2019考研数学复习高等数学向量代数与空间解析几何-23文档资料

1、第四章向量代数与空间解析几何邀学1要求】2021年测试内容向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面 柱面 旋转曲面 常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程2021年测试要求1 .理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示.2 .掌握向量的运算线性运算、数量积、向量积、混合积,了解两个向量垂直、平行的条件.13 .理解单

2、位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4 .掌握平面方程和直线方程及其求法.5 .会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系平行、垂 直、相交等解决有关问题.6 .会求点到直线以及点到平面的距离.7 . 了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8 . 了解常用二次曲面的方程及其图形,会求简单的柱面和旋转曲面的方程.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程.一、三基及其延拓1.向量代数研究的对象为自由向量,研究的空间限于实物空间,即不超过三维的空间,一一 , v v向重的一般表

3、小a, b,等几何表示：以原点为起点的有向线段坐标表小:投影表示:vva (X1,y1,Z1), b (X2,y2Z)r r r r r r r ra axi ay j azk ； b bx i by j bzk坐标系：任何极大完备无关向量组i1r r r rura1,a2,a3,L an ,其中:aii2i3M可以构成坐标系,如果将该向量组施密特正交化和单位化,那么构成正交直角坐标系,很显然,isr r r r如果a1,a2,a3,L an中的每一向量是 3维s=3,有三个坐标分量,那么不可能由二维坐标系n=2 ,有二个独立分量表示,这个思想应特别注意.向量的方向角和方向余弦r a与x轴、r

4、y轴和z轴的正向且非负的夹角,称为a的方向角. cos ,cosr,cos称为a的方向余弦,且cosax干, acosayacosr ur 、r e为r的单包向重,并规止urer离开原点为正方向.ur , r、,e称为r的单位向量,并且2 cos2 cos2 cosurerur任意向量线元e为l的单位向量,并规定ure离开原点为正方向uuun任意向量面元d为面元法线的单位向量,并规定en与z轴夹角为锐角时为正方向.两向量的夹角规定：为两向量不大于 的夹角,即0直线与平面的夹角规定：直线与该直线在平面上的投影直线之间的夹角,平面与平面的夹角规定：两平面的公垂面与他们的截痕直线之间的夹角,又等于他

5、们的法线之间不超过一的夹角O2定比分点公式：P,F2, P为同一直线上的三点,uuir PiP uur PP20,1,P在P,和B中P在P2外0, P在P,外uurPiPuurPP2uuuOPXX2y1,11y2ziZ2又称标积或点积,表示为、 v v或：a brPr jbaa Pr jabb Prjbar ra baxbx aybazbz0,b;b222xbybz称为a在b上的投影注意：数量积本质上就是一个实数.向量积 又称叉积或外积,表示为在三维以上空间的数量积称为内积,且可表示为v va b方向规定：转向角不超过的右手螺旋定那么v vv v 一, v v ,几何意义：a b=平行四边形的

6、面积；a b 0,且共起点a, b共线r r rrrrr ur rabc =0a, b c 共面.混和积表示为abcr r r几何意义：abc代表平行六面体的体积;vvda dax v day v daz v d,/、df v . da求导法那么-1 j - k (fa) a f -dt dt dt dt dt dt dt2、场论考点场的概念：在全部空间或局部空间里的每一点,都对应着某个物理量确实定值,叫做该 空间的物理量的场,分为数量场与向量场两类.数量场用梯度描述,向量场用散 度与旋度描述.场论的数学核心：梯度算符,用ri rj -rkxyz表小,定义为0梯度定义:v -k,就好比楼梯的陡

7、度. z散度uv、A定义:ivpA xruv r r一,其中 A Pi Qjz表示分散的程度.旋度uvA定义:如没有闭合,如果没有分散,那么散度为零,如静磁场的散度vvvijkxyzAxAyAzivA,表示蜗旋的程度.即不存在蜗旋,那么旋度为零,如静电场的旋度uvB 0ouvE 0.运算关系本知识点内容数学1-4不作要求,高数甲乙或高数AB需掌握高斯公式的场论表示斯托克斯公式场论表示uvuvuv0AdSvAdVuv vuv uvA dlA dSs平面格林公式Q P , 女述dl Pdx Qdy dxdy 入s x y评注在高斯公式和斯托克斯公式中,各符号的具体意义如下:111r r r rr评

8、 注 读者最难理解是关系：d S dSn idydz jdzdx kdxdy.其实就是n的方向余弦cos , cos , cos元投影面元的关系,读者可在三维空间作一个平面2 * 1.然后a b c在该平面内过z c点画无数线元dSi,每一线元在xoy平面的投影为 dui ,显然 dui dSi cos ,并有：dui dxdy,d§ dS dxdy dScos ,同理可得其他两个坐标平面的面元投影 关系：dydz dScos ; dzdy dScos .上述关系是读者能否学好空间积分的关键,务必掌a-万能坐标系正交曲线坐标系 本小节内容数学1-4不作要求,高数甲乙或高数AB需掌握在

9、该系中任一曲线元dli hiduidui为球面系、柱面系等坐标曲线元.对直角坐标dl1 dxdl2dydla dz ;hh2ha1 ；3 x, u2 y, ua z对柱坐标系(r, ,z)hi1, h2r,r, u2,ua对球坐标系(r,)hi1, h2r,h3 r sinr, u2,uaiv那么61l1uvl2uv小lau1 uv-e1u l1u2 W-e2 u2 l2uauvea1uv1uv c1uve1e2eah1u1h2u2haua即:uv 1而A而公瓦几工D无须掌握证实过程uv uv uv几0年62haGlv1无须掌握证实过程Ah1h2hau1u2uaAhA?h2Aahaivuv 记

10、住,A, A的结论形式即可拉普拉斯算子在球坐标系的形式拉普拉斯算子在柱坐标系的形式4,直线方程?方向向量s :一簇与该直线平行的方向数l,m,n；一般用s l,m, n表示直线的方向向量.一般式方程 wAx By C1z D10nlw从x B2y C2Z D20 n2v那么直线的方向向量 s l, m,nv点向式标准式s l,m,nABCA2, B2 ,C2iv INni电rn 一股表小平面的法线向量.xx0lt参数式yy0mtzZ0nta两平行直线的距离d同上vM优外:.为直线上点,方向数：s l ,m,n两点式方向角式： xcos ycos zcos及2pZ2 , 为 .直线间关系?点P

11、xi,yi,Zi到直线-?直线到直线的距离dvvvijkx2 xi V2 yi Z2 4lmnl2 m2n2b两异面直线的距离d 画出平行六面体图推导出下式其中：P斗,必,4和P2 x2,y2,z2分别为两直线上的任意两点,不管这两点位置如何, uiurPF2的投影的模都等于d 05 .平面方程一般式 Ax By Cz D 0,、, v法线万向向量 n A,B,C形象记忆掌握法：“影评隐蔽平行坐标量,如y不出现,那么/ y轴；依此类推.点法式Xi乂2X3y1y2y34z2z3=0截距式：即平面经过以下三点:(a, 0,0), (0, b, 0), (0, 0, c)平面束方程不包含A2x B2

12、y C2zD2 0 ;如果所求平面通过直线一般式,那么用平面束方程会比拟简便,但必须验证A2X B2y C2z D2 0是否满足所求结论,以免遗漏.平面间的关系夹角点P02 AA2cosB1 区 C1C2 =0,A2X0, y0, z0到平面AAzB1B2 C1C22 c 2A 22 c 2BiCi 1, A2B2c2Ax By Cz D 0的距离,对直线到平面的距离只要在已知直线上任取一点即可类似处理证实：在平面上任取一点uumXi, %, 4 ,作平面的法线向量n,那么d PrjnPP.两平行平面之间的距离sin6 .平面与直线之关系夹角7 .曲面及其方程7.1 准线与母线的界定准线一般指

13、基准曲线,如旋转轴,圆或圆锥曲线； 母线顾名思义是由该曲线旋转或平移可以是空间平移后可以生成所要求的曲面的曲线就像母亲生孩子；其中的旋转轴和平移基准也就是准线.如一条直线沿某一圆周平移一周形成圆柱面.第163页7.2 二次曲面二次曲面的二次型表示adfA正定或负定 椭球面Adbe的特征值就确定了三类曲面：A无0特征值且特征值异号双曲面fecA有0特征值 抛物面大纲中只要求掌握一局部二次曲面,包括：九种常用二次曲面,圆柱面和一般锥面.如何掌握以下技巧提供了全面解决方略.陈氏第6技|从准线与母线的三种关系和陈式 4法来系统掌握考点,并理解曲面图形.?准线和母线都是直线旋转形成锥面如椭圆锥面等 .?

14、准线是直线而母为曲线旋转形成旋转曲面如单双叶双曲面等 ；空间平移形成柱面如椭圆柱面等.?准线和母线都是曲线相互正交的两抛物线平移形成马鞍面；椭圆沿抛物线伸缩平移形成椭圆抛物面.零点法：用于分析二次曲面的准线和母线,以便确定曲面的轮廓.截痕法：用于分析二次曲面的细节,以便画出曲面图形.伸缩法：用于分析曲面之间的转换,如圆锥面转化为椭圆锥面等.动静点转换法：是确定旋转曲面方程和伸缩变形方程的定势手段.7.3 投影方程确实定任一空间曲线：FlX,y,Z0在平面冗上的投影构成一条平面曲线一一 投影曲线；以F2x, y, z 0投影曲线为母线沿垂直于平面冗的任意准线移动构成投影柱面,如直线的投影柱面就是

15、一个垂直于兀的平面.如求曲线 在xoy平面上的投影方程由 中消去z 得到一个母线/ z轴的柱面方程 x,y 00那么投影于XOY平面上的投影方程为(x,y) 0 z 0评 注I空间几何解题一般切入点：首先尽可能画出草图,思考所求结论必须知道几个可能的条件,这些条件在题目中一般又是隐含出现的, 我们的目标就是从隐含条件推出需要的 条件,然后套用直线或平面的方程类型.其中,重点注意直线的方向向量和平面的第164页法向向量与待求直线或平面的关系.x 3 t【例1】求直线L y 1 2t在平面：x y 3z 8=0上和三个坐标平面上的的投影方 z 5 8t程.uu解：第一步求投影柱面对直线投影而言投影

16、柱面就是投影平面方程 的n ,vvvijk12811 314,11, 1该平面显然与垂直,又uU v v那么易知n s n又*也通过L,可以利用L上的点3, 1,5 ,那么*为L在平面冗投影正好为* .与的交线,具方程为直线在三个平面上的投影方程为:8 .二次曲面方程和图形的研究8.1 准线和母线是研究曲面的核心技术.曲面方程,用 零点法可确定准线和母线,从 而确定曲面的生成方式；用截痕法可以确定曲面的具体形状；用伸缩法可以研究曲面之间的 转换,建立新曲面方程和后面的将要建立的旋转曲面方程要使用 动静点转换法.研考数学中 的曲面都是由母线沿准线空间平移或旋转及坐标伸缩变形而形成 .零点法例如：

17、分析曲面方程为22与当z的图形,令x 0a b2 y b2y2b2z为一开口向下的曲线,也就是用水平平面截该曲面时,其截痕是双曲线.综合零点法的分析,我们就能够确22定：、与 z正是双曲抛物面,即马鞍面.a b伸缩法如在曲面F x,y0上取一静点M x1,y1 ,现把M x1,y1变形为动点M x2,y2 ,然后想方法消去静点坐标即动静点转换法.又,给定两了点坐标的伸缩变换关系,如令x2x1； y2y1,那么：F x1x2,一 y21x,一 y0称为原曲面经伸缩变形后的新曲面方程.例如圆柱面变成椭圆柱面:222222x y ax1yax22 x2aby22 x2 -2" ay22 b

18、2特点：柱面方程中,柱面轴平行于隐含的坐标轴,如2x 2py的轴平行于z轴又如圆锥面变成椭圆锥面:常用曲面之一：柱面评 注|柱面是由母线沿准线空间平移形成,柱面的准线和母线必有一个是直线.其中, 直线为准线,曲线为母线.如果是圆柱面,那么准线和母线可以互换；如果为非圆柱面, 如棱柱面,那么必须取直线为准线,曲线为母线.22x2x2冬1双曲柱面x2 2py 抛物柱面a b y2 R2圆柱面与与1椭圆柱面a2 b2注意：在三维情况下圆的方程的一种形式为 形象记忆掌握法：影隐评平柱面方程的一般求法：给定准线L: f x,y 0和母线的方向 z hrlir rmj nk ,求柱面方法如下:设P x,y

19、,z为柱面上的任意点,根据柱面形成的过程,必在准线L上有相应的点uuir rQ X,Y,Z ,使得PQPs,由此可以利用直线PQ的方程将P,Q两点的坐标间关系找出来, 即：(1)X x lt Y y mt Z z nt又由于Q X,Y,Z在L上,故 f X,Y 0 Z h2 y b22用1式代入2式,由h z nt得 所求的柱面方程为0,那么柱面方程为x2 r r r r_例如：母线方向s i j k及准线L: a2z 这是一个斜的椭圆柱面.特别地：假设母线平行某一坐标轴,如平行,那么 l m 0,那么柱面方程就是：f x,y 08.3常用曲面之二：旋转曲面母线沿直线准线旋转移形成 平面曲线f

20、 x, y 0沿z轴旋转不能形成曲面； 平面曲线f x, y0沿x轴旋转fx, Jz2 y20; 平面曲线f x, y0沿y轴旋转fVx2z2, y0.形象记忆法：舅留加饭方.即旋转轴留在曲面方程中,增加没出现的一个变量,然 后相加开平方.如二维曲线z .绕z旋转后的曲面方程为z 4& y2收y2x 0特别地：当母线为直线并与准线相交时,旋转或平移那么形成圆锥面.例如：直线母线z ycot 为两直线小于90度交角的一半沿z轴准线旋转后,变为z Jy2 x2cota2 cotz2 a2 x2 y2即为锥面方程,也可以由直线母线z ycot沿某一园空间平移一周而形成锥面.锥面方程的一般求法

21、：给定准线L: f X,y 0和原点P0 0,0,0 ,求锥面方程如下： z h设P x,y,z为锥面上的任意点,根据锥面形成的过程,必在准线L上有相应的点Q X,Y,Z ,使得Q X,Y,Z在直线RP的延长线上,直线RP的方向数显然为x,y,z即:X xtY yt(1)Z zt又由于Q X,Y,Z在L上,故f X,Y 0Z h用1式代入2式,得所求的锥面方程为 可见以圆点为顶点的锥面方程是齐次方程.221 0例如：顶点在原点及准线L: a2 b2 1 0,那么锥面方程为z 2这是一个椭圆锥面.【例2】求以原点为顶点且与三坐标的截距相等的圆锥正圆锥方程.解：设锥面与三坐标的交点为 A a,0,

22、0 ,B 0,a,0 ,C 0,0, a ,得该三点确定的平面方程,这就是准线.截距式为：x y z a,该平面与正圆锥的的交线是一个圆又设M X,Y,Z为锥面上任意点,O 0,0,0为原点,x, y,z为母线OM与准线的交点,那么母线方程点法式为,x2 y2 z2Zz222x y zx yx Xt,y Yt, z Zt代入准线方程得t2 X2 Y2 Z2 a2XY XZ YZ 0即为所求的锥面方程.空间曲线旋转形成的曲面可以沿任意轴旋转s,t空间曲线的参数方程：yt ,空间曲面的参数方程:s,ts,t沿z轴旋转后形成的曲面方程为:【例3】求曲线绕z轴旋转3周所形成的曲面方程.解：先将曲线写成

23、参数式绕z轴旋转一周后9种必须掌握的曲面1)椭球锥面b22)椭球面b23)单叶双曲面b22 z-2 c4)双叶双曲面2 y b25)椭圆抛物面2 y b26)双曲的抛物面2 x2 ab2又称马鞍面准线与母线是相互正交的抛物线,母线抛物线沿准线抛物线平移形成马鞍面,这是我们需要 掌握的唯一一个准线与母线都是非直线的曲面.7)椭圆柱面2 x2 a2b2椭圆a2b2 h1母线平行z轴vb vb vb va V aav v-表示向量a与b的角平行线方向uu证实：由于单位向量：ear a十, aunebrb十b228双曲柱面.、1 母线平行z轴a b9抛物柱面x2 ay母线平行z轴五星级提示：对于一般的

24、曲面方程,最方便的方法是：首先令其中一个变量为零,如能得出 母线或准线,我们就能确定该曲面的形状.二、典型题型v【例4】证实向量cuu uu解：由于 cos22 coscos21 ,所以:故该向量的方向为cos,cos ,cos 0,0,【例6】 过点-1, 0, 4,平行于平面3x 4yz 10且与直线x 1 y 3二相交的直线2方程.解：一般切入点：如果所求的直线方向向量不能明显求出,就设直线方程的参数形式.x设所求直线方程为：yz1 ltmt nt直线与平面平行,那么r rn s 3l4m n 0由ea与eb为边构成的平行四边形为棱形,其对角线平分顶角,那么与a与b夹角平分线in平行的向

25、量d故原命题成立.【例5】一向量与x, y轴夹角相等为,与z轴夹角为2 ,试确定该向量的方向.1 Itmt 代入x1 y 3 Z消去x, y, z得x两直线相交,那么将 yz联立12得l 4n, m 19n n 28 l 16,m 19 ,所求的直线方程为 728【例7】 判断Li :2 Y 三口；和L2 :- 上三112134是否共面,假设在同一平面求交点,假设异面求距离urin解：s 1, 1, 2 ; S21, 3, 4 ;1 121 3 4 2 0为异面直线.11 1设两直线距离为d,= Y三t, y_Js,那么112134由二元函数极值的充分条件知：t -,s 1是最小值点,所以3也

26、可直接套用公式计算距离d :【例8】判断L1 ：个口三；和 234L2 :x3xy 3 0的关系.y z 4 0解：两直线的有四种关系：异面；相交；平行但不重合；重合. rrS12, 3, 4 ; s 1, 1, 03, 1, 11,1,2 故不平行,也不重合；看两直线有无交点,将L写成参数式,代入L2的两平面,看看能否得到同一个 t 故两直线不相交,所以两直线异面.【例9】求过M 2, 3, 1点,且与直线故所求直线L方程为x 9y 5z 20 0x 2y 5z 9 0【例10求满足下面条件的直线方程a 过点 A 1, 0,2 ;b 与平面 ：3x y 2z 3 0平行；c与直线Li： U匚

27、*相交.421ur解：直线Li的方向s 4, 2, 1 ,其上由一点A 1, 3, 0 ,根据条件b ,过A 1, 0,2作平行于平面 的平面1再根据条件c ,作平面2通过点A 1, 0,2和直线L1,显然所求直线方程为【例11】设有直线L:x?0 212a求与L关于原点对称的直线L1的方程；b求与L关于xoy平面对称的直线L2的方程;解:c求与L关于平面x y z 0对称的直线L3的方程;a对于任何在直线L1上的静点P x, y, z ,由于L1与L关于原点对称,从而与P x, y, z点关于原点对称的动点Q x, y,z必在L上,故L的方程为:x 1 _yz 3212b对于任何在直线L2上

28、的静点P x, y, z ,由于L2与L关于xoy平面对称,从而与P x, y, z点关于xoy平面对称的动点Q x, y, z必在L上,故L2的方程为:x 1 _yz 3c L与平面 的交点.也在所求的直线L3上,且该点坐标满足212x y z 0由上面的方程组得到：口 Y三f212从而解的交点.点坐标为7,4, 11L3的方向数可根据向量代数的根底求得:故所求直线L3的方程为:【例12】证实L1：X 丫12的长.uu解：L1的方向向量S1-,L2： 土U ,是异面直线,并求公垂线方程即公垂线 3111uu1,2,3 ,经过点P 0,0,0 ; L2的方向向量S21,1,1 ,经过点巳1,

29、1,2 ,由于uuuu uu nnRP2, G, S211 21 2 35 0,所以L1J2是异面直线1 11ur公垂线L的方向向量Sur那么,经过L1并且与S平行的平面1的方程为,一、,in 、一经过L2并且与S平行的平面2的方程为而平面1, 2的交线即是公垂线L的方程公垂线的长d为uuuu uu uu 画,S1, S2 d uruu-S1 S25J6【例13】求过点P 1,1,2及直线L: L.的平面 320解：将L写成一般式经过L的平面束方程为2x 3y 7 z 2 0,i3、一.以p1,1,2代入得3,得平面万程为又,采用这个平面束方程时没有包括 z 2 0这个平面,但z 2 0不经过

30、P 1,1,2点,故不是所求【例14】求经过直线L: X 5y Z 0,并且与平面x 4y 8z 12 0交成二面角为的平 x z 4 04面方程.解：平面束方程为又有得平面方程为由于平面束方程没有包括X z 4 0,故需要验证如下所以,所求的平面方程为x 20y 7z 12 0或 x z 4 0【例15】设直线L: x y b 0 在平面 上,而平面 与曲面z x2 y2相切于点x ay z 3 0P 1,2, 5 ,求 a, b 之值.解：平面束方程为p2222乂 zx y F x, y,z z x y 0r切平面法向向量为 n Fx,Fy,Fz2x, 2y, 12,4,1r那么平面束方程

31、中只有过的P 1. 2,5 ,且其法线平行n的平面才能满足要求,即【例16】MW 2垂直通过平面 ：Ax By Cz D 0, Mi为,必工 坐标,M2%小国 一1离平面的距离为线段M1M2的-,求乂2 x2,y2,z2的坐标.3解：由定比分点公式得M访与平面的交点坐标为该点满足平面方程,那么A x 2x2 B y1 2y2 C 4 2z23D 0(1)x2为y2V1z2 4 tABCx2x1AtV2V1Btz2z1Ct(2)(2)代入(1)可解得t所以M2 x2,y2,z2的坐标为【例17】求直线l:口 y 巳在平面：x y 2z 1 0上的投影直线I.绕y轴旋转一周 111所形成的曲面方程

32、.解：再次提示：如果所求的平面通过一直线,那么使用平面束方程简便.经过l的平面束方程为所求1.为3y 2z 1 0 y 2z 1 0将1.写成参数式x 3y 2z 1 0x y 2z 1 0x 2t绕y轴旋转一周后形成的曲面方程陈氏第7技动静转换法求旋转曲面方程.【例18】求曲线L z f y绕z轴旋转形成的曲面S的方程.x 0解：建立旋转面、锥面与柱面的方程的一般方法是等效变换静点和动点的所满足的几何关系设曲线L z f y存在一静点P 0,y0,z0 ,对任意在旋转面上的动点Q x, y, z ,其坐标 x 0关系为2022口-2代入L的方程,得曲面S的方程为xyy0y0. x y【例19

33、】求直线L" 心 口 巳绕直线L" x 2旋转一周的曲面方程.231y 3解：设直线L1上的一静点P x0, y0, z0 ,对应的旋转曲面上任意动点 Q x, y, z.O 2, 3, z0为旋转中央,显然z z0,那么x0 3 2t y0 1 3t z01 t又P x0, y0, z0在L1上,故有:x0 2z 5y0 3z 4代入 x 2 2 y 3 2 x0 2 2y0 3 2得所求的曲面方程为:4 z一 fx v o r r r r_【例2o】求准线 ,y o ,母线方向为s ai bj ck的柱面方程. z h解：设P x, y, z 动点为所求柱面上的一点,按

34、该题的含义,形成柱面的是准线沿母线平移生成,故必在准线上有一点Q X0, y0, zo静点满足 rPQ|s,即xo, yo, Zo满足f x°,yozohZoctxoyoh z ach z b c所以所求的旋转曲面方程为: 评 注 动静转换法思想是求旋转曲面的方程重要技巧.?重点注意一：直线的一般式、点向式与参数式相互转化技巧:Ax般式L:AxBy GzB2 y C2zDiD2ivniuv出Ai,Bi,CiA2,B2,C2点向式标准式y. mzo vS l ,m,n nx参数式L: yzXoyozoItmtM (xo, yo, zo)为直线上点,nt方向数:l, m,n点向式与参数式相互转化很明显, 在点向式中任取两个方程即可转化为一般式,而一般式化为点向式却没那么容易,一般的思考方法如下:ur ir第一步：求直线的方向数S叫uun2l, m,n ;第二步：视一个变量为常数,如视z为常数,解出z,任取一个z值,便得到 z一个确定点的坐标 xo, yo, 4 ;第三步：根据点向式确定直线方程.【例21】使用点向式又称对称式方程及参数方程表示直线x y z i 2x y 3z解：先找出这直线上的一点Xo, yo, z,例如,可以取Xo1 ,代入方程组,r卜面再找出这直线的方向向量s ,由于两平面的交线与这两平面的法线向量irni 1, 1, 1 ,