化归思想在数学解题中的应用

1、仅供个人参考寄搞日期：2009年3月6日星期五本稿适合高中教师阅读中的课外园地栏目,联系电话：邮箱：For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use不得用于商业用途仅供个人参考化归思想在数学解题中的应用唐雯川四JI省成都邛睐市平乐中学611539【摘要】 根据数学问题求解中重要的化归思想，文章详细阐述了如何在数学解题中灵 活运用化归思想。结果表明，只要能够进行巧妙地化归，总能快

2、速地求解相关数学问题。【关键词】 化归数形结合变更问题引言在数学问题的求解过程中，有一类问题是无法直接进行求解的。 一般，总是想方设法将 所要求解的问题进行化归， 从而将难解的问题通过变换化归为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换化归为已解决的问题。这便是化归思想。所谓化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时通过某种变换使之化归，进而达到解决问题的一种方法。其特点在于其高度的灵活性和多样性。它可以在宏观上进行化归，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言翻译为数学语言；也可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换。还可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变换。消去法、换元法、 数形结合等方法

3、就是最常见的几种化归方法。在使用化归思想解决数学问题时，一般遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则。按照这些原则进行数学操作，省时省力，可以快速提高解题的水平和能力。本文着重论述等价化归、数形结合、变更问题、反证化归和换元化归思想在解题中的应用。1等价化归等价化归是把不可解的问题化归到已有知识范围内可解的问题的一种重要方法。在解题时可以通过适当的联想，把题中的条件或结论改换成另一种等价的形式， 从而明确解题方向， 寻求解题途径。2 c 2 A 3.o例1 4ABC中，已知：a cos +ccos = - b, CA=45 ,求三角形三边之比。222C o A 3分析：根据倍角公式和射影定理可

4、知，在 MBC中，“ acos2 + ccos2 = b ”等 222价于 "a+c=2b"，从而“CA=450”等价于 “ B = 450 2A, C = 450 + A (0 < A<300)这样，原题相当于：MBC中，三边成等差数列，最大角C与最小角A的差为45°,求三角形三边之比。由此，通过求解三角方程，确定 sin A的大小，原题就容易解出了。解：依题设有1 cosC 1 cos A 3 a c = - b222由射影定理可知(2)a cosC ccosA = b比较(1)、(2)式，得a c = 2b根据(3)式，由正弦定理可得sin A

5、sin C = 2sin B又由三角形的性质可知，A为最小角，C为最大角，则(5)C = 45° + A B = 45° 2A将(5)式代入(4)式，可得(6)sin A cos A = 2cos2A 即sin A cosA = 2(cos2 A-sin2 A)因为A为最小角，所以B=45° 2AaA,即0cA<30°,则sin A+cos A >0。故方程(7)等价于A . A 1 cosA = sin A 2(8)两边平方，整理后2.8sin A 4sin A -3 = 0(9)不得用于商业用途仅供个人参考解方程（9）取正值，得从而sin

6、 A =.7-1(10)0、227 1sinC=sin(45 A)=cosA= . 1 - sin A=4sin B = sin(450 -2A) = cos2A = 1 -2sin2 A = -74因此，AABC三边之比为a : b: c = sin A:sin B : sin C1.l 11L=(、,7 -1): 、7 一(,.7 1) 444不得用于商业用途=(、7-1):、,7：37 1)PA与BC的公垂线例 2 图 1-1 ,三棱锥 P - ABC 中，已知 PA_L BC,PA = BC =l ,1 . 2.ED = h ,求证：三棱锥P - ABC的体积是V = l h6知AP

7、_L面EBC ,把三棱锥分析：若直接求解，底、高不易求出。由于ED是PA与BC的公垂线，而PA_L BC ,P-ABC分成以PE, AE为高，AABC为底的两个小三棱图1-1解：连结EB,EC仅供个人参考不得用于商业用途VP .ABC =VA_EBC ' VP _EBC1 SSI31 e二一 SI1 EBC AE SEBCPE3即原题得证。31=一 X:3EBC (AE PE)1 lh l2l2h6通过适当替换题设条件，明确了解题方向。这就表明，有目的地总结并熟悉数学中的等价 关系，对于丰富解题思想是很有帮助的。2数形结合数与形是数学中的两种表现形式，数是形的深刻描述，而形是数的直观表

8、现。两者之间相互印证，不可分割。因此，在特定的条件下，数与形可以相互转换，互相渗透。“数”的问题可以化归为“形”的问题进行研究，“形”的问题也可以化归为“数”的问题进行探讨。上 a2 b2 t 2 abM 一例3已知a0,bA0, arb。试比较和丫2吧的大小。2 a b分析：考虑将“数”的问题向“形”的问题转化。由题设可得如下等价图示2-1.解：图中a、b分别表示BC、AC的长度。因为a ¥ b ,不妨设a>b ,以a , b为直角边，做直角三角形 AABC ,斜边AB = Ja2 + b2，设CM、CD分别是 MBC的BC边上的中线和角平分线，则CM 二卫 b-由三角形的面

9、积公式有10101a CD sin 45b CD sin 45 = - ab所以显然a #b时，CM >CD ,所以图2-1a2 b2、2ab2 a b例4 求函数y = Jx2 4x+13Jx2 2x + 5的最大值。.一一 ，一、“，一一27222分析：将函数写为y=J(2x) +3 -7(1-x) +2。根据解析式的特征，设计出图形如2-2,在直线l的同侧取A, B两点，使 A到直线l的距离AD = 2 , B到直线l的距离BE =3,且DE =1, P是ED延长线上的一点，令 PD =1x,则PE=2 x,由这个图形可得到：AP = J(1-x)2 +22 , BP = J(2

10、x)2+32。因为 BPAP MAB ,所以当 P 点移 动到与AB再一条直线上的C点处，BP - AP有最大值。解：由图知，当 P点位于C点时，AACD s ABCE得所以即当函数=.x2 -4x 13 -此时图2-23变更问题有些数学问题的结构比较复杂，常常通过等价替换题设的条件或结论从而得到问题的解 答。因此，解题时可以通过适当的联系，把题中的条件或结论改换成一种与它等价的形式， 从而方便问题的解决。3.1变更问题的条件遇到条件比较复杂的数学问题时，可能会无法直接求解。但如果适当变更题设条件，就 能将复杂的问题进行简化。设为a正实数，求aVaVa-"解：变更问题条件111=a2

11、 a4 a8 1，：)n=a 23.2变更问题的结论同样,有时变更问题的结论,也会使问题的解答达到事半功倍的效果。分析:设a为实数，求证:a2=2-2a2a2 2圭2可变形为:a2 1a2 2 _2 a2 1(11)(11)式又可变为22(a 1)1 _2 (a 1)1(12)又因为m . 0、m + n > 2，mn。令 m = a2+ 1, n =1 ,则可得(12)式。即解：令m1,+ 2>2x/a7+1 ,a2 2 2a2 1n =1 ,由不等式定理可知:(a2 +1)+1 之 2j(a2+1) 1 ,所以a22寸口a2 >2,所以原式得证。a2 1C是AABC的三个

12、内角，求证:2 A 2 B 2 C tg + tg + tg -的最小值为222 ABBCCA分析：由正切半角的恒等式可知： tgtg -+tgtg -+tgtg -=1 .则 222222原题结论可转化为求证：tg2 A+tg2 旦+tg2 C至tg "Atg旦+ tg "tg C +tg Ctg A .222222222这样，利用转换结论的思想，原题就不难得证。证明：对于任意实数 a, b有a2十b2至2ab(13)2 A 2 B Atg 2 tg 2 一2tg 2tg仅供个人参考2 B 2 c B Ctg tg 2tg tg2222,2CiA C, A(14)(15)

13、三式相加，即得tg 2 T tg2 B 2 C A . _ B B C . _ C . _ A , tg tg tg tg tg tg tg = 122222222ABC等号仅当tg= tg=tg,即A = B =C = 600时成立。因此，当A=B=C=600时:222,2 A , 2 B , 2 c 一tg一+tg+tg-的最小值为1。2224反证化归有的数学问题所要求的结论，在一般情况下不容易推出。但在特殊情况下却非常易于处理。因而处理问题时，若能注意到问题的特殊性，将待解决的问题为特例，进而寻求问题的解答。例8证明sin JX不是周期函数。分析：设sin JX是周期函数。考察它的一个特

14、殊值一一零点，则零点也应该周期的出现,然后推出矛盾。证明：f(x) =sin JX的零点是x = k2n2(kw Z),然后随着| k|的增大，k2则更快的增大，f (x)的零点分布越来越疏，这就导致了矛盾，f (x) =sin JX的零点不是周期出现的，所以原命题成立。例 9 设方程 x2 +y2 +2(2 - cos2 6)x -2(1 +sin28)y 4cos2 8 +2sin28 +5=0,求证：不论e取何实数值，方程的曲线总经过两点p,p2,并求P1,P2两点的坐标。分析：这是圆系方程，若 0取特殊值，则方程对应两个具体的方程，这两个具体的方程必经过p1，b两点。再把此两点代回原方

15、程，知两点都在曲线上，且与日的取值无关。故上述两点即为所求的定点 P1,P2O解：不妨令0 =0,0得2x2 y2 2x-2y 1=0(16)(17)tg tg 7 2tg 二tg 二222222_x y 4x -4y 7 = 0不得用于商业用途仅供个人参考仅供个人参考由(16) , (17)得 x = 1 ) y = 2 或 x = 2 , y = 15换元化归通过一个或几个新变量代替原来的变量，从而使问题化归为仅含有这些新变量。用这种方法解题的目的是变换研究对象，实质是将待求解的问题转换到新对象的知识背景中去研究，达到化难为易、化繁为简的目的。例10求函数y =3sin的单调递减区间。分析

16、：如果直接求的话比较复杂，但我们可以把 土）看成一个整体u,这样求解起来3 2就比较简单了。x3二一斛：设 u =一 -,则 y =3sinu ,当 2kn + <u W2kn +时，y =3sin u 随 u 的 3 222增大而减小。一. 二 x .又因为在u=一 一中，u随x的增大而减小。3 2（二 x ,二3二中，当 2kn + <u M2kn +一 时，3 2227 二即当一 4kn WxWYkn -一时，y随x的增大而增大。33所以y = 3sln J的单调递减区间为4依， 4k元,k三z。3 233例 11 解不等式 J3logaX-2<2logaX-1. （a

17、>0,a=1）分析：从不等式的框架看，它是较为典型的无理不等式，去掉根号是解题过程中重要的一环，这时可把<3logax-2 ,看成一个整体来去掉根号。解：令 y = J3loga x -2 , y 20所以原不等式变形为2y2 -3y 1 0解得一. 10£y（一或 y>12即是1 一0 E3loga x 2 < 2 或3loga x -2>1所以当a1时，原不等式的集为2 5x|a3 <x <a6w£x>a当0 <a <1时，原不等式的集为52x|a6 <xMa3或0<x<a这五种分类是化归思想

18、中比较典型的类型，解答数学题时常常会遇到。有时也会遇到其它比较复杂的问题而无从下手，但只要进行巧妙的化归， 总能将复杂的问题转换为熟悉的问题，从而更简单、直观，这样再解答问题就简单多了。结论本文通过阐述高中数学中常见的五种化归思想，并辅以经典的例子， 说明了化归思想如何在数学解题中灵活应用。熟悉数学化归思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，有利于强化在解决数学问题中的应变能力，提高解决数学问题的思维能力。参考文献1 中学教学方法指导下册2 数学基础知识手册3 竞赛数学解题研究4 新课程的理念与创新不得用于商业用途唐雯川：四川省成都邛味市平乐中学数学教师， 因幽默风趣的教学风格而广 受学生的欢迎，所教的班级数学成绩尤其突出。经一位资深老师介绍，我征订了数