全国卷三视图与立体几何专题含答案

1、全国卷三视图与立体几何专题 （含答案）三视图与立体几何部分1. （2014年全国新课标卷I第8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）B.三棱柱C.四棱锥D.四棱A.三棱锥2. （2014年全国新课标卷I第19题）（本题满分12分）如图，三棱柱ABC-A用G中，侧面叫GC为菱形，BC 的中点为。，且AO_L平面85GC.（I）证明： B1C±AB（H）若 AC_LABi, NCBBk60° , BC=1,求三 棱柱ABC-ABG的高.3. （2014年全国新课标卷n第6题）如图，网格纸上正方形小格的边长为1 （表示1cm）,图

2、中 粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底 面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为()B.C.1021D.4. （2014年全国新课标卷n第7题）正三棱柱 A8C-A画G的底面边长为2 ,侧棱长为6,。为BC中 点，则三棱锥A-BQG的体积为（）A. 3B. 2C. 12d-t满分12分)如图,I棱锥 P - ABCD中，底面A4CQ为矩形,面 ABCD , E是的中点.(1)证明：神平面AEC ；设AP = 1 AD = 3 , 三棱锥P AM的体积联史，求A 46. (2013年全国新课标第9题)一个四面体的顶点在空间直角坐标系。-以中

3、的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0),画该 四面体三视图中的正视图时，以Q平面为投影 面，则得到的正视图可以为()7. （2013年全国新课标第15题）、已知正四棱 锥。一加。的体积为半，底面边长为回 则以。为 球心，04为半径的球的表面积为.8. （2013年全国新课标第18题）如图，直三棱柱48C4用G中，D,七分别是AB, BBi 的中点.（I）证明： 8G 平耐8 ；（H）设的 = AC=C8 = 2, AB = 2叵, 求三棱锥一4小的体 积.9. （2014年全国新课标I第11题）、某几何体 的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 16

4、 + 8 乃D8 + 164Be 8+8%C.16 + 6万10. （2013年全国新课标I第15题）已知H是球。的直径AB上的一点，AH:HB<:2,H为垂足，。截球。所得截面的面积为不，则球。的表面积为11. （2013年全国新课标I第19题）如图，三棱柱 ABCA181G 中, CA = CB, AB=A= 60°.(I )证明： AB±A,C ；（II）若将CB = 2, A£ =、后, 求三棱柱的 48C-481G 体积.12.（2014年全国新课标n第7题）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A.

5、6B. 9 C. 12 D. 1813. （2012年全国新课标第8题）平面,截球。的 球面所得圆的半径为1，球心。到平面a的距离为 及,则此球的体积为（）C-D.14. （2012年全国新课标第19题）如图，在三棱柱ABC-ABCX中，侧棱垂直于底面,ZACB =9O, AC = BC =AA1, D是棱的的中点.证明： 平面BOG| _L平面80c ；（n）平面b叩分此棱柱为两部分，求这两部分体 积的比.CA)<C)CD)15. （2011年全国新课标第8题）在一个几何 体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为16. (2011年全国新课标第16题)已知两个锥有

6、公共底面，且两圆锥的顶点和底面的【周都在同一球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的上，则这两个圆锥中，体积较小者的 16高与体积较大者的高的比值为.17.(2011年全国新课标第18题)如图，四棱锥P A6CD中，底面ABCD 为平行四边形,ND48=60°, AB = 2AD, PO J底面(I)证明：PA1BD；(II)设PA = 4Q=1,求棱锥。-P8C的高.18. （2010年全国新课标第7题）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为At 3%JB. 6位JCe 12的。D. 2痴219. （2010年全国新课标第15题）一个几何体的正

7、视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 前的编号）（填入所有可能的几何体三棱锥四棱锥三棱柱四棱柱 圆锥圆柱20. （2010年全国新课标第18题）如图，已知的底面为等腰梯形,ABHCD, AC垂足为 H 9 PH是四棱锥的高.（I）证明： 平面平面尸33；(II)若AB = R, ZAPB=ZADB = 6Oe 9 求四棱锥 P - ABCD 的 体积.1.B【命题立意】本题考查三视图等基础知识, 意在考查考生空间想象能力，难度中度.【解题思路】原几何体为如图所示的三棱柱，故选B.2.解:(1)连接叼，贝!I。为趾与8G的交点.因为侧面*”为菱形，所以用C_L8£.又AQ

8、_L平面85GC , 所以 故与C_L平面A8O. 由 于A8u 平9 故 8Q_LA8(6分)(II)作。，吟垂足为连接AO .作0,垂足为H.由于BC 1AO 9 BC VOD f 故6c平面 AOD ,所 以0 _L 8c .又0 _L AP ,所以。平面ABC ,因为 ZCBB, = 60s ,所以(?四为等边三角形，又40 = 1,可得OD =旦由于AC LAB,， 所以OA=-B1C = - 422OH AD = OD OA ,AD = yloD2 +OA2 =-9 得 O” 二辿 414又。为K的中点，所以点用到平面双的距离为早, 故三棱柱 ABC A15G的距离为用.（12 分

9、）3 . C【命题立意】本题考查了三视图，空间几何体的体积计算，意在考查三视图与直观图的转换 所体现的空间想象能力，难度中等.【解题思路】几何体的直观图为“螺栓” .切削部分的体积为/A"-?.，所以比值为尤？4一乃2?44326二?,故选C.4 .C【命题立意】本题考查空间几何体的体积计算，侧重考察利用割补法求体积，难度中等.【解题思路】取用G的中点入截面皿上的面积为5=；屈入。所以所求的体积为用$86=3白2 = 1, 故选C.5 .解：(I)证明：设叩与AC的交点 为O,连结石因为ABCD为矩形，所以。为他的中点，又E为尸。的中点，所以£。心. £Ou平面A

10、EC 9 PB 2平面 AEC , 所以P3 平面AEC(II ) V=-PA AB AD = AB. 66由用日，可得A*作 AH _L P8交P8于.由题设知4C_L平面尸A3 ,所以8C_LA，故A_L平面又AH =PA-ABPB13所以A到平面PBC的距离为乎.6. A【命题立意】本题考查空间直角坐标系下几何体的建构及其对应的三视图的作图问题，难度 中等.【解题思路】如图所示，点4(101), 8(1,1,0), C/O,1,1), 0(0,0,0),此四点恰为正方体的四个顶点，此四点构成了一个棱长 为嫄的正四面体,该正四面体的投影面必上的正视图为正方形AQQA,故应选A.7. 24【

11、命题立意】本题考查正四棱锥的体积计算及球的表面积计算，体现了空间想象能力的应 用，难度中等.，在 RtONA【解题思路】如图所示，由V =LaB2-ON = -x(y/3-ON = - I7jy 33'/2中，由ON'NA'OT,可得mJ殍卜殍J =6,以OA为半径的球的表面积 S = 47r OA2 = 4 4 x6 = 2448 .解：（I ）证明：连接AG交AC予点F,贝！| F为AG 的中点.又D是AB的中点，连接DF,则8G。儿因为 Of U 平8G <z 平地,所以8G 平面AQ(H)因为AB(J A 8 G是直三棱柱，所以AA VCD.由已知AC=C

12、B, D为AB中点,所以C£>_LA8.又从4口48 = 4于题£>_L平段34Al.由至=AC=C8 = 2, AB = 2y2ZACB = 90°,CD =品,AQ =而 DE=® A£ = 3,A.D1 + DE2 =AE，即DE_L A3 )9f 以匕-A ,龙= -x - XyxVXy/2=l»J 乙9 . A【命题立意】本题考查了三视图及其对应的几何体的体积计算问题，体现了空间想象能力的 实际应用，难度较大.【解题思路】由三视图可得，该几何体是由一个 底面圆半径为2,高为4的圆柱体的一般与一个 底面正方形边长为

13、2,高为4的正四棱柱组成的 组合体，工其体积V =；乃X22x4 + 22 x4 = 16 + 8 , 故应选A.【易错点拨】由三视图回溯几何体的原型是一个 难点，也是一个易错点，解决此类问题应当从俯 视图入手，结合另两个视图综合想象原直观图的 组合关系.10.9【命题立意】本题考查了球及球的表面积计算问题，难度较大.【解题思路】如图所示，设球。的直径为2R,则可得2=二尺3OCH2 =OC2-OH2 =R28qo9 9i 17i - CH"=成 = 7t,可得R-球。的表面积 S = 4成2 = 4万=乃 988 21L解:(I )取A8的中点O,连接OC, 04, A.B.因为C

14、4 = C8,所以OC_LA8由于AB = AAV= 60°,故MAH为等边三角形，所以。4 LAB.因为OCQOA. =of 所以48_L平面O4Q.又从Cu平面040, 故AB1AC （6分）（ID由题设知都是边长为2的等边三角 形，所以"=。4 ='又，则=必+。4）故 OA, ±OC, 因为OCCAB = Oy 所以。4 ±¥iHabc, oax为三棱 柱48CA画G的高.又的面积4帆=包故三棱柱 ABC- 4 5 G的体积心SxOA=3.（12 分）12. B【命题立意】本题考查三视图及空间几何体的体积求解，考生是否具有一定空

15、间想象能力将 图形还原（包含数量关系及位置关系）是命题立 意所在，难度较小.【解题思路】据三视图可知三棱锥底面是腰长为右的等腰直角三角形，棱锥的高为3,故体积为1 - 2X1 - 3 =VX 3x372 =9, 故选B.13. B【命题立意】本题考查球的性质应用及球的 体积公式，难度较小.【解题思路】由于球心与截面圆心的连线垂直于截面a,故球的半径夫=户定=匹扃=6，因此体积V =：乃3） =4出4,故选B.14. 解：证明：由题设知BC±CCP BC±AC, CGPIAC = C，所以8C_L平 1M4CGA .又。G u平ffiACGA，所帅G，8C由题设知幺。G =&

16、quot;）C=45。,所以ZCDQ =90°,即0G，平面BZ）C又OCn8C=C,所帅G，平面8OC又3G u平面80cl,故平面8£>G -L平面BOC（6分）（ID设棱锥B - DACC、的体积为 AC=1.又题意得=3以1=： © J乙乙又三棱柱abc-abc的体积v = i,所以"-匕）：匕=i：i. 故平面Bg分此棱柱所得两部分的体积之比为 1:1.（12 分）15. D【命题立意】本题考查三视图，考查空 间想象能力.【解题思路】由三视图可知该几何体是一个三 棱锥和半个圆锥构成的几何体,所以其侧视图 可以是D.16. 1【命题立意】本

17、题考查圆锥内接于球的问题，考查空间想象能力.【解题思路】如图，设圆锥底面圆A的半径为r,0为球心，球0的半径为凡以一，则由题意可知二4,解得一4-又由勾股定理得4成-162心得A三，所以体积较小的高与体积较n_io大的高的比等于'R+x r+Lr 3217. 解：（I ）因为 N£>A8=60。，AB = 2AD,由余弦 定理得 bd = 4ad . 从而 BD2 + AD2 = AB2,故BD± AD （3分）又。，底 WSA8C。,可得 8。J. PQ.所以8D_L 平面PAO , 故 PALBD(6分)(II)如图，作DE1PB, 垂足为E,AB已知PD

18、 _L 底面48cO,贝! PD 1BC .由（I）知BD【AD、4CH AD,所以5C_L 肛 故 3CJ,平面P3O, BCLDE.贝| OE_L平面尸8c.（9分）由题设知PD=1,贝= PB = 2.根据 OE PB =P。 8的 OE =2即棱锥 D-PBC 的高东（12 分）18. B【命题立意】本题考查组合体知识及球的表 面积求解.【解题思路】据题意可得长方体的对角线即球的 直径，即2夫=依4+,/+九=而1 ,故球的表面积 S = 4戒 2 =4江（） =6加 2, 故选B.19. 【命题立意】本题考查三视图及空间想象能力.【解题思路】空间想象易知三棱锥、四棱锥、三棱柱、锥的正视图均可能是三角形.【易错点】注意观察的角度不同，正视图的形状 就会发生