三角函数公式和积化和差公式汇总

1、三角函数公式积化和差公式汇总三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtanA tanBtan(A+B)=1-tanAtanBtanA tanBtan(A-B)=1 tanAtanBcotAcotB -1cot(A+B)=cotB cotAcotAcotB 1cot(A-B)=cotB cotA倍角公式2tanAtan2A =1tan2ASin2A=2SinA?CosACos2A = Cos2

2、A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA) 3cos3A = 4(cosA) 3-3cosAtan3a = tana- tan(一 +a) - tan(一-a)半角公式A1cos Asin(-)= 4 2A1cos Acos( )= -A1 cosAtan( )=.21 cosAA1 cos A回)=.21 cosAA 1 cosA sin Atan( )=2 sin A 1 cosA和差化积ababsina+sinb=2sin cosababsina-sinb=2cos sinababcosa+cosb = 2cos cosaba

3、bcosa-cosb = -2sin sinsin(a b)tana+tanb=cosacosb积化和差sinasinb = - cos(a+b)-cos(a-b)2cosacosb = cos(a+b)+cos(a-b)2sinacosb = sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb = sin(a+b)-sin(a-b)2诱导公式sin(-a) = -sinacos(-a) = cosasin(a) = cosacos(- a) = sinasin( 一 +a) = cosacos( +a) = -sinasin( -a) = sinacos( -a) = -cosasin(兀

4、 +a)-sinacos(兀 +a) -cosasinatgA=tanA =cosa万能公式a2 tan2sina=a 21 (tana)21叫)2cosa=a 21叫)2 a 2tan,2tana=1 (tan2)2其它公式,2 2、a?sina+b?cosa (ab ) x sin(a+c)其中 tanc=a?sin(a>b?cos(a)= .(a2 b2)x cos(a-c)其中tan(c)=b1+sin(a) =(sin +cos )2221-sin(a) = (sin -cos )222其他非重点三角函数1csc(a)=sin a1sec(a)=cosa双曲函数a -a e -

5、e sinh(a)=2a -a e e cosh(a)=2sinh(a)tg h(a)=一cosh(a)公式一:设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k Tt+ a) = sin acos (2k Tt+ a) = cos atan (2k 什 a) = tan acot (2k 什 a) = cot a公式二：设a为任意角，it+咕勺三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin (兀+ a) = -sin 0cos ( Tt+ a) = -cos atan ( Tt+ a) = tan acot ( Tt+ a) = cot a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的

6、关系：sin (- a) = -sin acos (- a) = cos atan (-a) = - tan acot (-a) = - cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到小a与a的三角函数值之间的关系：sin ( - a) = sin acos ( Tt a) = -cos atan ( a) = -tan acot ( Tt a) = -cot a公式五：利用公式-和公式三可以得到2Tt-a与a的三角函数值之间的关系：sin (2ita) = -sin acos (2 / a) = cos atan (2 n-a) = - tan acot (2 n-a) = - cot a公式

7、六：3一土汲 士南a的三角函数值之间的关系：22sin ( + a) = cos 民cos ( + a) = -sin atan ( + a) = - cot 民cot ( + a) = - tan asin (d) = cos acos ( - d) = sin atan (d) = cot acot (d) = tan asin ( + a) = -cos &cos ( + a) = sin a2tan ( + a) = -cot a2cot ( + a) = -tan a2sin ( a) = -COS a2cos (a) = -sin 民2tan (a) = cot a2cot

8、 ( a) = tan a2(以上ke Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来，希望对大家有用A?sin( a t+ 9 )+ B?sin( (ot+ (j>)=V'A2 B2 2ABcos( ) xt arcsin(Asin Bsin )sin2 _2 _ _,AB2ABcos()判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根b2-4ac>0注：方程有一个实根b2-4ac<0注：方程有共期复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAs

9、inB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式 sin(A/2)= V(-(cosA)/2) sin(A/2)=- a/(1cosA)/2)三角函数

10、公式证明(全部)2009-07-08 16:13公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b| <|a|+|b- WW|a|+|b| |a|4b<=>b|a-b|?1ab| -|a| w a* |a|一元二次方程的解-b+V (b24ac)/2a -b-b+V (b24ac)/2acos(A/2)= V(1+cosA)/2) cos(A/2)=/ (1+cosA)/2)tan(A/2)= V-cosA)/(1+cosA)tan(A/2)=- V(-cosA)

11、/(1+cosA)ctg(A/2)= v/(1+cosA)/(cosA)ctg(A/2)=- a/(1+cosA)/(1cosA)和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB根

12、与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+ +(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+ +(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+ +n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+ n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+nn+1)=n(n+1)(n+

13、2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角正切定理 :(a+b)/(a-b)=Tan(a+b)/2/Tan(a-b)/2圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注： D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1

14、/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到 2 组积化和差:相加：cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)/2相减：sinAsinB=-co

15、s(A+B)-cos(A-B)/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到 2 组积化和差:相加：sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)/2相减：sinBcosA=sin(A+B)-sin(A-B)/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加 余正正减斜棱柱体积 V=S'L注：其中，S是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h三

16、角函数积化和差 和差化积公式余余余加正正余减还负记不住就自己推，用两角和差的正余弦：3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA tanB tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2c=4sinA sinB sinC8*. Sin(3 兀-/2 户cos 民 cos(3 兀/2a )=sin a9*. Sin( 兀 /2+ 民产cos 民 cos(兀 /2+a)=sin a1

17、0*.sin(3 兀/2+ -Cos 民 cos(3 兀 /2+ a )=sin a二、两角和与差的三角函数(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-12. S( a + 0 ): sin( a + 0 )=sin H cos 0 +cos 仪 sin 0C( a + B ): cos( a + 0 尸cos -sicosx (sin 03. S(-斓)：sin( - 0 )=sin 仪 coscos 仪 sin 0已知 sin a =m sin( a+20), |m|<1E tan( a+0)=(1+m)/-m)tan 0C( a- 0 ): cos( -

18、 0a)=cos a cos 0 +sin a sin B4. T( a+B):解:sin a=m sin( a+20)( p ):5*.sin(a+ 邢)=msin(a+ B + B )三、二倍角公式sin(a+ 0 )co&os(a+ 0 )sin 0 =msin(a+ 0 )cos 0+mcos(a+ 0 )sin 01. S2 民; sin2 a =2sin a cos asin(a+ B)cos-m)(1cos(a+ 0 )sin 0 (m+1)2. C2a: cos2 0=cos?2s in2a3. T2 :tan2 & =(2tan -tan0 & )4.

19、 C2a ' : cos2 -2slh2 atan( a + 0 )=(1+m)/m)tan 0cos2 0=2cos2 -1一、诱导公式口诀：(分子)奇变偶不变，符号看象限。1. sin ( a+k?360)=sin&cos (民 +k?360)=cos a tan ( & +k?360)=tan&2. sin(180° + 摘忏 acos(180 ° + p-cosa3. sin(- a )=sina cos(- a)=cos a4*. tan(180° + a 尸tan atan(- a )=tan a5. sin(180 -

20、a )=sin acos(180 - a )=cos a6. sin(360 -阳尸sin acos(360 - a )=cos a7. sin( 汇/2)=cos 民cos(兀/2a )=sin a四 * 、其它杂项(全部不可直接用)1 辅助角公式asin a +bcos a = sin(a+ , 其卉 tan <j> =b/a,其终边过点(a, b) asin a +bcos a = cos-a )其中 tan <j> =a/b,其终边过点(b,a)2降次、配方公式降次：sin2 9 =(-1cos2 9 )/2cos2 0 =(1+cos2 0 )/2配方1 + sin 9 =sin( 9 /2) ± cos( 9 /2)21+cos 0 =2cos2( 0 /2)1-cos 9 =2sin2( 9