函数的基本性质培优训练题教师版

1、函数的基本性质培优训练题1 .( 2016?义乌市模拟)已知a为实数，函数f (x) =x2-|x 2 - ax - 2|在区间(-8, 1)和(2, +8)上单调递增，则a的取值范围为()A. 1 , 8B . 3, 8C . 1 , 3D . 1 , 822【解答】解：令函数g (x) =x -ax-2,由于g (x)的判力1式4=+8>0,故函数g (x) te有两个互点，设为x1和x2,且x 1 < x2 .函数 f (x) =x2 - |x 2 - ax - 2|=,故当 x C ( 8, x1)、(x2 , +°°)时，函数f (x)的图象是位于同一

2、条直线上的两条射线，当xC (x1，x2 )时，函数f (x)的图象是抛物线 y=2x2-ax-2下凹的一部分，且各段连在一起.1 , 8,故选：A.即 a+2 >,平方得 a2+4a+4 >a 2+8，得 a>由于f (x)在区间(-8, 1)和(2, +8)上单调递增，0a昆函数g (x)较小的零点x1 = > - 1 , 1，同时由y=2x 2 - ax - 2的对称轴为x=,若且-1 ww 2可得-4< a< 8.R的函数f (x)在(2, +8)上单调递减，且 y=f (x+2 )为偶函数，则关于x的不等式f (2x - 1 ) - f (x+1

3、) >0的解集为(A.(一巴-)u ( 2 , +8)B. (一, 2) C. (-8,)u (2, +8)D. (, 2)【解答】解：二.定义域为 R的函数f (x)在(2, +8)上单调递减，且y=f (x+2 )为偶函数，1. y=f x+2 )关于 x=0 对称，即函数 f (x+2 )在(0, +8)上为减函数，由 f (2x - 1 ) - f (x+1 ) > 0 得 f (2x - 1) > f (x+1 ),即 f (2x 3+2 ) > f (x 1+2 ),即 |2x - 3| < |x - 1| ,平方整理得 3x2- 10x+8 <

4、0 ,即vx<2,即不等式的解集为(，2),故选：D3. ( 2016?四川模拟)设 f (x)满足：任意 x C R,有 f (x) +f (2 - x) =0 ;当 x>l 时，f (x) =|x - a| - 1 , (a> 0),若x C R,恒有f (x) > f (x-m),则m的取值范围是()A. (0, +00) B.(4, +oo)c.(3, +oo)D. (5, +8)【解答】解：任意xCR,有f (x) +f (2-x) =0, f 2-x) = -f (x),则函数关于(1,0)点对称，当 x=1 时，f (1 ) +f (2 1) =0,即 2

5、f (1) =0,贝U f (1 ) =0 , ,当 x>l 时，f (x) =|x -a| - 1 , f 1) =|1a| 1=0 ,贝U |a 1|=1 ，贝U a 1=1 或 a 1= 1,贝U a=2 或 a=0 , < a >0 ,a=2 ,即当 x >1 时，f (x) =|x - 2| - 1当 xwi 时，x>H , 2 - x> 1 ,即f (x) = - f (2-x) = - ( |2 - x- 2| - 1 ) =1 - |x| , x< 1 ,作出函数f (x)的图象如图：若f(x)>f(x-m),则由图象知，将函数

6、f (x)向右平移 m个单位即可，由图象知，m>4,故选：B4. ( 2016?广安模拟)已知f (x) =3 2x- ( k+1 ) 3x+2，当x C R时，f (x)恒为正值，则 k的取值范围是()A. (-8, 1)B. (-8, 2-1) C. (T, 2-D D. (- 2 - 1 , 2T)【解答】解：令3x=t (t>0),则g (t) =t2- ( k+1 ) t+2 ,若xC R时，f (x)恒为正值，则 g (t) =t2 (k+1 ) t+2 >0 对 t>0 恒成立.或 解得：-1 v k v - 1+ ;解得：k w 1.综上，实数k的取值范

7、围是(-8,2-1).故选：B.5. (2016?通州区一模)若定义域均为 D的三个函数f (x), g (x), h (x)满足条件：？ xC D,点(x, g (x)与 点(x, h (x)都关于点(x, f (x)对称，则称h (x)是g (x)关于f (x)的“对称函数”.已知 g (x) = , f(x) =3x+b , h (x)是g (x)关于f (x)的“对称函数"， 且h (x) >g (x)恒成立，则实数b的取值范围是()A. ( 8, - B. -, C. -3, D . , +8)【解答】解：作出g (x)和f (x)的图象，若h (x) > g

8、x)恒成立，则h (x)在直线f (x)的上方， 即g (x)在直线f (x)的下方，则直线 f (x)的截距b>0,且原点到直线y=3x+b的距离d > 1 , 即d= > 1 ,即|b| >,则b>或bw-(舍)，即实数b的取值范围是,+°°), 故选：D6. (2016春？普宁市校级月考)定义在 R上的函数f (x)满足f (x) =f (x- 2),当xC (1 , 3)时，f (x) =1+ (x2) 2,则()A. f (sin ) > f (sin ) B . f (sin ) < f (cos )C. f (cos

9、) > f (cos ) D . f (tan ) v f (tan )【解答】解：由f (x) =f (x-2)得函数的周期是 2, xC (1 , 3)时，f (x) =1+ (x-2) 2,则函数关于x=2对称，当xC (1, 2)时，函数单调递减，则 xC (2, 3)时，函数单调递增，即当xC (0, 1)时，函数单调递增，由 f (x) =f (x+2 ) =f (2-x) =f (- x),即函数f (x)同时也是偶函数，A. f (sin ) >f (sin )等价为f () >f (),二.当xC (0, 1)时，函数单调递增，不等式f () > f

10、(),成立，故A 正确，B . f (sin ) < f (cos)等价为 f () v f () =f (),当xC (0, 1)时，函数单调递增，不等式f () v f (),不成立，故B错误，C. f (cos) >f (cos)等价为f () > f (), 当xC (0, 1)时，函数单调递增，不等式f () > f (),不成立，故C错误，D. f (tan ) v f (tan )等价为f () v f ( - ) =f (),则不等式不成立，故 D错误，故选：A .7. (2015?南昌校级二模)设xC R,若函数f (x)为单调递增函数，且对任意实数x

11、,都有ff (x) - ex=e+1 (e是自然对数的底数)，则f (ln2 )的值等于()A. 1B . e+lC . 3D . e+3x 【解答】解：设t=f (x) - e则 f (x) =ex+t ，则条件等价为 f (t) =e+1 ，令 x=t ，则 f (t) =et+t=e+1 ， :函数f (x)为单调递增函数，函数为一对一函数，解得 t=1，.二f X) =ex+1 ,即f (ln2 ) =eln2+1=2+1=3 ,故选： C 8. (2016 春？温州期中)已知函数 f (x)在 R 上满足 f ( - x) +f (x) =0 ,且 x>0 时，f (x) =

12、( |x+sin a |+|x+2sin a | ) +sin & (-WaW)对任意的xCR,都有f (x- 3) < f x)恒成立，则实数 a的取值范围为()A. 0,兀B . - , C. - , D .-,【解答】 解：设 t=sin a ,则C 1 , 1；当 x>0 时，f (x) = (|x+t|+|x+2t|) +t ,若 tR0,则当 x>0 时，f (x) =x+3t ,当 x<0 时，f(x) = f(x) = - ( x+3t ) =x - 3t ,由f(x-3) < f x)恒成立，可得 y=f (x)的图象恒在y=f (x-3

13、)的图象上方，则 sin a > 0;当< 0 时，当 x >0 时，f (x)=,由 f (x) =x+3t , x > - 2t ,得 f (x) > t;当 Tvxv 2t 时，f(x) =t;由 f(x) = - x, 0 < x < -t,得 f(x) > t. 当 x>0 时，f (x) min =t . 函数 f (x)为奇函数，当 x<0 时，f (x) max= - t . 对 x R,都有 f (x 3) <f(x),- 3t - 3t w 3 ,解得t R -,综上可得 sin a > _ ,解得一+

14、2k 兀 w a w 2k k &Z.又 aC-, ,，aC一,.故选：D.9.( 2015?衡水校级模拟)已知函数 f (x)和g (x)是两个定义在区间 M上的函数，若对任意的 x C M ,存在常数Xo M ,使得 f (x) > f Xo) , g (x) > g Xo),且 f (x) =g (x°,则称 f (x)与 g (x)在区间 M 上是“相似函数”，若f (x) =2x 2+ax+b与g (x) =x+在1 ,上是“相似函数”，则函数 f (x)在区间1 ,上的最大值为()A 4B C 6D 【解答】 解：利用导数可知g (x) =x+ 在 1

15、， 上的最小值为 4 ，最大值为 5 ，对任意的 x M ,存在常数xo M ,使得 g(x) >g Xo),则 g (xo) =g (x)min=4 ,此时 xo=2 .根据题意知 f (x) min =f (2) =4 ,二次函数f (x)=2x 2+ax+b 的顶点坐标为(2,4), a= -8,b=12f X) =2 (x-2) 2+4,f x)在1,上的最大值为 f (x) max =f (1) =6 故选 C.10 . ( 2015?莆田校级模拟)设函数f (x)的定义域为A,若存在非零实数l使得对于任意xC I (I? A),有x+l e A, 且f (x+l) >

16、f x),则称f (x)为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f (x)是奇函数，当 x >0时，f (x)=|x -a2| - a2,且函数f (x)为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为()A. 0vav1B. - < a< C. - 1 < a< 1D. - 2< a<2【解答】 解：定义域为 R 的函数 f ( x )是奇函数，当 xRO 时，f (x) =|x - a2| - a2=图象如图， f X)为R上的1高调函数，当x<0时，函数的最大值为 a2,要满足f (x+l ) > f X),1大于等于区间长度 3a2- (

17、-a2), 1- 1 n 3a ( a2),- w aw故选 B11 . (2014?湖北)已知f (x)是定义在 R上的奇函数，当 x>0时，f (x) =x2-3x,则函数g (x) =f (x) - x+3的零点的集合为()A. 1 , 3B . -3 , - 1 , 1 , 3C . 2 - , 1 , 3D . - 2- , 1 , 3【解答】解：: f x0是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x) =x2- 3x ,令 x<0,贝U x>0, f (i) =x2+3x= f (x) f x) = x2 3x , . g (x) =f (x) x+3 g

18、x)=令 g (x) =0 ,当 x>0 时，x2 - 4x+3=0 ,解得 x=1 ,或 x=3 ,当 x<0 时，x2 4x+3=0 ,解得 x= - 2 -, 函数g (x) =f (x) - x+3的零点的集合为-2-, 1, 3故选：D.12 . ( 2014?安徽模拟)已知f (x)是偶函数，且f (x)在0, +8)上是增函数，如果 f (ax+1 ) w f x-2)在上恒成立，则实数 a的取值范围是()A. -2, 1B . -5, 0C. -5, 1D . -2, 0【解答】解：由题意可得|ax+1 | & |x -2|对恒成立，得x - 2< a

19、x+1 & 2卷对恒成立，从而且对恒成立，a 2且aw 0,即aC-2, 0,故选D.13. (2014?濮阳二模)已知函数f(x+1 )是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2,不等式(x1-x2)f(x1)- f(x2)<0恒成立，则不等式f(1- x) <0的解集为()A. (1, +8)B. (0, +oo)C. (-OO, 0) D . (-8, 1)【解答】解：由不等式(Xi -x2)f (Xi) - f (x2)V0恒成立得，函数f (x)是定义在R上的减函数 .又因为函数f (x+1 )是定义在 R上的奇函数，所以有函数 f (x+1 )过点

20、(0, 0);故函数f (x)过点(1 , 0).相结合得：x>1时，f (x) V 0.故不等式f (1 - x) V 0转化为1 - x>1? x <0.故选C.14 . ( 2014?渭南二模)已知函数 g (x)是R上的奇函数，且当XV0时g (x) =- ln (1 - x),函数若f (2 - x2) >f (x),则实数x的取值范围是()A. ( - 2, 1) B.C. (- 1 , 2) D .【解答】解：,奇函数g (x)满足当XV0时，g (x) =-ln (1-x),当 x>0 时，g ( x) = - ln (1+x ) = - g (x

21、),得当 x>0 时，g (x) = - g (- x) =ln (1+x ):. f X)的表达式为，3 一 一+ °°)上的增函数,y=x 是(-8, 0)上的增函数，y=ln (1+x)是(0 f x)在其定义域上是增函数，由此可得：f (2 - x2)>f (x)等价于2-x2>x,解之得-2vxv1故选Ay4A尸1口(1-15. (2014?张掖模拟)已知函数y=f (x)的周期为2,当 xC0, 2时，f(x) = (x1) 2,如果 g (x) =f (x)log5|x - 1| ,则函数y=g (x)的所有零点的个数是(【解答】解：由题意可

22、得g (x) =f (x) - log 5|x - 1|,根据周期性画出函数f (x) = (x-1) 2的图象以及 y=log 5|x - 1| 的图象，根据 y=log 5|x - 1| 在(1+ OO)上单调递增函数，当 x=6时，log 5|x - 1| = 1当 x>6 时，y=log 5|x - 1| >1,此时与函数 y=f (x)f (x)的图象都关无交点.再根据 y=log 5|x - 1|的图象和8 ,故选D .0< x<l时，则使的 x 的值是()A. 2n (n C Z) B . 2n 1 (n C Z) C. 4n+1 ( n C Z) D ,

23、 4n - 1 (n C Z)【解答】解：: f x0是奇函数且f (x+2 ) = -f (x),f x+4 ) = - f (x+2 ) =f (x)，函数 f (x)的周期 T=4 . =当 0W xw 1 时，f (x) =x，又 f (x)是奇函数, 当-1 w xw时，f (x) =x ,令x=-解得：x= - 1而函数f (x)是以4为周期的周期函数，方程f (x)=-的x的值是：x=4k - 117 . (2013?屯溪区校级模拟)已知函数f (x) =lg (ax- bx) +x 中，常数 a、b 满足 a> 1 >b >0,且 a=b+1 ,那么f (x)

24、 >1的解集为()A. (0,1 ) B . (1 , +8)C. (1 , 10 ) D. (10 , +8)【解答】解：由ax-bx>0即>1解得x>0,所以函数f (x)的定义域为(0, +°°),因为a>1>b>0,所以ax递增，-bx递增，所以t=ax-bx递增，又y=lgt递增，所以f (x) =lg (ax-bx) +x为增函数，而 f (1) =lg (a b) +1=lg1+1=1 ,所以 x >1 时 f (x) >1,故 f(x) >1的解集为(1 , +8).故选B .18 . ( 2013

25、?北京校级一模)定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (x) =f (x+2 ),当 xC 1 , 3时，f (x) =2 - |x - 2| , 则()A. B. f (sinl ) > f (cosl ) C. f (tan3 ) v f (tan6 ) D. f (sin2 ) v f (cos2 )【解答】 解：设 x e 1 , 1,贝U x+2 c 1 , 3 f x) =f (x+2 ) =2 - |x+2 - 2|=2 - |x|即 f (x) =. =f () -f () =2 - - 2+=0,排除 A - 1 >sin1 >cos1 >0, f

26、 (x)在0, 1上单调减，fs附)< f (cos1 ),排除 B .' - 1 vtan6 vtan3 <0,f (x)在-1, 0上单调增，ftan3 ) >f (tan6 ),排除 C 故选 D19 . ( 2013?泰安一模)设奇函数f (x)在-1 , 1上是增函数，f (T ) =- 1 .若函数f (x) <t2 -2at+1对所有白xC - 1 , 1都成立，则当aC- 1 , 1时，t的取值范围是()A. - 2W t w 2B.C. t < -2 或 t=0 或 t > 2D.【解答】解：二.奇函数f (x)在-1 , 1上是增

27、函数，f (- 1) =- 1 x=1时，函数有最大值f(1)=1若函数 f (x) < t2 - 2at+1 对所有的 xC-1, 1都成立，1L2at+1 2at f2< 0,设 g (a) =2at - t2 (- 1 < a< 1,)欲使 2at - t2wo 恒成立，则，t w -2 或 t=0 或 t >2 故选 C .20 . ( 2013?梅州一模)若不等式 x2+2xy & a (x2+y2)对于一切正数x, y恒成立，则实数 a的最小值为()A. 2B. C. D.【解答】 解：: x f，y >0 ,，x 2+2xy <

28、a (x2+y2) ? 2xy < ( a 1) x2+ay 2? (a 1) 2x +a > 0,令t= (t>0), f (t) = (aT) t2 - 2t+a ,依题意，即，解得 a > .，实数a的最小值为.故选 D .21 .(2012?南溪县校级一模)已知函数是(-巴+8)上的增函数，那么实数a的取值范围是()A. 1 w aw 2B.awi或 a > 2C. 1vav2D. a<1 或 a>2【解答】解：根据题意，当x>0时，f (x) =x2,易得f (x)为增函数，当x<0时，f (x) =x3+a2-3a+2 ,也为增 函数，若f (x)在(-8,+oo)上的增函数，必有02>0 3+a2 -3a+2 ,即0>a 2- 3a+2 ,解可得1 w aw 2,故选A .22 .( 2012?沙坪坝区校级模拟) 已知定义在 R上的函数f(x)满足f (x) +f (2-x) =2f (1),当x>l时，且xC-2, 2时，n< f x) <m 恒成立，则 m - n的最小值是()A. B . C. 1D . 2【解答】 解：二.当 x>l 时，f 1) =1+4=5 , f x