函数定义域、值域求法总结精彩

1、函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。求函数的定义域需要从这几个方面入手：(1)分母不为零(2)偶次根式的被开方数非负。(3)对数中的真数部分大于00(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1(5) y=tanx 中 xwk：i+"2 ； y=cotx 中 x wk 九 等等。(6 ) x0 中 x 0常用的求值域的方法：(1)直接法 (2)图象法(数形结合)函数单调性法反函数法(逆求法)复合函数法、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终(4)配方法(5)换元法 (包括三角换元)(6)(7)分离常数法 (8)判别式

2、法(9)(10)不等式法(11 )平方法等等三、典例解析1、定义域问题例1求下列函数的定义域：1 1 f(x): f(x) v3x 2； f(x) Jx 1 x 22 x1解：x-2=0 ,即x=2时，分式无意义，x 21而x 2时，分式有意义，：这个函数的定义域是x |x 2 .x 22 : 3x+2<0 ,即x<时，根式V3x 2无意义，3八八八2而3x 2 0 ,即x 时，根式V3x 2才有意义，32:这个函数的定义域是x| x .31;当x 1 0且2 x 0,即x 1且x 2时，根式Jx 1和分式 同时有意义,2 x:这个函数的定义域是x| x 1且x 2另解：要使函数有

3、意义，必须:x 1 02x0例2求下列函数的定义域： f(x) ,4 x2 1 f (x),x2 3x 43 f (x) f(x) U<x x解：要使函数有意义，必须:n-1y Jx :函数的定义域为：x|x 要使函数有意义，必须：:定义域为：x|x3'3x 7第一页4 x2 1 即： 6 x M:函数f(x) V<4 x2 1的定义域为:3, 3x 0x11x2要使函数有意义，必须:x 2 3 03x 7 0x R7 x3即x< 或 x> 一:定义域为：x | x 7 3x2 3x 4 0x 4或 x1要使函数有意义，必须：口|x 1 2 0x 3且 x 1x

4、3或 3 x1 或x 4:定义域为： x| x3或3 x1或x 4x 0要使函数有意义，必须：21例3 若函数y Jaxax 一的定义域是r ,求实数a的取值范围a21解：:定义域是r, ax ax 一 0 tl成乂,a一等价于a 02 , 1a 4a一、.，1、.，1、例4若函数y f(x)的定义域为i,i,求函数y f (x-)f (x4)的定义域，解：要使函数有意义，必须：11 x 1411 x 14534x 43 x 33544-x -441、 133:函数 y f(x)f(x一)的te义域为：x |x4444例5已知f(x)的定义域为 1,1,求f(2x 1)的定义域。例6已知已知f

5、(x)的定义域为1 , 1,求f(x2)的定义域。第二页例5分析：法则f要求自变量在1, 1内取值，则法则作用在 2x1上必也要求2x 1在1, 1内取值， 即一1 W2x 1 w 1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x1)中2x1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，一 1 w 2x 1 w 1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。(注意：f(x)中的x与f(2x 1)中的x不是同一个x ,即它们意义不同。)解： f(x)的定义域为1 , 1,- 1<2x -1 < 1 ,解之 0 wxw 1 ,f(2x 1)的定义域为0 , 1。例6已知已知f(

6、x)的定义域为1 , 1,求f(x2)的定义域。答案：1Wx2W1 x2w 1- 1 <x< 1练习：设f (x)的定义域是3,求函数f (Vx2)的定义域.解：要使函数有意义，必须:3 Tx 2 72 得： 1 Vx 2 加Jx >0. 0%/x2720 x 6 4、2函数f(Jx 2)的定域义为:x| 0 x 6 4 2A.1.1例7已知f(2x 1)的定义域为0 , 1,求f(x)的定义域因为2x 1是R上的单调递增函数，因此由2x 1, xC0,1求得的值域1, 1是f(x)的定 义域。5练习：已知f(3x1)的定义域为1, 2),求f(2x+1)的定义域。 5,2)

7、2(提示：定义域是自变量x的取值范围)练习：【练1】已知f(x2)的定义域为1,1,求f(x)的定义域f x的定义域是0,2 ,则函数f x 1 f 2x 1的定义域是()C.1,12D. 0,12【练3】已知函数f x当a>0时，值域为y 1y例1求下列函数的值域(4ac b2)4a;当a<0时，值域为y 1y(4ac b2)4a第三页小一，、2 y=3x+2(-1 x 1) f(x)(1x3)3x1y x (记住图像) x解：-1 x 1 , -3 3x 3,-13x+25,即-1 y 5,二值域是-1 , 5略2 2,当x<0时，y(x -) = - (vr-x -F)

8、2 2xx2.:值域是(，22, +).(此法也称为配方法)1函数y x 的图像为： x二次函数在区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：-2一 一；y x 4x 1, x 3,4_23y x 4x 1,x 0,1; y4x 1,x 0,5;抛物线的开口向上，函数的定义域R,x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是y|y -3 .顶点横坐标23,4,34G 27fxx+12/y=xx-1O1-21-3-2-，y321的定义域为A,函数 y f f x 的定义域为B,则1 xA. AUB B B. B A C. AI B BD. A B2、求值域问题利用常见函数的值

9、域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;k反比例函数y (k 0)的te义域为x|x 0,值域为y|y 0； x二次函数f(x) ax2 bx c(a 0)的定义域为R,1 2 一31 4 5 6,-2 -1 O-1-2-3当 x=3 时，y= -2 ; x=4 时，y=1 ;在3,4上，ymin =-2 , ymax=1 ；值域为-2 ,1.;顶点横坐标 20,1,当x=0时，y=1 ; x=1时，y=-2,;在0，1上,ymin=-2 , ymax = 1 ；值域为-2 , 1.;顶点横坐标 20,5,当 x=0 时，y=1 ; x=2 时，y=-3, x=5

10、时，y=6,;在0,1上，ymin =3 , ymax=6 ；值域为-3, 6.第四页注：对于二次函数 f(x)2ax bx c(a 0),若定义域为R时，当a>0时，则当x当a<0时，则当x时,其最小值 ymin 2a一2时，其最大值2aymax(4ac b2);4a(4ac b2)4ax0是否属于区间a,b.若定义域为x a,b,则应首先判定其顶点横坐标若x0a,b,则f(x0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0 )时，再比较f (a), f (b)的大小决定函数的最大(小)值 .若x0a,b,则a,b是在f(x)的单调区间内，只需比较 f (a), f (

11、b)的大小即可决定函数的最大(小)值注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论练习：【练1】求函数y=3+，(2 3x)的值域解：由算术平方根的性质，知， (23x)0,故 3+V(2-3x) >3o:函数的值域为3,.【练2】求函数yx22x 5 , x 0,5 的值域解： 对称轴x 10,5x 1时，ymin4x 叫，Ymax 20值域为4,20法一：(单调性法) 设f(x)=4x,g(x)= -V 1-3x ,(x < 1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)= 4x

12、-V 1-3x 在定义域为x< 1/3 上也为增函数，而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3, 因此， 所求的函数值域为 y|y < 4/3 。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端 点的函数值，进而可确定函数的值域。法二：换元法(下题讲)例4 求函数y x2 J1x的值域解：(换元法)设J1 x t ,则yt2 2t 1 (t 0)对称轴t 10,，且开口向下当 t 1 时"max 2值域为 ,2练习：求函数y=3+ V4-x的值域。(答案：y|y > 3 )第五页点评：将无理函数或二次型

13、的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现 换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=Vx-1 - x的值域。(答案：y|y03/4例5(选)求函数y x 35 x的值域解：(平方法)函数定义域为：x 3,5y2 (x 3) (5 x) 2. x28x 15由 x 3,5 ,得x2 8x 150,1y22,4原函数值域为. 2 ,2例6 (选不要求)求函数 y x V1 x2的值域解：(三角换元法)设 x cos 0,y cos sin cos sin v'2sin( 原函数的值域为1,、,21, 2小结：(1)若题目中含有

14、a 1,则可设a sin , 一 2一，2(2)若题目中含有a(或设 acos ,0),2b 1 则可设 a cos ,b sin(3)若题目中含有,'1x2,则可设xcos,其中0(4)若题目中含有v1x2,则可设xtan,其中一一22(5)若题目中含有x y r (x 0, y 0, r 0),则可设x JI cos20 , 2其中例7 求y x 3 x 1 的值域4, x 1解法一：（图象法）可化为y 2 2x , 1 x 3 如图,4, x 3观察得值域y 4 y 4解法二：（零点法）画数轴 利用|a b|表示实数a,b在数轴上的距离 可得。-1 x 0第六页解法三：（选）（不

15、等式法）x 3 x 1(x 3) (x 1)4x 3 x 1(x 1) 4 x 1 x 1同样可得值域4练习：y x x 1的值域呢?（1,）（三种方法均可）求函数y 9x 3x 2 (x0,1 ）的值域x解：（换兀法）设3t ,则1 t 3原函数可化为1y t由指数函数的单调性知，原函数的值域为x例10 求函数y 2 （x 0）的值域解：（图象法）如图，值域为0,1x 1 例11 求函数y 的值域x 2 t 2,对称轴 t -1,3t 1 时，ymin2 ； t 3 时，ymax8值域为2,8例9求函数yx212x的值域解：（换元法）令tx2 2x(xt(t1)1t0 10 1_2x 1练习

16、：y= ,，(y e(-1 , 1) 2x 1x2 1例13 函数y2的值域x 1的值域例12求函数y3x3x 11 y 10 x y 10一观察得原函数值域为y y 11 y解法二：（分离常数法）由y,ax b /小结：已知分式函数y （c 0）,如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为cx day 一；如c解法一：（逆求法）3x-y-01 y0,1小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法1 +t解法三：（判别式法）原函数可化为(y 1)x2解法一：（逆求法） 解出x ,xx 2 3 x 23,.1 ,可得值域yy 1 x 2法来求值域。,ad bc- (a

17、d bc),用复合函数cx d第七页0 y 1原函数的值域为一x解法二：（换兀法）设31t111 ttt 10原函数的值域为0111原函数的值域为1,12解法二：（换元法）设x21t ,则t 10 2 2t原函数值域即得1 y 1t果是条件定义域（对自变量有附加条件）,采用部分分式法将原函数化为yac则y11t解法一：（逆求法）2 x2”3x 1 1x313x11t0y 121） y 1时不成立2)y 1 时， 00 4(y i)(y1) 01综合1）、2）值域y|1解法四：（三角换元法）设 x tan1 tan21 tan2cos 2cos 21,1原函数的值域为 y | 1153例14 求

18、函数y 的值域2x2 4x 3第八页2解法一：（判别式法）化为2 yx4yx (3y5)1) y0时，不成立2)y0时,(4y)8y(3y 5) 05综合1）、2）值域y|052,解法二：（复合函数法）令2x 4xt,t 2(x1)2所以，值域 y | 051例15 函数y x x1的值域解法一：（判别式法）原式可化为x2 (1 y)x 1 020(1 y)2 4 0原函数值域为1解法二：（不等式法）1）当x 0时，x 2 y 3 x2) X 0时,11c,x ( x)2 y 1x( x)综合1） 2）知，原函数值域为，13,例16 （选）求函数yx2 2x 2 , (xx 11）的值域解法一

19、：（判别式法）原式可化为 x2(2 y)x 2 y 0一 2 一(2 y) 4(2y 2舍去y) 0原函数值域为2 ,解法二：（不等式法）原函数可化为2(x 1)1 dy x 1x 12 ( x 1)当且仅当x0时取等号,故值域为 2 ,例17 （选）求函数yx2 2x 2x2x- ( 2 x 2)的值域x 1第九页解：（换元法）令x 1,1 , ,t ,则原函数可化为y t - ( 1 t 3)小结：已知分式函数yax2 bx c . 2. 22 （a2 d2 0），如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域,dx2 ex f用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选）y的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用 a基本不等式的条件，转化为利用函数y x - （x 0）的单调性去解。x练习：_21【练 1 】y x2 9(x 0)；x-211、2解：.x 0, y x 9 (x )11, y 11.xx21另外，此题利用基本不等式解更简捷：y x2 9 2 9x11 （或利用对勾函数图像法）【练2】y 丁，2x 4x 30<y5.【练3】求函数的值域 yxJ2x； y 2 <4x x22解：