分式方程竞赛题

1、第一讲分式方程(组)的解法转化的基分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形.变形时可能会扩大 缩小)未知数的取值范围，故必须验根.例1解方程解 令y=x2+2x 8,那么原方程为去分母得y(y 15x) + (y + 9x)(y 15x) + y(y+ 9x)= 0,y2-4xy- 45x2=0,(y + 5x)(y 9x) = 0,所以 y=9x 或 y=5x.由 y = 9x得 x2 + 2x 8=9x,即 x27x8=0,所以 x1 = 1, x2=8;由 y= 5x,彳导 x2+ 2x

2、 8= 5x,即 x2+ 7x 8= 0,所以 x3= 8, x4= 1.经检验，它们都是原方程的根.例2解方程x2 4x , 72x -72 “g c72x -72+ -18 = 0 -x -1 x +4x+ x +4x _18=0x2 4x72解设y= x 1 ,则原方程可化为 y+ y 18=0y2- 18y+72= 0,所以 丫1=6或丫2=12.x2 »4x=6 cc当y=6时， x 1, x + 4x= 6x 6,故x2x+ 6=0,此方程无实数根.当y=12时,x2 4x=12x -1x2 + 4x= 12x- 12,故 x2-8x+12 = 0>x2-8x+ 1

3、2=0,所以*1 = 2或*2=6.经检验，x=2, x2= 6是原方程的实数根.例3解方程分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简 分式.原方程可变为-(32 x -2 ) 2 - 二0x2 +3x+2x+2,整理得53 x -2_ 2- 0x 1 x 2x2 3x 2去分母、整理得x+ 9= 0, x= 一 9.经检验知，x= 9是原方程的根. 例4解方程x 1 x 6 x 2 , x 5+=+x，2 x 7l x，3 x，6分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是 这样原方程即可化简.原方程化为1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和,1

4、1 - 1x 21T-7二11 1x 一 31_1(x 6)(x 7) -(x 2)(x 3)所以(x+6)(x + 7)=(x+2)(x+ 3).9解得x=- 2 .9经检验x= 2是原方程的根.例5解方程111111 + 1 + | +1=11x(x -1) x(x 1) (x 9)(x 10) 12分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1 ,故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简.原方程变形为1 .1，Jx-1 x x x+1x+9 x+10 12,整理得去分母得x2+9x22 = 0,解得 x1 = 2, x2= 11.经检验知，x1 =

5、2, x2= 11是原方程的根.例6解方程a c分析与解 分式方程如比利式 b = d ,且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简.原方程变形为(2x2 3x 2) (2x2 -3x -2) _ (2x2 5x 3) (2x2 5x -3)2=22x -3x -22x 5x -3224x _ 4x2x2 -3x-2-2x2 +5x-3所以.22x= 0 或 2x 3x 2= 2x + 5x3.1解得x=。或x= 8 .1经检验，x=0或x= 8都是原方程的根.例7解方程分析与解 形式与上例相似.本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理 化简.原方程变形

6、为2_ 2_6x -2=2x 2即 8x 8x .当xwo时，解得x= 土 .经检验，x=+是原方程的根，且 x=0也是原方程的根.说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验.a这类特殊类型的方程可以化成兀二次方程,因而至多有两个根.显然1x = a与x2= a就是所求的根.例如，方程x 1=31 x=31x3,即 x3,所以 x= 3, x2 =a力时,13 .例8解方程解将原方程变形为x2 x 1 x2 12 3+ + -5 = + x 1 x x 1 3 2x2 x 1y 二-2设 x+1,则原方程变为23解得3, y2 2.x2 x 1 2-35n = x =当x

7、+13时，22x x 1 _ 3T；=一当 x +12 时，x= 1;35经检验x= 1及x=2 均是原方程的根.例9解关于x的方程=2- 2a x解设y = b+x ,则原方程变为1 c 1y ' =2 y 2.i所以yi = 2或、2= 2 .=2,得 x1=a2b;由a x_ 1b+x 5 ,得 x2=b 2a.将x = a 2b或x2=b2a代入分母 b+x,彳#ab或2(b a),所以，当a巾时，x1 = a 2b及x2 =b 2a都是原方程的根.当 a= b时，原方程无解.例10如果方程只有一个实数根，求 a的值及对应的原方程的根.分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2

8、x22x+ (a+ 4)=0.原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是：(1)方程有两个相等的实数根，即= 4-4 2(a+4)=0.71解得a=- 2 .此时方程的两个相等的根是x1 = x2= 2 .(2)方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为0或2.(i)当x= 0时，代入式得 a+4= 0,即a=4.这时方程的另一个根是x= 1(因为2x22x=0, x(x 1)=0, *1=0或*2=1.而x=0是增根).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.(ii)当x= 2时，代入式，得2M 2X2+(a+4)=0,即a= 8.这时方程的另一个根是 x= 1(

9、因为2x22x4= 0. (x 2)(x+1)=0,所以x1 = 2(增 根)，x2=- 1).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的 a的值分别是712 , 4, 8,其对应的原方程的根一次为2 , 1 , 1练习一1.填空：11x =10(1)方程 x82的一个跟是10,则另一个跟是 .2x - bx_ m -1(2)如果方程 ax-c m+1有等值异号的根，那么m=.1k-5k -1.一：.、一 21 2= " 一.(3)如果关于x的万程x x x +x x -1有增根x=1,则k=.x 1 x -1 10 +=（4）方程x1 x+1 3的根是2 .解方程3=024x5xx3 2x2 x x3 2x2 -5x3 .解方程x3 -2x2 x 1=2 xx3