-Lyapunov指数的计算方法

1、【总结】Lyapunov指数的计算方法 非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚,看了有79本书！下面以吕金虎?混沌 时间序列分析及其应用?、马军海?复杂非线性系统的重构技术?为主线,把目前 已有的LE计算方法做一个汇总！1.关于连续系统Lyapunov指数的计算方法 连续系统LE的计算方法主要有定义 方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法,或者通过求解系统的微分 方程,得到微分方程解的时间序列,然后利用时间序列即离散系统的LE求解方法来计算得到.关于连续系统 LE的计算,主要以定义方法、Jacobian方法做主 要介绍容.1定义法对用维连嫔动力系统才二在时刻以孙为卬心,

2、忸M0.0|为半径脓一个 «维的球面.随着时间的演化,在t时刻读球面即变形为M缝的椭球面.说谈椭球面的第i 个坐标轴方向的半轴长为巨|,那么该系统第i个L刈皿3指数为*% = lirn-lnIe t四/q|阿冷.61此即连续系统LyaMnw指裁的定义.实际计算时,取口,0|为43为常裁,以为球心,欧几里悠沌敢为d的正交矢量集.刍为初始球,由非线性微分方程£ =尸外可以分别计菖出点工s花+电、 孙收#、m4%经过时间才后演化的轨迹,设具终了专分别为了如、际八、杭,那么令 那么国工6一 .公产-那么可得新的矢量集"的叱心吗.由于各个矢量在演化过程中都会向希最大的 由口

3、SWV指敬方向翼捷,因此需要通过 Schmidt正交化不断地对新矢量进行置搔,即Wulf的文章中提出的GSR方法.表述如下：同铲一%叽峭小叫v；1J -枭户品尸产 以厂严 5工墨1产 口产口3小邺接着以硒为球心,范数为d的正交矢塞蓦心出尸.叫用为新球继续进行演 化,设演化至N步时,得到矢量制耳招叼匕?*且N足够大这可以得到Lyapunov 才徽拊近似计篁公式,4 一竽+4£书坪1 Jvi A-L实际计亶时,可以将d取为1定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序,和 matlab板块的连续系统LE求解程序差不多.以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程

4、序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子,用来计算Lyapunov指数%a=0.15,b=0.20,c=10.0%dx/dt = -y-z,%dy/dt = x+ay,%dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y勺三个列向量为相互正交的单位向量Y = X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12);%输出向量的初始化,必不可少dX = zeros(12,1);% RosslerR引子dX(1)

5、= -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rosslei®引子的Jacobi矩阵Jaco = 0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c;dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：%计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = 1,1,1;orthmatrix = 1 0 0;0 1 0;0 0 1;a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);%初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; %时间初始值tst

6、ep = 1e-3; %时间步长wholetimes = 1e5; %总的循环次数steps = 10; %每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数 mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);%初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstar

7、t + tstep*steps);T,Y = ode45('Rossler_ly', tspan, y);%取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);%重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12);%£交化y0 = ThreeGS(y0);%取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1);mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2);mod(3) =

8、sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3);y0(:,1) = y0(:,1)/mod；y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod);%E个 Lyapunov 指数Lyapunovl(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0'end%作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyap

9、unov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V为 3*3 向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);al = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);al = v1;a2 = v2-(a1'*v2)/(a1'*a1)*a1;a3 = v3-(a1'*v3)/(a1'*a1)*a1-(a2'*v3)/(a2'*a2)*a2;A = a1,a2,a3;计算得到的 Rossler系

10、统的 LE为0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的 Rossler系统的LE为0.09 0 -9.77需要注意的是一一定义法求解的精度有限,对有些系统的计算往往出现计果和理论 值有偏差的现象.正交化程序可以根据上面的扩展到 N*N向量,这里就不加以说明了,对 matlab用 户来说应该还是比拟简单的！Jacobian方法通过资料检索,发现论坛中用的较多的LET工具箱的算法原理就是Jacobian方法.根本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解,然后对系统的 Jacobian 矩阵进行QR分解,计算Jacobian矩阵特征值的乘积,最后计算出 LE和分数维

11、. 经过计算也证实了这种方法精度较高,对目前常见的混沌系统,如 Lorenz、 Henon、Duffing等的Lyapunov指数的计算精度都很高,而且程序编写有一定的 规,个人很推荐使用.(虽然我自己要做的系统并不适用于孑)LET工具箱可以在网络上找到,这里就不列出了！关于LET工具箱如果有问题,欢迎参加本帖讨论！Jacobian 法求解 Lyapunov 指数.JPG对离散动力系统,或者说是非线性时间序列,往往不需要计算出所有的Lyapunov指数,通常只需计算出其最大的 Lyapunov指数即可.1983年,格里波 基证实了只要最大Lyapunov指数大于零,就可以肯定混沌的存在 目前常

12、用的计算混沌序列最大 Lyapunov指数的方法主要有一下几种：(1)由定义法延伸的Nicolis方法(2) Jacobian 方法(3) Wolf 方法(4) P数方法(5) 小数据量方法其中以Wolf方法和小数据量方法应用最为广泛,也最为普遍.下面对Nicolis方法、Wolf方法以及小数据量方法作介绍.(1) Nicolis 方法这种方法和连续系统的定义方法类似,而且目前应用很有限制,因此只对其理论 进行介绍,编程应用方面就省略了Nicolis方法求最大LE.JPG(2) Wolf方法 Wolf方法求最大LE.JPGWolf方法的Matlab程序如下：function lambda_1=

13、lyapunov_wolf(data,N,m,tau,P)%该函数用来计算时间序列的最大 Lyapunov指数-Wolf方法% m:嵌入维数！ 一般选大于等于10%tau:时间延迟！ 一般选与周期相当,如我选 2000% data:时间序列！可以选1000;% N:时间序列长度满足公式：M=N-(m-1)*tau=24000-(10-1)*1000=5000%P:时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差,即假设当前相点为I,那么演化相点只能在|I-J|>P的相点中搜寻！ P=周期=600% lambda_1:返回最大lyapunov指数值min_point=1 ;%&&a

14、mp;要求最少搜索到的点数MAX_CISHU=5 ; %&&最大增加搜索围次数%FLYINGHAWK%求最大、最小和平均相点距离max_d = 0;%1大相点距离min_d = 1.0e+100;%R 小相点距离avg_dd = 0;Y=reconstitution(data,N,m,tau);%1空间重构可将此段程序加到整个程序中,在时间循环,可以保存时间序列的地方.见完整程序.M=N-(m-1)*tau;%重构相空间中相点的个数for i = 1 : (M-1)for j = i+1 : Md = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,j)*

15、(Y(k,i)-Y(k,j); end d = sqrt(d);if max_d < d max_d = d;endif min_d > d min_d = d;endavg_dd = avg_dd + d;endend孙均相点距离%f在 min_epsmax_eps中找不到演化相项化相点与当前相点距离的最小限%&&演化相点与当前相点距离的最大限avg_d = 2*avg_dd/(M*(M-1);dlt_eps = (avg_d - min_d) * 0.02 ;点时,对max_eps的放宽幅度 min_eps = min_d + dlt_eps / 2 ;max_

16、eps = min_d + 2 * dlt_eps ;% 从P+1M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置(Loc_DK及其最短距离 DKDK = 1.0e+100;%W i个相点到其最近距离点的距离Loc_DK = 2;%g i个相点对应的最近距离点的下标for i = (P+1):(M-1)%艮制短暂别离,从点P+1开始搜索d = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,1)*(Y(k,i)-Y(k,1); end d = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK = d;Loc_DK = i; end

17、end%以下计算各相点对应的氏数保存到lmd()数组中% i为相点序号,从1至MM-1),也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最短 距离的相点位置,DK为其对应的最短距离% Loc_DK+1为Loc_DK的演化点,DK1为i点到Loc_DK+1点的距离,称为演化距离%前1个10g2 (DK1/DK)的累计和用于求i点的lambda值sum_lmd = 0 ;%存放前i个log2 (DK1/DK)的累计和for i = 2 : (M-1)%计算演化距离DK1 = 0;for k = 1 : mDK1 = DK1 + (Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1)*(Y(k,i)-Y(k

18、,Loc_DK+1); endDK1 = sqrt(DK1);old_Loc_DK = Loc_DK ;%保存原最近位置相点old_DK=DK;% 计算前i个10g2 (DK1/DK)的累计和以及保存i点的氏指数if (DK1 = 0)&( DK = 0) sum_1md = sum_1md + 1og(DK1/DK) /1og(2);end1md(i-1) = sum_1md/(i-1);此处可以保存不同相点i对应的氏指数,见完整程序.%以下寻找i点的最短距离：要求距离在指定距离围尽量短,与DK1的角度最小point_num = 0; % &&在指定距离围找到的候选相

19、点的个数cos_sita = 0 ;%&&夹角余弦的比拟初值要求一定是锐角zjfwcs=0 ;%&&增加围次数whi1e (point_num = 0)% *搜索相点for j = 1 : (M-1)if abs(j-i) <=(P-1)%&&炭选点距当前点太近,跳过！continue;end%计算候选点与当前点的距离dnew = 0;for k = 1 : m dnew = dnew + (Y(k,i)-Y(k,j)*(Y(k,i)-Y(k,j);end dnew = sqrt(dnew);if (dnew < min_eps)|(

20、 dnew > max_eps )%&&不在距离围,跳过！continue;end%计算夹角余弦及比拟DOT = 0; for k = 1 : mDOT = DOT+(Y(k,i)-Y(k,j)*(Y(k,i)-Y(k,o1d_Loc_DK+1); endCTH = DOT/(dnew*DK1);if acos(CTH) > (3.14151926/4)%&财是小于 45 度的角,跳过!continue;endif CTH > cos_sita%&&新夹角小于过去已找到的相点的夹角,保存cos_sita = CTH;Loc_DK = j

21、;DK = dnew;endpoint_num = point_num +1;endif point_num <= min_pointmax_eps = max_eps + dlt_eps;zjfwcs =zjfwcs +1;if zjfwcs > MAX_CISHU%&&超过最大放宽次数,改找最近的点DK = 1.0e+100;for ii = 1 : (M-1)if abs(i-ii) <= (P-1)%&&候选点距当前点太近,跳过！continue;endd = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,ii)

22、*(Y(k,i)-Y(k,ii);endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK = d;Loc_DK = ii;endendbreak;endpoint_num = 0 ;%&&扩大距离围后重新搜索cos_sita = 0;endendend%取平均得到最大雅普诺夫指数(此处只有一个值,假设为正说明体系是混沌的,假设 为负那么说明体系是周期性确实定性运动)lambda_1=sum(lmd)/length(lmd);程序中用到的reconstitution 函数如下：此段程序可直接放在时间循环部,即可 以保存时间序列

23、的地方.见完整程序例.function X=reconstitution(data,N,m,tau)%该函数用来重构相空间% m为嵌入空间维数% tau为时间延迟% data为输入时间序列% N为时间序列长度% X为输出,是m*n维矩阵M=N-(m-1)*tau;% 相空间中点的个数for j=1:M咐目空间重构for i=1:mX(i,j)=data(i-1)*tau+j);end end这里声明一下,这些程序并非我自己编写的,均是,其使用我已经验证过,绝对可 以运行！(3)小数据量方法说小数据量方法是目前最实用、应用最广泛的方法应该不为过吧,呵呵！小数据量方法求最大Lyapunov指数.J

24、PG上面两种方法,即 Wolf方法和小数据量方法,在计算 LE之前,都要求对时间 序列进行重构相空间,重构相空间的优良对于最大 LE的计算精度影响非常大！因 此重构相空间的几个参数确实定就非常重要.(1)时间延迟主要推荐两种方法 自相关函数法、C C方法自相关函数法一一对一个混沌时间序列,可以先写出其自相关函数,然后作出自相 关函数关于时间t的函数图像.根据数值试验结果,当自相关函数下降到初始值的 1 1/e时,所得的时间t即为重构相空间的时间延迟.CC方法一一可以同时计算出时间延迟和时间窗口,个人推荐使用这种方法！(2)平均周期平均周期的计算可以采用FFT方法.在matlab帮助中有一个太阳

25、黑子的例子,现 摘录如下：load sunspot.dat 曝载数据文件year = sunspot(:,1); wolfer = sunspot(:,2); plot(year,wolfer) title('Sunspot Data')%眩取年份信息%卖取黑子活动数据%绘制原始数据图Y = fft(wolfer);啾速FFT变换N = length(Y);Y(1)=;%FF校换后数据长度power = abs(Y(1:N/2).A2;nyquist = 1/2;freq = (1:N/2)/(N/2)*nyquist; plot(freq,power), grid on xl

26、abel('cycles/year') title('Periodogram')%去掉Y的第一个数据,它是所有数据的和 %求功率谱%求频率%会制功率谱图period = 1./freq;% 年份(周期)plot(period,power), axis(0 40 0 2e7), grid on%绘制年份功率谱曲线ylabel('Power')xlabel('Period(Years/Cycle)')%求最高谱线所对应的年份下标 %4下标求出平均周期mp,index = max(power); period(index)(3)嵌入维数

27、目前嵌入维数的主要计算方法是采用Grassberger和Procaccia提出的G P算法计算出序列的关联维数d,然后利用嵌入维数 m>=2d+1 ,选取适宜的嵌入维数.GP算法程序如下：function ln_r,ln_C=G_P(data,N,tau,min_m,max_m,ss)% the function is used to calculate correlation dimention with G-P algorithm时间序列时间序列长度时间延迟最小的嵌入维数最大的嵌入维数 r的步长%计算关联维数的GP算法 % data:the time series% N: the l

28、ength of the time series% tau: the time delay% min_m:the least embedded dimention m% max_m:the largest embedded dimention m% ss:the stepsize of r%skyhawkfor m=minm:maxmY=reconstitution(data,N,m,tau);%reconstitute state spaceM=N-(m-1)*tau;%the number of points in state spacefor i=1:M-1for j=i+1:Md(i,

29、j)=max(abs(Y(:,i)-Y(:,j);%calculate the distance of each twoend%points in state space计算状态空间中每两点之间的距离endmax_d=max(max(d);%the max distance of all points 得到所有点之间的最大距离 d(1,1)=max_d;min_d=min(min(d);%the min distance of all points彳马至 U所有点间的最短距离delt=(max_d-min_d)/ss;%the stepsize of r彳马至U r 的步长for k=1:ss

30、r=min_d+k*delt;C(k)=correlation_integral(Y,M,r);%calculate the correlation integral ln_C(m,k)=log(C(k);%lnC(r) ln_r(m,k)=log(r);%lnrfprintf('%d/%d/%d/%dn',k,ss,m,max_m);endplot(ln_r(m,:),ln_C(m,:);hold on;endfid=fopen('lnr.txt','w');fprintf(fid,'%6.2f %6.2fn',ln_r);fc

31、lose(fid);fid = fopen('lnC.txt','w');fprintf(fid,'%6.2f %6.2fn',ln_C);fclose(fid);程序中的correlation_integral 函数如下：function C_I=correlation_integral(X,M,r)%the function is used to calculate correlation integral%C_I:the value of the correlation integral%X:the reconstituted state space,M is a m*M matrix%m:the embedding demention%M:M is the number of embedded points in m-dimensional sapce%r:the radius of the Heaviside function,sigma/2<r<2sigma%calculate the sum of all the values of Heaviside%s