人教A版必修2数学同步导学第四章4.14.1.1圆的标准方程

1、第四章/DISI ZHANG圆的方程4. 1.1 圆的标准方程课前口上学习基稳才能搂髙预习课本 P118120，思考并完成以下问题- -1 确定圆的几何要素有哪些？2 圆的标准方程是什么？3 .点与圆的位置关系有哪几种？怎样去判断?新知初探1.圆的标准方程圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称 为圆的半径.确定圆的要素是圆心和半径如图所示.2 2 2圆的标准方程：圆心为 A(a, b),半径长为 r 的圆的标准方程是(x a) 土(y b) = r. 当 a= b=0 时，方程为 x2+ y2= r2,表示以原点为圆心、半径为 r 的圆.2 .点与圆的位置关

2、系圆的标准方程为( (x a)2+ (y b)2= r2,圆心 A(a, b),半径为 r.设所给点为 M(x, y。), 则宀护方位置大糸判断方法几何法代数法点在圆上IMA | = r?点 M 在圆 A上点 M(x( () ), y。)在圆上？( (xo a)2+ (yo b)2= r2点在圆内IMA | r?点 M 在圆 A 外点 M (xo, yo)在圆外? (xo a)2+ (yo b)2 r2小试身手1 .判断下列命题是否正确.( (正确的打“V”，错误的打“x”)(1)方程(x a)2+ (y b)2= m2定表示圆( () )若圆的标准方程为( (x+ m)2+ (y+n)2=

3、a2(a 0)，此圆的半径一定是 a( ) 答案：x(2)x2 .点 P(m,5)与圆 x2+ y2= 24 的位置关系是( () )A .在圆外B.在圆内C .在圆上D .不确定解析：选 A / m2+ 25 24,点 P 在圆外.3.经过原点，圆心在 x 轴的负半轴上，半径为 2 的圆的方程是 _解析：圆心是( (一 2,0),半径是 2,所以圆的方程是( (x+ 2)2+ y2= 4.答案：(x + 2)2+ y2= 4课堂讲嫌设计r举-能通类題典例求经过点 P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x + 3y+ 1 = 0 上的圆的方程.解法一 待定系数法设圆的标准方程为( (x a)

4、2+ (y b)2= r2,a2+ b2= r2,a= 4,则有 3(a 1 行(b 1)= r2,解得 * b= 3,2a+ 3b+ 1= 0,r= 5.圆的标准方程是(x 4)2+ (y+ 3)2= 25.法二几何法由题意知 OP 是圆的弦，其垂直平分线为x+ y 1 = 0.弦的垂直平分线过圆心，.由2x+ 3y+1=0，得x= 4,x+ y 1= 0,y= 3,即圆心坐标为(4， 3)，半径 r =寸 42+ ( 3 丫 = 5.圆的标准方程是(x 4)2+ (y+ 3)2= 25.确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a, b)及半径 r,其求解的方法：一是待定系数法,如法一，建立关于

5、 a, b, r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得 圆心坐标和半径，如法二一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化 较为简捷.活学活用已知 ABC 的三个顶点坐标分别为A(0,5), B(1, 2), C( 3, 4)，求该三角形的外接圆的方程.解：法一：设所求圆的标准方程为(x a)2+ (y b)2= r2.因为 A(0,5), B(1, 2), C( 3, 4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，(0af+(5bj=r2,于是有 1 a2+ 2b 2=r,3 a2+ 4 b2= r2.求圆的标准方程Ia=3,解得 b= 1, r = 5.故

6、所求圆的标准方程是( (x + 3)2+ (y 1)2= 25.法二：因为 A(0,5), B(1, 2),所以线段 AB 的中点的坐标为2 2 2 2，直线 AB 的斜率 kAB=：f=7,因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y3=7 x1 1，即 x7y+10=0. 同理可得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x+ y+ 5= 0.|x 7y+ 10= 0,由得圆心的坐标为( (一 3,1),2x+ y+ 5= 0又圆的半径长 r=p(- 3 - 02+ (1- 5$ = 5,故所求圆的标准方程是(x + 3)2+ (y 1)2= 25.点与圆的位置关系典例已知圆 C 的圆心为 C( 3

7、, 4)，且过原点 0,求圆 C 的标准方程，并判断点M1( 1,0), M2(1, 1), M3( (3, 4)与圆 C 的位置关系.解因为圆 C 过原点 0,圆心为 C( 3, 4)，所以圆 C 的半径长 r= |0C| =,3 02+ 4 02= 5,因此圆 C 的标准方程为(x + 3)2+ (y+ 4)2= 25.因为( (一 1 + 3)2+ (0 + 4)2= 20V25 ,所以点 M1( 1,0)在圆 C 内；因为(1 + 3)2+ ( 1+ 4)2=25 ,所以点 M2( (1, 1)在圆 C 上；因为(3 + 3)2+ ( 4+ 4)2= 3625 ,所以点皿3( (3 ,

8、 4) 在圆 C 外. r2,表示点在 圆外；若(x a)2+ (y b)2vr2,表示点在圆内.此外，也可以利用点与圆心的距离d 与半径 r 的大小关系来判断.当 d r 时，点在圆外；当 d= r 时，点在圆上；当 dvr 时，点在圆内.活学活用已知 M(2,0), N(10,0) , P(11,3) , Q(6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由.解：设 M, N , P 三点确定的圆的标准方程为(x a)2+ (y b)2= r2,题型二f( (2-a) )+ b2= r2,fa = 6,2223( (10 a) )+ b = r ,解得 fb= 3,2 , _.22 2 _1(

9、11 a j + (3 b r ,r = 2 5.过点 M , N , P 的圆的方程为( (x 6)2+ (y 3)2= 25.将点 Q 的坐标( (6,1)代入方程左端，得(6 6)2+ (1 3)2= 4V25,点 Q 不在圆(x 6)2+ (y 3)2= 25 上, M, N , P, Q 四点不共圆.与圆有关的最值问题典例已知实数 x, y 满足方程(x 2)2+ y2= 3.求y的最大值和最小值.解原方程表示以点( (2,0)为圆心，以3 为半径的圆，设y= k,即 y= kx,k 取最大值和最小值，此时|2黃+0| = 3,解得 k= 土. 3.故 x 的最大值为.3最小值为一题

10、多变当直线 y= kx 与圆相切时，斜率当 y= x + b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|202+忙3,即 b= 2 6.故 y x 的最大值为一 2 + 6,最小值为2 6.x2+ y2的最大值和最小值.2.变设问在本例条件下，求解：x2+ y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知, 它在原直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为3)2= 7+ 4 3,(x2+ y2)min= (2 3)2= 7 4 3.2,故( (X +y)max= (2+与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型:(1)形如 u=形式的最值问题，可转化为过点( (x, y

11、)和(a, b)的动直线斜率的最值问x a1. 变设问 在本例条件下， 求 解：设 y x= b,即卩 y= x + b, 题.形如 I = ax+ by 形式的最值问题，可转化为动直线y y=：x +；截距的最值问题.形如( (x a)2+ (y b)2形式的最值问题，可转化为动点 (x, y)到定点(a, b)的距离的平 方的最值问题.层级一学业水平达标1 .方程|x| 1=1 y 12所表示的曲线是( () )A .一个圆D .两个半圆胆+仃+( (y12=1,故原方程表示两个半圆.XW1,2若一圆的圆心坐标为(2, 3)，一条直径的端点分别在 是( (y x 的最大值和最小值.课后很级

12、训练，步步提升解析：选 D 由题意，得2 2*( (|x|-1) )+( (y4) )=1，|x| 1 0,即*广22(xi+p1)=1，或x1B.两个圆C .半个圆x 轴和 y 轴上，则此圆的方程可得直径长为 2 13，则半径长(x 2)2+ (y+ 3)2= 13(x+ 2)2+ (y 3)2= 13(x 2)2+ (y+ 3)2= 52(x+ 2)2+ (y 3)2= 52解析：选 A 直径两端点的坐标分别为( (4,0), (0, 6),为 13,所以所求圆的方程是(x 2)2+ (y+ 3)2= 13.3.已知点 A( 4, 5), B(6, 1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是

13、( () )A.(x+ 1) + (y 3) = 2929B.(x 1) + (y+ 3) = 29C.(x+ 1)2+ (y 3)2= 116D.(x 1)2+ (y+ 3)2= 116解析：选 B 圆心为线段 AB 的中点(1, 3),半径为 詈=+ 42+ 1 + 52= 29, 所以所求圆的方程为( (x 1)2+ (y+ 3)2= 29.故选 B.4 .已知直线 l 过圆 x2+ (y 3)2= 4 的圆心，且与直线 x+ y+ 1 = 0 垂直，则 l 的方程是( () )A. x+ y 2= 0B.B. x y+ 2 = 0C. x+ y 3= 0D. x y+ 3= 0解析：选

14、 D 圆 x2+ (y 3)2= 4 的圆心为点( (0,3).因为直线 l 与直线 x+ y+ 1= 0 垂直， 所以直线I 的斜率 k = 1.由点斜式得直线 l 的方程是 y 3= x 0,化简得 x y+ 3= 0.故选 D.5若实数 x, y 满足(x + 5)2+ (y 12)2= 142,则 x2+ y2的最小值为( () )A. 2B. 1C. ,3D. 2解析：选 B x2+ y2表示圆上的点(x, y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14 52+ 122= 1.6.若点 P( 1,3)在圆 x2+ y2= m2上，则实数 m=_ .解析： P 点在圆 x2+

15、 /= m2上， ( 1)2+ ( 3)2= 4= m2,m =翌.答案：也7 圆心为直线 x y+ 2= 0 与直线 2x + y 8= 0 的交点，且过原点的圆的标准方程是可得 x= 2, y= 4,即圆心为(2,4),从而 r = . 2 02+ 4 02=2 5，故圆的标准方程为(x 2)2+ (y 4)2= 20.答案：(x 2)2+ (y 4)2= 208.与圆(x 2)2+ (y+ 3)2= 16 同圆心且过点 P( 1,1)的圆的方程为 _ .解析： 因为已知圆的圆心为(2 , 3),所以所求圆的圆心为(2 , 3).又 r =1 22 + 12+ 3 12= 5，所以所求圆的

16、方程为(x 2)2+ (y+ 3)2= 25.答案：(x 2)2+ (y+ 3)2= 259.求圆心在 x 轴上，且过 A(1,4), B(2, 3)两点的圆的方程. 解：设圆心为(a,0),则. a 12+ 16= . a 22+ 9,所以 a = 2.半径 r=a 12+ 16= 5,故所求圆的方程为( (x+ 2)2+ y2= 25.10.求过点 A( 1,3), B(4,2)，且在 x 轴，y 轴上的四个截距之和是4 的圆的标准方程.解：设圆的标准方程为(x a)2+ (y b)2= r2.把点A, B 的坐标代入，得2af+(3 bf=r2, (4 a$+(2 bf= r2.x y+

17、 2= 0,解析：由 Fpx+ y 8 = 0,消去 r2,得 b= 5a 5.在 y 轴上的截距之和是2h令 y= 0，贝 U (x a)2= r2 b2, x = a r2 b2,在 x 轴上的截距之和是2a. 2a + 2b= 4,即卩 a+ b= 2.代入，得 a=7，二 b=6 6令 x= 0，则(y b)2= r2 a2, y= b r2 a2, r2=-1- 735=16936 18.圆的标准方程x-52169y-6 尸花层级二 应试能力达标1 .点 P(a,10)与圆(x 1)2+ (y 1)2= 2 的位置关系是A 在圆内B.在圆上D.解析：选 C( (a 1)2+ (10 1)2= 81 + (a 1)22,2.若直线 y= ax + b 经过第一、二、四象限，则圆(x + a)2+ (y+ b)2= 1 的圆心位于( () )C .在圆外不确定点P在圆外.A .第一象限B.第二象限C.第三象限D .第四象限解析：选 D 由题意，知( (一 a, b)为圆( (x+ a)2+ (y+ b)2= 1 的圆心.由直线 y= ax+ b经过第 、二、四象限，得到av0, b0,即一 a0, bv0,故圆心位于第四象限.设 P 是圆(x 3)2+ (y+ 1)2= 4 上的动点，Q 是直线 x= 3 上的动点，贝 V |PQ|的最小值为( (B.解析：选 B 画出