九年级中考复习二次函数与圆的提高类综合练习(含答案解析)

1、二次函数与圆的综合习题类型一圆的基本性质应用例1：如图，在直角坐标系中，抛物线 y=a (x-)2+-与OM交于A, B, C, D四点,点A, B在x轴上，点C坐标为(0,-2).(1)求a值及A, B两点坐标；(2)点P (m, n)是抛物线上的动点，当/ CPD为锐角时，请求出 m的取值范围；(3)点E是抛物线的顶点，OM沿CD所在直线平移，点C, D的对应点分别为点 C；D,顺次连接A, C, D ； E四点，四边形 ACDE (只要考虑凸四边形)的周长是否存 在最小值？若存在，请求出此时圆心M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)A (1,0), B (4, 0). (2) m

2、v0 或 1VmV 4 或 m5.(3)存在.M(一，-2)【解析】解：(1)二.抛物线y=a (x) 2+-经过点C (0,-2),-2=a (0-) 2+一,:a=-, -y=- (x-) 2+-,当 y=0 时，-(x-)2+-=0, 1=4, x2=1 ,.A、B在x轴上， .A (1, 0), B (4, 0).(2)由(1)可知抛物线解析式为 y=- (x-) 2+-,C、D关于对称轴x=对称,. C (0,-2), .D (5,-2),：ac2+ad2=cd2,/ CAD=90 ,：CD为。M的直径，:当点P在圆外部的抛物线上运动时，/ CPD为锐角，m 0 或 1Vm5.(3)

3、存在.如图2中，将线段 C A平移至D F,则AF=C D =CD=5. A (1, 0), .F (6, 0),作点E关于直线CD的对称点E,连接EE正好经过点M ,交x轴于点N二.抛物线顶点(-，-)，直线CD为y=-2, E (-，连接E咬直线CD于H ,. AE, C匚是定值, .AC +ED最小时，四边形 AC D的周长最小，AC +D E=FD +D E=FD +E D,E F则当点D与点H重合时，四边形 AC D的周长最小， 设直线E F的解析式为y=kx+b , 七(-，一),F (6, 0),:可得y=x，当y=-2时，x=， H (一，-2), M (-，-2),.DD =

4、5= 一_ -=， .M (一, -2)针对训练1,已知二次函数y=ax22ax+c(a 1),请直接写出m的取值范围.I-3 -2 -1 O 12 3 4*【答案】(1) (2, 3), (3, 2). (2) A, B 两点坐标为(-1, 2)和(2, -1). (3) 1m 1+3【解析】解：(1)2X3=3X2=6,点(2, 3), (3, 2)是反比例函数y=-的图象上的一对关联点.故答案为：(2, 3), (3, 2).(2) .抛物线y = x2+bx+c的对称轴为直线x=1, - -= 1,解得：b= - 2 .,抛物线y = x2+bx+c与y轴交于点C (0, -1),c=

5、 - 1, 抛物线的解析式为y = x2- 2x-1.由关联点定义，可知：点 A, B关于直线y = x对称.又直线AB与x轴交于点D (1, 0), :直线AB的解析式为y=-x+1.联立直线AB及抛物线解析式成方程组，得：二一十 ，解得：， .A, B 两点坐标为(-1, 2)和(2, - 1).(3)由关联点定义，可知：点 M, N关于直线y = x对称,O T的圆心在直线y = x上. OT的半径为3, .M1M2 =二X2X3=3 一,m m的取值范围为1存1 + 3 一.类型二 与圆有关的位置关系例2.如图，已知点A (2, 0),以A为圆心作。A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点

6、为B,过B作OA的切线1.(1)以直线1为对称轴的抛物线过点 A,抛物线与x轴的另一个交点为点C,抛物线的顶点为点E,如果CO=2BE,求此抛物线的解析式；(2)过点C作OA的切线CD, D为切点，求此切线长;【答案】(1) y=- (x-2) (x-6)； (2) CD=2;(3) BF的长为或【解析】（1） .A (2, 0), OA与y轴切于原点，.O A的半径为2.点B的坐标为为(4, 0). 点A、C关于x=4对称，：C (6, 0).又 CO=2BE , E (4,-3)设抛物线的解析式为 y=a (x-2) (x-6), (aw。; 抛物线经过点E (4,-3):-3=a (4-

7、2) (4-6),解得：a=.:抛物线的解析式为y= - (x-2) (x-6)；(2)如图1所示：连接AD ,图1 AD是OA的切线，:/ ADC=90 , AD=2 , 由(1)知，C (6, 0). . A (2, 0), :AC=4在 RtAACD 中，CD2=AC2-AD2=42-22=12:CD=2(3)如图2所示：当FBI AD时，连结AD . ./ FBC= / ADC=90 , / FCB= / ACD ,FBCAADC ,:一=一，即一=.解得：CF=.如图3所示：当BFLCD时，连结AD、过点B作BFLCD,垂足为F.三图3,. AD LCD, ：BF / AD：CF=综

8、上所述，BF的长为 二或,针对训练1 .如图，抛物线y=x2- 4x - 1顶点为D,与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C.（1）求这条抛物线的顶点 D的坐标；（2）经过点（0, 4）且与x轴平行的直线与抛物线 y=x2- 4x- 1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作。P,过点D作OP的切线，切点为 E,求点DE的长;（3）上下平移（2）中的直线MN ,以MN为直径的。P能否与x轴相切？如果能够,求出OP的半径；如果不能，请说明理由.【答案】（1）点D的坐标为（2, -5）； （2） DE=6 -；（3）能够相切，理由见解析【解析】(1) y=x2-4x-1=x2-4x+4-

9、5= (x-2) 2-5,:点D的坐标为（2,-5）；（2） .当 y=4 时，x2-4x-1=4 ,解得x=-1或x=5 ,：M坐标为（-1 , 4）,点N坐标为（5, 4）, ：MN=6 . P的半径为3,点P的坐标为（2,4）, 连接PE,则PE DE,.PD=9, PE=3,根据勾股定理得DE=6 一 ；(3)能够相切.理由：设。P的半径为r,根据抛物线的对称性，抛物线过点(2+r, r)或(2+r, -r),代入抛物线解析式得：(2+r) 2-4 (2+r) -1=r,解得r=或r= (舍去)，把(2+r, -r)代入抛物线得：(2+r) 2-4 (2+r) -1=-r,解得：r=,

10、或 r= (舍去).2.如图，。P的圆心P (m, n)在抛物线y=- 上.(1)写出m与n之间的关系式；(2)当。P与两坐标轴都相切时，求出。 P的半径；(3)若。P的半径是8,且它在x轴上截得的弦MN,满足0砌N2一时，求出m、 的范围.【答案】(1) n=-m2； (2)。P 的半径为 2； (3)- 4; 7【解析】解：(1) ;点P (m, n)在抛物线y=- 上, n = -m2 ；(2)当点P (m, - m2)在第一象限时，由。P与两坐标轴都相切知 m = -m2,解得：m = 0 (舍)或m = 2,OP的半径为2；当点P (m, -m2)在第三象限时，由。P与两坐标轴都相切

11、知- m = -m2,解得：m = 0或m= - 2,OP的半径为2；(3)如图，作PKXMN于点K,连接PM,当 MN=2 一时，MK =-MN = 一,. PM = 8,则 PK= =7,当 MN =0 时，PK = 8,.74PKC& 即 7 3 n= 一m2, -7m2K8,解得： m域-4& m.类型三构造圆与隐形圆与x轴交于两点，与y例3：已知：如图1,抛物线轴交于点C,点D为顶点.求抛物线解析式及点 D的坐标；若直线l过点D, P为直线l上的动点，当以A、B、P为顶点所作的直角三角形有 且只有三个时，求直线l的解析式；如图2, E为OB的中点，将线段 OE绕点O顺时针旋转得到，旋

12、转角为，连接、，当 - 取得最小值时，求直线 与抛物线的交点坐标.【答案】（1）; （2）一 一 或一；（3）一.【解析】抛物线与x轴交于， 两点，抛物线的顶点坐标为过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线 l总是有交点的，即2个点Q.以AB为直径的如果与直线l相交，那么就有2个点Q；如果圆与直线l相切，就只有1个点Q 了.如图所示：以AB为直径作，作QD与 相切，则，过Q作.点Q的坐标为设l的解析式为，则-，解得： 一，直线l的解析式为.由图形的对称性可知：当直线 l经过点 一 时，直线l与 相切,则 -，解得：一，一，直线l的解析式为 .综上所述，直线l的解析式为一 一或 一.如图所示

13、：取M使连接， 一, 一PET QC两当M、 、B在一条直线上时，-有最小值，-的最小值- 二.针对训练1 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点 A( - 1, 0), B (0,-)，C (2, 0),其对称轴与x轴交于点D(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)若P为y轴上的一个动点，连接 PD,求-PB+PD的最小值；(3) M (x, t)为抛物线对称轴上一动点若平面内存在点 N,使得以A, B, M, N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个； 连接MA , MB ,若/ AMB不小于60,求t的取值范围.【答案】（1）抛物线解析式为y=x2

14、- x - -,顶点坐标（-，-）；（2） -PB+PD的最小值为 二；（3）5；取值范围是一二一二【解析】（1）方法一：设二次函数的表达式为 ,二44*1乩1-2）, B （0,）代入解得 -tta- 一. : : 一I顶点坐标为 :28方法二：也可以用三点式设 V+九T +广代入三点或者顶点式设=代入两点求得。如图，过P点作DELAB于E点，由题意已知/ ABO=30 . , ：2二.：* n 收-2要使，纪事.口。最小，只需要D、P、E共线，所以过D点作DEXAB于E点，与y轴的交点即为P点.3由题意易知，/ ADE=/ABO=30 , AD=2，IyJj士 PB + PD= PE”D

15、= D =上24若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，分两种情况，由题意知，AB=2,若AB为边菱形的边，因为 M为抛物线对称轴上的一点，即分别以A、B为顶点，AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点，这样的M点有四个，如图若AB为菱形的对角线，根据菱形的性质，作 AB的垂直平分线与对称轴的交点即为M占八、.综上所述，这样的 M点有5个，所以对应的N点有5个.如图，作AB的垂直平分线，与y轴交于F点由题意知，AB=2 , /BAF=/ABO=30 , A AFB=120:以F为圆心，AF的长为半径作圆交对称轴于 M和M点，则/ AMB= / AMB= 4 /2AFB=60-zZ BAF= /

16、ABO=30OA=1：/FAO=30 , AF=：b5=FM=FM , OF=12，过 F 点作 FGMM于 G 点，已知 FG= 1332一 AIG = MG = 7FM* FG，=，又.G(t-)M( d百)M( 1,7狗-2、3262,6一回邛回一 ,66方法二：设M1，J), M到点F(0, 立)的距离d=AF=33也可求得.2332.如图，抛物线y= - -x2+bx+c与x轴交于A、B (A左B右)，与y轴交于C,直线 y=-x+5 经过点 B、C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P为第二象限抛物线上一点， 设点P横坐标为m,点P到直线BC的距离为d, 求d与m的函数解析式；(3)【解析】(1) 丁直线y=-x+5经过点B、C, .B (5, 0), C (0, 5),把B、C坐标代入y= - -x2+bx+c得到:解得;二次函数的解析式为 y= - -x2+-x+5；(2)如图1中，作PE BC于E,作PF/ AB交BC于F.图1P (m, - -m2+-m+5),PF/ AB ,:点F的纵坐标为-m2+-m+5 ,贝”有-m2+-m+5 = - x+5 , x= -m2 - -m,;PF=-m2 - -m - m= -m2 -m,. OB = OC, / BOC = 90,：/EFP