动点问题题型方法归纳

1、动点问题题型方法归纳动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形， 所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位 置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点31、（ 2009年齐齐哈尔市）直线y x 6与坐标轴分别交于 A、B两点，动点P、Q同时4从O点出发，同时到达 A点，运动停止点 Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O t

2、B t A运动.（1 ）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒， OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式；48（3） 当S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O、P、Q为顶点的平行四边形的第5四个顶点M的坐标.提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；第（3 ）问是分类讨论：已知三定点0、P、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-OP为边、OQ为边，OP为边、OQ为对角线，OP为对角线、0Q为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、( 2009年衡阳市)如图，AB是O O的直径，弦 BC=2cm，/ ABC=60 0.(1 )求0 O

3、的直径；(2 )若D是AB延长线上一点，连结 CD，当BD长为多少时，CD与O O相切；(3)若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点 F以1cm/s的速度2),连结EF,当t为何值时， BEF从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(S)(0 t为直角三角形.注意：第(3)问按直角位置分类讨论AB图(2)A图(3)3、(2009重庆綦江)如图，已知抛物线 y a(x 1)2 33(a 0)经过点A( 2, 0)，抛 物线的顶点为 D，过O作射线OM / AD 过顶点D平行于x轴的直线交射线 OM于点C , B在x轴正半轴上，连结 BC(1 )求该抛物线的解析式；(2)

4、若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线 OM运动，设点P运动的 时间为t(s) 问当t为何值时，四边形 DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3) 若OC OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1个长度单 位和2个长度单位的速度沿 OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止 运动.设它们的运动的时间为 t (s),连接PQ ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？ 并求出最小值及此时 PQ的长.注意：发现并充分运用特殊角/ DAB=60 °v卓 / MC当OPQ 面v Dr-V积最大时，四边形 BCPQ的面积最小。二、特殊四边

5、形边上动点4、( 2009年吉林省)如图所示，菱形 ABCD的边长为6厘米， B 60° 从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿 A C B的方向运动，点 Q 以2厘米/秒的速度沿 ABC D的方向运动，当点 Q运动到D点时，P、Q两点 同时停止运动，设 P、Q运动的时间为x秒时， APQ与厶ABC重叠部分 的面积为y平 方厘米(这里规定：点和线段是面积为 O的三角形)，解答下列问题：(1 )点P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；(2) 点P、Q从开始运动到停止的过程中， 当 APQ是等边三角形时x的值是秒；(3) 求y与x之间的函数关系式.提示：第（3）问按

6、点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类; 提醒-高相等的两个三角形面积比等于底边的比。5、（ 2009年哈尔滨）如图1,在平面直角坐标系中，点 O是坐标原点，四边形 ABCO是菱 形，点A的坐标为（3，4），点C在x轴的正半轴上，直线 AC交y轴于点M，AB边交y 轴于点H.（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线 ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设 PMB的面积为S （ S 0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的 函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3） 在（2）的条件下，当t为何值时，/ MPB与/ BCO互为余角，并求此时直线

7、OP与 直线AC所夹锐角的正切值.图（1） 注意：第（2）问按点P到拐点（召所用时间分段分类；第（3 ）问发现/ MBC=90。，启CO与/ABM互余，画出点 P运动过程中,ZMPB= /ABM的两种情况，求出 t值。利用OB丄AC,再求OP与AC夹角正切值.6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点 A( .3 , 0) , B(3 . 3 , 2) , C( 0, 2).动 点D以每秒1个单位的速度从点 0出发沿OC向终点C运动，同时动点 E以每秒2个单位的 速度从点 A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,连结DA DF.设运 动时间为t秒.求/ ABC的度数

8、；当t为何值时，AB/ DF;设四边形AEFD的面积为S. 求S关于t的函数关系式； 若一抛物线y=x2+mx经过动点E,当S<2. 3时，求m的取值范围(写出答案即可).7、( 07黄冈)已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO是菱形，且/ AOC=60。，点B的坐标是(0,83),点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点 Q从点O开始以每秒a (K a< 3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0 t 8)秒后，直线PQ交OB于点D.(1) 求/ AOB的度数及线段 OA的长；(2) 求经过A, B, C三点的抛物线的解析式；(3)

9、当a 3,OD -43时，求t的值及此时直线PQ的解析式；3(4 )当a为何值时，以 O, P, Q , D为顶点的三角形与OAB相似？当a为何值时，以O , P, Q , D为顶点的三角形与OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明8、(08黄冈)已知：如图，在直角梯形 COAB中，0C / AB，以0为原点建立平面直角 坐标系，A B，C三点的坐标分别为 A(8,0) B(810)，C(0,4)，点D为线段BC的中点， 动点P从点0出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t 秒.(1) 求直线BC的解析式；(2) 若动点P在线段0A上移动，当t为何值时，四边形OPD

10、C的面积是梯形 COAB面积 的-?7(3) 动点P从点O出发，沿折线 OABD的路线移动过程中，设 AOPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量 t的取值范围；(4) 当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q ,使四边形CQPD为矩9、（09年黄冈市）如图，在平面直角坐标系xoy124中,抛物线y x -x 10与x轴的交点为189点A,与y轴的交点为点 B.过点B作x轴的平 行线BC,交抛物线于点 C,连结AC.现有两动点 P,Q分别从O,C两点同时出发，点P以每秒4个 单位的速度沿 OA向终点A移动，点Q以每秒1 个单位的速度沿 CB向点B移动,点P停止运

11、动 时,点Q也同时停止运动，线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE / OA,交CA于点E射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t（单位:秒）求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程9当0 v tv 时, PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由2当t为何值时， PQF为等腰三角形？请写出解答过程.提示：第（3）问用相似比的代换，得PF=OA（定值）。第（4）问按哪两边相等分类讨论 PQ=PF PQ=FQ QF=PF.三、直线上动点2& （2009年湖南长沙）如图，二次函数y ax bx c （

12、a 0）的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴相交于点C .连结AC、BC, A、C两点的坐标分别为 A（ 3,0）、C （0, 3）, 且当x 4和x 2时二次函数的函数值 y相等.(1) 求实数a, b, c的值；(2) 若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿 BA BC边运动， 其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时，连结 MN，将 BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3 )在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B, N , Q为项点的三角形与 ABC相似？如果存在，请求出点 Q的坐标；如果

13、不存在，请说明理由.提示：第(2)问发现特殊角/ CAB=30 °/CBA=60 °特殊图形四边形 BNPM为菱形；第(3)问注意到厶ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类； 先画出与ABC相似的BNQ，再判断是否在对称轴上。19、( 2009眉山)如图，已知直线 y -x 1与y轴交于点 A,与x轴交于点 D,抛物线1 2 一y x bx c与直线交于 A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1 , 0)。求该抛物线的解析式；动点P在x轴上移动，当 PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM MC |的值最大，求出点 M的坐标。提

14、示：第（2）问按直角位置分类讨论后 画出图形-P为直角顶点AE为斜边时，以AE 为直径画圆与x轴交点即为所求点 P，A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P, E为直角顶点时，作法同；第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（2009年兰州）如图，正方形 ABCDK点A B的坐标分别为（0,10）,（ 8, 4）,点 C在第一象限.动点P在正方形 ABCD勺边上，从点A出发沿 g 4C-D匀速运动，同时动 点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时 间为t秒.当P点在边AB上运动时，点 Q的横坐标x （长度单位）关于运动

15、时间t （秒）的函数图象如图所示，请写出点 Q开始运动时的坐标及点 P运动速度；（2）求正方形边长及顶点 C的坐标； 在（1）中当t为何值时， OPQ勺面积最大，并求此时 P点的坐标； 如果点P、Q保持原速度不变，当点 P沿A- B- C- D匀速运动时，OP与PQ能否相等， 若能，写出所有符合条件的 t的值；若不能，请说明理由.注意：第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三 角形“三线合一”。11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系 xOy中， ABC三个顶点的坐标分别为1A 6,0 , B 6,0 , C 0,4.3，延长 AC 到点 D,使 C

16、D=丄 AC,过点 D 作 DE / AB 交 2BC的延长线于点E.（1 ）求D点的坐标；（2） 作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线y kx b将四 边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y kx b与y轴的交点出发，先沿 y轴到达G点， 再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线 GA上运动速度的2倍，试确 定G点的位置，使 P点按照上述要求到达 A点所用的时间最短。（要求：简述确定 G点位 置的方法，但不要求证明） 提示：第（2）问，平分周长时，直线过菱形的中心;第（3）冋，转化为点G到A的距离

17、加G到（2）中直线的距离和最小；发现（2）中直线与x轴夹角为6 0°.见“最短路线问题”12、（2009年上海市）专题。已知/ ABC=90 , AB=2,BC=3 AD/ BC, C P为线段BDPQ ad上的动点，点Q在射线AB上，且满足-（如图1 所示）.(1 )当AD=2且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；3（2）在图8中，联结AP当AD -,且点Q在线段AB上时，设点B Q之间的距离为x ,2SAPQSPBCy，其中Sa apq表示 APQ的面积，SPBC表示 PBC的面积，求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域；（3）当AD AB，且点Q在线段AB的延长线

18、上时（如图 3所示），求 QPC的大小.注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC丄BD时,点Q、B重合，x获得最小值；当P与D重合时，x获得最大值。第（3 ）问，灵活运用 SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证/BQP = ZBCP，得B、Q、C、P四点共圆也可求解。13、（08宜昌）如图，在Rt ABC中, AB=AC P是边AB（含端点）上的动点过 P作BC 的垂线PR R为垂足，/ PRB的平分线与AB相交于点S

19、,在线段RS上存在一点T,若以线 段PT为一边作正方形PTEF其顶点E, F恰好分别在边BC AC上.（ABCt SBF是否相似，说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；（3） 设边AB=1,当P在边AB （含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小 值和最大值.提示：第(3)问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时，pa=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。14、(2009年河北)如图，在 Rt ABC中，/ C=90° , AC = 3 , AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长

20、的速度向点 A匀速运动，到达点 A后立刻以原来的速度沿 AC返回； 点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点 B匀速运动.伴随着 P、Q的运动， DE保持垂直平分 PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当 点Q到达点B时停止运动，点 P也随之停止.设点 P、Q运动的时间是t秒(t > 0).(1 )当t = 2时，AP =，点Q到AC的距离是;(2) 在点P从C向A运动的过程中，求 APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t 的取值范围)(3) 在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能， 求t的值.若 不能，请说明理由；提示

21、：(3)按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形，DE/QE,PQ/EC;(4) 按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形,CQ=CP = AQ= t 时，QC = PC=6-t 时.215、(2009年包头)已知二次函数y ax bx c ( a 0)的图象经过点 A(1,0), B(2,0), C(0, 2)，直线x m ( m 2 )与x轴交于点D .(1 )求二次函数的解析式；(2)在直线x m ( m 2 )上有一点E (点E在第四象限)，使得E、D、B为顶点的三 角形与以A、0、C为顶点的三角形相似，求 E点坐标（用含

22、m的代数式表示）；（3 ）在（2 ）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得四边形 ABEF为平行四边形？ 若存在，请求出 m的值及四边形 ABEF的面积；若不存在，请说明理由.提示：第（2 ）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（3）问，四边形 ABEF为平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且 AB=EF，对第（2） 问中两种情形分别讨论。四、抛物线上动点216、（ 2009年湖北十堰市）如图，已知抛物线y ax bx 3（ a丰0）与x轴交于点A（1,0）和点B （ 3, 0）,与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点

23、卩，使厶CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值，并求此时 E点的坐标./ 甲勺/1 /匚./6注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标-C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P,M为顶点时，以 M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P,P为顶点时，线段MC的垂直平分 线与对称轴交点即为所求点 P。第（3 ）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。17、(2009年黄石市)正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上， AB交y轴正半轴于E, BC交x轴负半轴于F , OE 1，抛物线 y ax2 bx 4 过 A、D、F 三点.(1) 求抛物线的解析式；(2) Q是抛物线上 D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边 AD于M，交BC所3在直线于N，若&边形AFQM 3S“Qn，则判断四边形AFQM的形状；2(3) 在射线DB上是否存在动点 P，在射线CB上是否