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1、五法求二面角一、定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱 垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例1如图,四棱锥S ABCD中,底面ABCD为矩形,SD底面ABCD , AD 质/VDC SD 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ABM =60/; /飞(I)证明:M在侧棱SC的中点(II)求二面角S AM B的大 力产小。练习1如图,已知四棱锥P-ABCD,底面 ABCD为菱形,PAL平面 ABCD,ABC 60 ,E, F 分别是 BC, PC 的中点.(I )证明:AEX
2、PD; ( H )若 H 为 PD 上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为 与 求二面角EAFC的余弦 值.二、二垂线法三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直.通常当点 P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二 面角的大小。AFB例2.如图,在直四棱柱ABCD-A iBiCiDi中,底面ABCD为等腰梯形,AB/CD , AB=4, BC=CD=2, AA i =2, E、Ee F 分别是棱 AD、 AA1、AB的中点。(i)证明:直线EEi平面FCCi; (2)求二面角B-FCi-C : 的余弦值。Ei练习2如图,在四棱锥P AB
3、CD中,底面ABCD是矩形.已知 AB 3,AD 2, PA 2, PD 2短,PAB 60 .(I)证明AD平面PAB;(H)求异面直线PC与AD所成的角的大小;(田)求二面角P BD A的大小.三.补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线 的求二面角题目时,要将两平面陟图形补充完整,使之有明确 的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。 即当二平面没有明确的交线时,一般麻卜味解决例3如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,/ BCD = 60 , E是CD的中点,FAL底面ABCD, FA=2.(I)证明:平面 PBEL平面PAB;(II)求
4、平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.练习3已知斜三棱柱ABCAiBiCi的棱长都是a,侧棱与底面成600的角,侧面 BCCiBi,底面 ABC。(1)求证:ACiBC;(2)求平面ABiCi与平面ABC所成的二面角(锐角)的大小。S寸影四、射影面积法(cosq=飞-)凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos 且)求出二面角的大小。S例4. (2008北京理)如图,在三棱锥P ABC中,AC BC 2,ACB 90o,AP BP AB , PC AC .(I )求证:PC AB ;(H)求二面角B AP C的大小;PACB
5、练习4:如图5, E为正方体ABCD A1B1C1D1的棱CCi的中点,求平面ABiE 和底面AiBiCiDi所成锐角的余弦值.五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法,可以说所有的立体几 何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系, 写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算 解题。例4: (2009天津卷理)如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD/BC/FEAB AD, M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE= - AD 2(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II)证明平面AM
6、D 平面CDE;求二面角A-CD-E的余弦值。练习5、(2008湖北)如图,在直三棱柱ABC AB1C1中,平面ABC 侧面AABB1.(I )求证:AB BC ;(H )若直线AC与平面ABC所成的角为,二面角A BC A的大小为,试判断 与 的大小关系,并予以证明.二面角大小的求法的归类分析一、定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;P例1在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PAL平面ABCD ,PA=AB=a,求二面角B-PC-D的大小。二、三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定
7、理或逆定理作出二面角的平面角;例2在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,PA,平面ABCD , PA=AB=a, /ABC=30 ,求二面角P-BC-A的大小。平面的交线所成的角即为平面角, 面与棱垂直;由此可知,二面角的平面角所 P在的平三、垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半例3在四棱锥P-ABC , ABC虚正方形,PL平面ABCD PA=AB=a求B-PC-D的 大小。四、射影法:利用面积射影公式 S射=$原cos ,其中 为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;例4在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PAL平面ABCD , PA= AB
8、 = a,求 平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。五、:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。例5、在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PAL平面ABCD , PA= AB=a,求平面PBA与平面PDC所成二面角卜的大小。(补形化 为定义法)二面角大小的求法答案定义法:本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S-AM一B中半平面ABM上的一已知点(B)向棱AM作垂线,得垂足(F);在另一半 平面ASM内过该垂足(F)作棱AM的垂线(如GF),这两条垂线(BF、GF)便 形成该二面角的一个平面角,再在该平面
9、角内建立一个可解三角形,然后借助直角 三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1 (2009全国卷I理)证略解(II):利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BF AM交AM于点F ,则点F为AM的中点,过F点在平面ASM内作GFAM , GF 交 AS 于 G,连结 AC,ADC2 AAD5SAS-AC 同 M 是 SC 的中AML SQ GFLAM GF/ AS,又 F 为 AM 的中点,线,点G是AS的中点。则 GFB即为所求二面角.SM 行S的中位GF,ASAAC J6 , 二 AM2,AM AB 2 , ABM 600 ABM 是等边三角形,BF V3 ,在可中,AG * AB
10、2, GAB 900 , A BG 居4 月cos BFG GF、FB2 2GF FBBG211132 _ 222 一 322-6,.二二面角 S AM. 63B的大/、为arccos(上6)3练习1 (2008山东)分析:第1题容易发现,可通过证AELAD后推出AE平面APD 使命题获证,而第2题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段 的长度之后,考虑到运用在二面角的棱 AF上找到可计算二面角的k平面角的顶点S,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值。(答 /i V 案:二面角的余弦值为管)二、三垂线法本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如(例 c2)过二面角B-FCi-
11、C中半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FCiC的垂线,得垂足O;再过该垂足O作棱FCi的垂线,得垂足P,连结起点与终点得斜线段PB,便形成了三垂线定理的基本构图(斜线 PB、垂线BO、射影OP)。再解直角 三角形求二面角的度数。例2. (2009山东卷理)证(1)略解(2)因为AB=4, BC=CD=2,、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF, BCF为正三角形,取CF的中点。,则OBXCFX 因为直四棱柱 ABCD-A i B iC iD i中,CCi,平面 ABCD,所以CCBO,所以OBL平面CCiF,过O在 平面CCiF内作OP,CiF,垂足为P连接BP则/OPB为二面角
12、B-FCi-C的一个平面角,在4BCF为正三角形中,ob V3,RtACCiF中,OPFs/CCiFOP OF /. OP i 2 疙,CG *-22-22一 一2一在RtzOPF中,bp vOPTB2 厂 正,npR op盘 .,所以二面角B-FCi-C的余 cos OPB 227BP ,T4 72弦值为7 .尸7练习2 (2008天津)分析:本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题,在证明ADL平面PAB后,容易发现平面PABL平面ABCD)点P就是二面角P-BD-A的半 平面上的一个点,于是可过点 P作棱BD的垂线,再作平面ABCD勺垂线,于是可形 成三垂线定理四勺斜线与射影内容,从而
13、可得本解法。(答案:二面角P BD A的大小为 arctan -39-) 4三.补棱法例3 (2008湖南)分析:本题的平面PAD和平面PBE没有 明确的交线,依本法显然要补充完整(延长 AD、BE相交于 点F,连结PF.)再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形 成二面角的平面角解之。(I )证略解:(H)延长AD、BE相交于点F,连结PF. 过点A作AHLPB于H,由(I )知,平面PBEL平面 PAB,所以AHL平面PBE.在 RtABF 中,因为/ BAF=60 ,所以,AF=2AB=2=AP.在等腰RtAFAF中,取PF的中点G,连接AG.则AGLPF.连结HG,由三垂线定理的逆定理
14、得,PFLHG.所以/ AGH是平面 PAD和平面PBE所成二面角的平面角(锐角).腰 Rt FAF 中, AG 啦 PA 亚.在 Rt A PAB 中, 2APgABAH_APgAB_22jPB,AP2 AB255 .2.5_所以,在RtAAHG中,sin AGH 空爷叵.故AG 25平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是arcsin,10. 5练习3提示:本题需要补棱,可过A点作CB的平行线L (答案:所成的二面角为45O)s寸影四、射影面积法(cosq=)S又 PC AC , PC BC .又 ACB 90o,即 AC AP 中点 E .连结 BE, CE . Q AB BP
15、, BEBC ,且 AC I PC C , BC 平面 PAC .取AP. Q EC是BE在平面PAC内的射影,例4. (2008北京理)分析:本题要求二面角 BAPC的大小,如果利用射影面 积法解题,不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别 求出S原与S射 于是得到下面解法。 解:(I)证略(H) Q AC BC, AP BP, AAPCABPC .CE AP .内的射影,于是可求得:AB2 AE2 ACE 是 ABE 在平面 ACPAB BP AP v AC2 CB2 2V2 , BES射 S ace 1AE ?CE 1V2 ? 72 1 , 22S原 S abe
16、1 AE?EB ;、2? 63 ,设二面角B AP C的大小为,则cos 包S原3 _面角B AP C的大小为arccos 3练习4:分析 平面ABiE与底面A1B1C1D1交线即二面角的棱没有给出,要找到二 面角的平面角,则必须先作两个平面的交线,这给解题带来一定的难度。考虑到三 角形ABiE在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1,从而求得两个三角形的面 积即可求得二面角的大小。(答案:所求二面角的余弦值为cose )五、向量法 例4: (2009天津卷理)现在我们用向量法解答:如图所示,建立空间直角坐标系,以点A为坐标原点。设 AB 1,依题意得B 1,0,0 , C 1,1,
17、0 ,D 0,2,0 ,E 0,1,1, F0,0,1,m 1,1.(I)解:BF2210DE ,1于是cos;BU,DE)萃 4二所以异面直r :BFDE 丫2?、,22线BF与DE所成的角白勺大小为600.(II)证明:由 AM,11,1 , CE1,0,1, AD 0,2,0,可得 cE?aM 0,2 2CE?AD 0.因此,CE AM, CE AD 又 AM AD A,故 CE 平面 AMD .而CE 平面CDE,所以平面 AMD 平面CDE.(山)解:设平面CDE的法向量为u (x,y, z),则u?CE,于是xz,令x1,可得u(1,1,1).u?DE0.yz0.又由题设,平面AC
18、D的一个法向量为v (0,0,1).练习5、(2008湖北)分析:由已知条件可知:平面 ABB1 A1,平面BO B1,平面ABCF是很容易想到以B点为空间坐标原点建立坐标系,并将相关线段写成用坐标 表示的向量,先求出二面角的两个半平面的法向量,再利用两向量夹角公式求解。(答案:arcsin-,且-,)222222、a c b . a c , a c总之,上述五种二面角求法中,前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律,后两种是两种不同的解题技巧,考生可选择使用PA AB1.、 AB=AD=a PA AD PBAB AD aBHPC于H,连结DH=DHXPC 故 /BHD 为二PBPD , BCPCPDDC PBD PDC ,过PC面角 B-PC-D 的平面角PB=a,BC=a,PC=6aPBBC=S4PBC=1PCBH22则BH= =DH又BD= J2a, ftABHD中由余弦定理,得:cos/ BHD = BH 2 DH 2 RD2 BH DH BD2BH gBD2一.236a 3a a26a 6 a331,又 0/ BHD 兀则/ BHD=2面角B-PC-D
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