小升初奥数百鸡问题解题指导及例题解析

1、小升初奥数百鸡问题解题指导及例题解析张丘建算经中有这样一题：公鸡每只值 5文钱，母 鸡每只值3文钱，小鸡每3只值1文钱。现在用100文钱买 100只鸡，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只 ？这是中国古代算术中的一类典型问题百鸡问题，现代数学用不定方程求解，在小学阶段，不少同学都是用拼凑 的办法来解决。这里介绍一种新方法，对小学生很适用。1、 求倍数。每只公鸡值5文钱，每只母鸡值 3文钱， 每只小鸡值1/3文钱。以最便宜的小鸡为标准，公鸡和母鸡 的价格分别是小鸡的 5- 1/3=15倍和3- 1/3=9倍。2、算超额。假设100文钱全部买小鸡，可买100 + 1/3=300只，超出实有三种鸡总数300-

2、100=200只。3、组等式。由于公鸡置换成小鸡可多出自身只数的15-1=14倍，母鸡置换成小鸡可多出自身只数的9-仁8倍。不难理解，上述假设中多出的200只即为公鸡和母鸡置换成小鸡后一共增加的只数，关系式为：公鸡只数X14+母鸡只数X 8=200.4、试结果。一般来说，不定方程的正整数解按关系式就可以观察得到。我们也可以先把等式变形，观察起来更为 容易。方法是，在等式两边同时除以一个相同的数（0除外），得到等式右边为整数，左边只有一项系数是分数的形式。在上式两边同时除以 8,得到：公鸡只数X 7/4+母鸡只 数=25.显然，公鸡只数必须是 4的倍数。这样，从“ 4”起， 依次用4的倍数去试算

3、，可以得出三种情况：公鸡 4只，母 鸡18只，小鸡78只;或公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只; 或公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只。下面再举一例来验证。大数学家欧拉曾提出过这样的问题：一头猪321(312)银币，一只山羊131(113)银币，一只绵羊 21(1/2)银币。有 人用100个银币，买了 100头牲畜。问：猪、山羊、绵羊各 多少？猪的单价是绵羊的 312- 1/2=7倍，山羊的单价是绵羊 的113+ 1/2=223倍，猪和山羊分别置换成绵羊，可多出自 身只数的7-1=6倍和223-仁123倍。如果100个银币都买绵 羊，可买100 + 1/2=200只，超出实有牲畜头数 200-10

4、0=100 头，这100头就是猪和山羊换成绵羊后多出的头数，列式： 猪X 6+山羊X 123=100.显然，山羊的只数应是“3”的倍数， 可以推算得到：猪15头，山羊6只，绵羊79只;或猪10头， 山羊24只，绵羊66只；或猪5头，山羊42只，绵羊53只。上述解法，我们可以用代数知识来帮助分析。在第一题里，设公鸡、母鸡、小鸡分别有X、丫、Z只，列出两个方程(方程组)X+Y+Z=100 5X+3Y+13Z=100，将方程乘以 3,就是15X+9Y+Z=30Q 与方程相减（消去Z），得出14X+8丫=200,两边同时除以8, 就是74X+Y=25.显然X只能是4的倍数，依次试算，就能得 到与前面相同的答案来。这样一来，我们就会明白，所谓的“新法”，其实也并不新鲜，不过就是先用“消元法”把“三元”不定方程组演 变成一个“二元”不定方程，然后有意识地将这个方程的某 一个求知数的系数变成分数形式，便于观察这个未知数