27003x¥x3 = 5O（立方米）.（13分）兀答：（i）当0= 丁时，“支架高度”为3（2）“支架需要空间”的最大值为50立方米（i4分） c ./a2_ b2218 .解：(1)设椭圆E的焦距为2c(c>0),则e= =匕，可知a2=2b2.(2分)a a 2因为椭圆E过点(1,孝),所以1,解得02=2, b2=1, a2 2b2x2所以椭圆的标准方程为 ，+y2=1.(4分)(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).y= x+ t,由 c c 得 3x2+4tx + 2t22=0. x2+2y

17、2 = 2又直线l: y=x+t与椭圆E相交于A, B两点,4x1 + x2= - 3t,所以2t2_2且 A= (4t)2-4X3X(2t2-2)>0,则3<t<73.(6 分)x1x2 =-， 3设 AB 的中点为 M(xm, yM),则 xm =- 3t, yM =xm + t=3t,所以AB的中垂线的方程为y=-x-1t,即直线CD的方程为y=-x-t. 33_ X 1t由 y x 3 '得 27x2+12tx + 2t218=0,则 x2 + 2y2= 2x3+ x4= i gt, 2t218 (8 分)x3x4 =所以 CD = y (x4x3)2+ (y

18、4y3)2 = 5 + ( 1 ) 2 ,27'7 (x3+x4)24x3x4-281t3.4 c 2t218/二可3.。分) 3(9t)2-4Xr= y又te( 3, ®所以当t=0时，cdmax = 啦X (3)由(2)知AC , AD = (x3 x1，y3y1)(x4x1, y4 y1) =(x3 x1)(x4 x)+ (y3 y1)(y4一 y1)=(x3 x1)(x4x)+ ( x3x1 一亲)(一x4 x1 gt)16t29 t33=x3x4 (x3+x4)x+ x2+ x3x4+ (x1 + t)(x 3 + x4)+ x2 + gtx1 + 33c 4281

19、6 2=2x3x4+ 3t(x3+ x4)+ 2x1 +3仅1+ 9t.(13 分)4x3 + x4 = gt,又2t2-18x3x4 = -27 一,3x2+4tx1 + 2t22= 0,所以 AC AD = 2x3x4 + 3t(x3 + x4)+ 3(3x2 + 4txi) + 9t2“2t2 18,442216 2=2* +. + 3(2-羽+小=(土 16_ 些+当t2= 0.(16 分)'27 27 27 27八')19.(1)解：设 h(x) = f(x) g(x) = xJln x, x则 h'(x)1+2-x(x 1) 2+ 3 x2-x+1(2)+4

20、 cT 0，x2所以h(x)在(0, +oo )上递增.又 h(1) = 0,所以 0vxv1,所以 f(x) g(x)w0 的解集为(0, 1). (4 分) (2)证明：由 u(m)+u(n) = 0 得 a(m2- 1)-ln m + a(n2-1)-ln n = 0, 即 a(m2+n22)In m In n = 0,又 a< 0,所以 a(m2+n2 2) In m In n= 0< a(2mn 2) ln(mn).因为mwn,所以"=”不成立.(7分)思路一：1设 mn=t, v(t)=a(2t 2) In t(t>0),则 v (t) 2a-<

21、0,所以v(t)在(0 , + 8)上单调递减.又 v(1) = 0,所以 t<1,即 mnv 1.(10 分)思路二：假设 mn> 1,则 2mn 2>0, In(mn) > 0,所以 a(2mn 2) In(mn) <0, 这与 a(2mn2) In(mn) >0 矛盾，故 mnv 1.(10 分)解：u(x) = xf(x) g(x) = a(x2 1) In x ,1 2ax 1当 a>0 时，u (x) = 2ax = x x负值舍去).令 u ' (x) 0 得 x =所以当xC(0,、/白时，u' (x)V02au(x)为

22、减函数;x e,+°° )时，u' (x) >0,u(x)为增函数.当又又u(1) = 0,一 1 .即a= j时,u(x)有1个零点;(12分)即 a>1时，由 u(1) = 0 可知"2)< u(1) = 0,u(e a)>0,且 e a< 1,所以u(x)在(0, 1)上有1个零点，故此时u(x)有2个零点；(14分)3°当一一 1 ,>1,即 0< a< 2时，由 u(1) = 0 可知 u<u(1) = 0,令(j) (x)= In x - (x - 1),则(j) ' (x

23、)11 = , x x所以当 xC(0, 1)时，v(x)>0, e (x)单调递增；当 xC(1, +8)时，e' (x)<0, 4(x)单调递减，所以 ()(x)iax=()(1)= 0,故 ln x wx 1,则一ln x >- (x 1).所以 u(x) > a(x2- 1)- (x- 1),所以 u(- 1)> 0,且 11>1, aa所以u(x)在(1 , +oo )上有1个零点，故此时u(x)有2个零点.1 1 .综上，当a= 2时，u(x)有1个零点；当a>。时aw万时，u(x)有2个零点.(16分)20 .解：(1)因为 an

24、= n2,所以 A an = an+1 an = (n + 1)2_ n2= 2n + 1,则 A an+1 A an = 2.又Aa=3,所以A an是首项为3,公差为2的等差数列.因为A 2an= A an+1 A an=2,则A2an是首项为2,公差为0的等差数列.(2分)(2)因为数列bn是公比为q的正项等比数列，所以bn=b1qn 1.又 A 2bn= A bn+1 A bn= bn + 2 bn + 1 (bn+ 1 bn) = bn + 2 2bn+ 1+ bn,且对任意的 n C N ,都存在mCN*,使彳导八2bn=bm,所以对任意的 nCN*,者 B 存在 mCN*,使得

25、b1qn+1 2bqn+bqn 1 = bqm 1,即(q1)2 =qm n.因为q> 2,所以 m- n>0.1° 若m n=0,则q22q+1=1,解得q = 0(舍)或q=2,即当q=2时，对任意的nC N*, 都有 A 2bn= bn.2 若 mn = 1,则 q2-3q+1=0,解得 q：31步(舍)或 q=3jy5,即当 q = "20时，对任意的nCN*,都有A 2bn=bn+1.3°若mn>2,则qm n>q2>(q-1)2,故对任意的n C N*,不存在mCN*,使彳#A 2加 =bm.综上所述，q所有可能的取值构成

26、的集合为2, 32日.(8分)21 ) 因为 A 2Cn= 0 , 以"以 A 2Cn= A Cn+ 1 A Cn=Cn + 2 Cn + 1 (Cn+ 1 Cn) = Cn + 2 2Cn+ 1 + Cn= 0 ,所以cn + 2 Cn+1 = Cn + 1 Cn,所以Cn是等差数列.设Cn的公差为 d,则 Cn= C1+ (n1)d.若 d=0,则 Cm = Cn jC1 一右d<0,则当n>1d时，Cn<0,与数列Cn的各项均为正数矛盾，故 d>0.(10分)由等差数列前n项和公式可得Sn = 2n2+(C1-2)n,所以 Sn+ Sm= d2n2+ (

27、C1-2)n + 2m2 +(5 2)m = d(n2 + m2) + (C1 m)(m + n),Sk=d(m-2J1)2 + (C1-2)嘤m2+n2(m+n) 2又 mwn, -2 >4，d 22 dd (m+n)2, d所以 Sn+Sm= 2(n2+m2)+(C1 2)(m + n)>2 2+ (C1 3)(m + n)= 2Sk,则当tW2时，不等式Sm+ Sn>tSk都成立.(12分)另一方面，当 t>2 时，令 m= k+ 1, n=k1(kCN*, k>2),则 Sm+ Sn= d(k + 1)2+(k-1)2+ (C1 -2) 2k =2(2k2

28、+ 2)+ 2k© 2),Sk= 2k2+ (ci 2)k,则 tSk (Sm+ Sn)= 2tk2 + (ci 2)tk 2(2k2+ 2) 2k(ci 2)=(，一 d)(k2 k) + (t 2)cik - d.dd因为 2t d>0, k2-k>0,所以当 k>(t_2)c, tSk-(Sn+ Sm)>0,即 Sm+SnVtSk.综上，t的最大值为2.(16分)2020届高三模拟考试试卷（扬州）数学附加题参考答案及评分标准21.解：（1）用待定系数或公式可求得M=32 .（5分）2 1（2）设直线l上任一点（x, y）在矩阵M对应的变换作用下为（x；

29、y'）,32 x 3x + 2y X即=，在 x+3y = 0 上，（8 分）2 1 y 2x y y则一3x+2y+6x3y=0,即 3x-y=0,所以直线 l 的方程为 3x y=0.（10 分）x= 3t,22 .解：把直线的方程l:y_ 1 _ 3t（t为参数）化为普通方程为x + y= 1.（3分）圆p= 2V2sin（ 0-十）化为普通方程为x2+2x+y22y =0,即（x+ 1）2+（y1）2= 2.（6 分）圆心C到直线l的距离d = 爰=.（8分）所以直线l被圆C截得的弦长为2个 监 2（*）2 = <6.（10分）36 323 .解：（1）因为 n = A3

30、=60, m=A1A4=36,所以 P1 = =工 60 5 3答：摸到三位数是奇数的概率是5.（4分）（2）获奖金额 X的可能取值为 50, 100, 200, 300, 400, 500,则3P(X = 50) = 5,P(X 100) 113. 2一 工P(X-100)-60- 10,ccc、 1X3X1P(X = 200) =60120'P(X = 300) =1X3X260110'P(X = 400) =1 x 3X 1601 一1X3X21 八20, P(x= 500)=-=而，(7分)获奖金额X的概率分布为X50100200300400500P31111151020102010数学期望E(X) =50X3+100X :一 1 一, + 200 X ；1 + 300 X1 + 400 X；1-+500 X ；1 = 150 元.51020102010答：期望是150元.丘力1k 1山1(n+1) !1 k+124.斛： k+1Cn=k+ 1 k!(n心！ - n+1 ,(k+1) ! ( n-k)!-n+1Cn+.(2分)(2) (- 1)0C2 020+ ( 1)11C2 020+ (