直线和圆-重点题型总结

1、直线和圆-重点题型总结概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结直线和圆一.直线的倾斜角：1.定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直线I，如果把x轴绕着交 点按逆时针方向转 到和直线I重合时所转的最小正角记为，那么 就叫做直线的倾斜 角当直线I与x轴重合或平行时，规定倾斜角为 0;2.倾斜角的范围0,。如(1)直线XCOS ,3y 20的倾斜角的范围是(2)过点P( .一 3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围(答: 0，U*，6 62H,那么m值的范围是33);=ta(答：m 2或 m直线的斜率：1.定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,

2、n(工90° );倾斜角为90°的直线没有斜率；(2.3.4.(1)y1 y2X1 X1 X2直线的方向向量a (1,k)，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ 应用：证明三点共线：kAB kBC。女口 两条直线钭率相等是这两条直线平行的斜率公式：经过两点Rd!,%)、P2(X2,y2)的直线的斜率为kX2 ；条件 (答：既不充分也不必要(2)实数x,y满足3x 2y 5 0 (1 x 3)，则1的最大值、最小值分别为_x(答：右直线的方程：1.点斜式：已知直线过点(心丫0)斜率为k，则直线方程为y y°k(x Xo)，它不包括垂直于X轴的直线。2.斜截式：已知直

3、线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为 括垂直于x轴的直线。y kx不包它不3.两点式：已知直线经过P(xj,yi)、P2(x2,y2)两点，则直线方程为y 込y1y2xX2x£X1包括垂直于坐标轴的直线。4.截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为-a不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。5. 一般式：任何直线均可写成Ax(1)经过点(2, 1)且方向向量为(2)直线(m 2)x (2m 1)y (3mBy C 0(A,B不同时为0)的形式。v=(- 1,，3)的直线的点斜式方程是 _(答：y 1V3(x 2)；4)0 ,不管m怎样变化恒过点（答：（1, 2

4、）；（3）若曲线y a|x|与y x a（a 0）有两个公共点，则a的取值范围是 （答：a 1） 提醒：（1）直线方程的各种形式都有局限性（如点斜式不适用于斜率不存在的直线， 还有截距式呢？）； （2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点A（1,4），且纵横截距的绝对值相等的直线共有条（答：3）四. 设直线方程的一些常用技巧：1 .知直线纵截距b，常设其方程为y kx b ;2. 知直线横截距x°，常设其方程为x my x

5、6;（它不适用于斜率为0的直线）;3. 知直线过点（x°,y°），当斜率k存在时，常设其方程为y k（x x。）y。，当斜率k 不存在时，则其方程为x X。;0 ；0.利用待定系数法求解。4. 与直线1 : Ax By C 0平行的直线可表示为Ax By G5. 与直线1 : Ax By C 0垂直的直线可表示为Bx Ay G 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，五. 点到直线的距离及两平行直线间的距离 ：的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）

6、直线h：Ax B y C10 与直线 12: A?x B2y C20垂直 A1A23B20。女 如 （1）设直线 11 : x my 60 和 12：（m 2）x 3y 2m 0，当 m =当m =时h I2 ；当m时h与12相交；当m =1（答：1 ； - ； m 3且m2（2）已知直线I的方程为3x 4y 120，则与|平行，且过点（一1，3）程是时»八2 ； 时h与12重合1 ； 3);的直线方（2）两平行线I1AxBy C10, l2: AxByC20间的距离为d -直线l1 : A1xByC10与直线l2: A2xB?yC20的位置关系：1.平行A1 B2A2B10 （斜率

7、）且B1C2B2C10 （在y轴上截距）2.相交A1 B2A2B10 ；3.重合A1 B2A2B10.且 B1C2B?G0。提醒：（1）AB1C1A1B1、 、AB1C1仅是两直线平行、A2B2C2A2B2A2B2C2Ax。 By。（1）点P（Xo,y。）到直线Ax By C 0的距离d六.7相交、重合OA2B2(答：3x 4y9 0）;（3）两条直线ax y 4 0与x y 2 0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（答：1 a 2）；（4）设a,b,c分别是 ABC中/ A、/ B、/ C所对边的边长，则直线(答：垂直)；(5) 已知点R(xi,yj是直线I : f (x, y) 0上一点

8、，卩2(«, y?)是直线I外一点，则方程 f (x, y) f (xi, yi) f(X2,y2)= 0所表示的直线与I的关系是(答：平行)；(6) 直线I过点(1,0)，且被两平行直线3x y 60和3x y 3 0所截得的线段长为9,则直线I的方程是(答：4x 3y 40 和 x 1)七.到角和夹角公式：1 . h到I2的角是指直线h绕着交点按逆时针方向转到和直线I2重合所转的角1);0, 且 tan =$ 匕(Kk21 k1k2得到八.k2k11kt k?如(0, ?且 tan =|提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。已知点M是直线2x y 4 0与x轴的交点

9、，把直线I绕点M逆时针方向旋转45°, 的直线方程是(答：3x y 60)对称(中心对称和轴对称)问题代入法：如(1)已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P(2) h与J的夹角是指不大于直角的角I (尿1)o关于直线x y 0对称，则点Q的坐标为么l2(2)已知直线l1与l2的夹角平分线为y x，若l1的方程为ax by c 的方程是(答:O(ab(b,a)0)，那c 0 )；ay(答：bx(3) 点A(4,5 )关于直线I的对称点为E ( 2,7)，则I的方程是_(答：y=3x +3);(4) 已知一束光线通过点A(3,5)，经直线I :3x 4y

10、+4=0反射。如果反射光线通过点B(2,15)，则反射光线所在直线的方程是 (答：18x + y 510);(5) 已知 ABC顶点A(3，-1 ) ,AE边上的中线所在直线的方程为 6x+10y 59=0, 的平分线所在的方程为x 4y+10=0,求EC边所在的直线方程2x 9y 650)；(3,4)的距离之差(答：(6) 直线2xy4=0上有一点P,它与两定点A( 4, 1)、E最大，则P的坐标是(答：(5,6);(7) 已知A x轴，B I: y x , C (2, 1), VABC周长的最小值为 (答：10 )o提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。九.简单的线性规

11、划：1. 二元一次不等式表示的平面区域： 法一：先把二元一次不等式改写成y kx b 或y kx b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包含直线 I，有等号时用实线表示包含直线I ;设 点 P(X1,yJ，Q(X2,y2)，若 A% By1 C与 Ax? By? C 同号，贝U P，Q 在直线 l 的同侧， 异号则在直线I的异侧。如已知点A ( 2, 4)，B (4, 2)，且直线I : y kx 2与线段AB恒相交，则k的取值 范围是(答：，-3 U 1，+)2. 线性规划问题中的有关概念： 满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条

12、件叫线性约束条件。 关于变量x,y的解析式叫目标函数，关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函 数; 求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； 满足线性约束条件的解(x,y )叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；3. 求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条件列出不等式；作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如(1) 线性目标函数z=2x-y在线性约束条件1下，取最小值的最优解是 (答：(-1,1)；(2) 点(一2, t)在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围

13、是(答:t |)；(3) 不等式|x 1| |y 1| 2表示的平面区域的面积是 (4)如果实数x, y满足X X2XZ(答：8);2y 4 |的最大值21)4.在求解线性规划问题时要注意 注意作图规范。 十.圆的方程：1圆的标准方程：2.圆的一般方程：(答：将目标函数改成斜截式方程； 寻找最优解时2x a2xD2+ E2-4F 0 时，方程 x22y2yyDx Ey2 r2。Dx Ey0(D2+ E2-4F 0),特别提醒：只有当0才表示圆心为(子)，半径为1 . D2 E2 4F的圆(二元二次方程 Ax22是什么？ ( A C 0,且B 0且D3. 圆的参数方程：；匕rsin参数方程的主要

14、应用是三角换元：x2x r cos , y rsin (0 r t)。4. A X1,% ,B X2,y2为直径端点的圆方程(1)圆C与圆(x 1)2 y2 1关于直线yBxyCy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件E24AF0);a r cos为参数)r2,其中圆心为(a,b)，半径为r cos , y圆的为 x x2x对称，则圆y yi yc的方程为y2程为范围(3)(4)是(5)(6)(答：x2圆心在直线2x y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 (答：已知p(仁3)是圆x ；cos ,P点对应的值为(x 3)2 (y 3)29或(x 1)2(为参数，02 )上的点,，过P点的

15、圆的切线方程是(答：；牛；x 如果直线I将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么方程x2+y x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为(y 1)1 )；(y 1)2 1 )；则圆的普通方 3y 40);I的斜率的取值(答:(答:0, 2);若 m (x,y)i y 3cos (为参数，°，则b的取值范围是) , N (x,y)|yk扌)；x b，若.点与圆的位置关系：已知点(1) 点点(3)点在圆C外在圆C内CMCM在圆c上CMXo,yoXoXoXo及圆C:2 a2a2ayoyoyo2x-a2bb 22by2r ；2r ；2r 。2点P(5a+1,12a)在圆

16、(x 1 ) + y2=1的内部，则a的取值范围是(答:2r r 3,3.2 )1(答：lai -)十二。直线与圆的位置关系：直线I : Ax By C 0和圆C: x a y b r2 r 0有相交、相离、相切。可 从代数和几何两个方面来判断：(1) 代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)0 相离； 0 相切；(2) 几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)r 相交；o 相交;则d几何方法较简捷。(1)圆2x2d r 如2y2相离；d r1与直线xsin若直线ax by3 0与圆x2(3)直线x2y 0被曲线x2 y2:设圆心到直线的距离为d ,相切。提醒：判断直线与圆的位

17、置关系一般用6x10( R,k2k z)的位置关系为(答：相离)； 4x 10切于点P( 1,2)，则ab的值(答：2)；2y 15 0所截得的弦长等于(答：4庚)；一束光线从点A( 1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是(答：4);(5) 已知 M(a,b)(ab 0)是圆 0:x圆(公共弦)系为f(x,y)g(x, y) 0，当 1时，方程f (x, y) g(x,y) 0为两圆公共弦所在直线方程.十五.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的 平面几何性质的作用(如半径、 半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! y2 m

18、和直线l : ax by r2，贝UA . m/1，且I与圆相交B . lC. m/l，且I与圆相离D . Ir2内一点，现有以M为中点的弦所在直线m，且I与圆相交m，且I与圆相离(答：C);(6) 已知圆C: x2 (y 1)25，直线L: mx y 1 m 0。求证：对m R，直线L与圆C总有两个不同的交点；设L与圆C交于A、B两点，若AB ,17，求 L的倾斜角；求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.(答：60°或120°最长：y 1，最短：x 1)十三.圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断)：已知两圆的圆心分 别为01, 02，半径分别为JR，则(1) 当IO1O2 r1 2时，两圆外离；(2) 当IO1O2 A 2时，两圆外切；(3) 当1 DVIO1O2 1 2时，两圆相交；(4) 当IO1O212 |时，两圆内切；(5) 当0 IO1O2 1 2丨时，两圆内含。女口2 2双曲线2与1的左焦