《高等数学》应用实例

1、蚂蚁文库 高等数学应用18例一、椅子能在不平的地面上放稳吗?二、磁盘的最大存储量三、有趣的Fibonacci数列四、分形几何中的 Koch雪花五、工人上班何时效率最高？六、石油的消耗量七、捕鱼成本的计算八、飞出火星九、萃取问题十、最优化的产出水平十一、蚂蚁逃跑问题十二、资金配置问题十三、家庭教育基金问题十四、分针与时针重合问题十五、证明e是无理数十六、湖泊的污染问题十七、减肥问题十八、冷却定律和破案、椅子能在不平的地面上放稳吗?要回答这个问题，我们先要做一些合理的假设:四脚的连线是一个正方形;(1) 椅子的四条腿长度相等， 椅脚与地面接触处视为一个点,(2) 地面是一个连续曲面，没有象台阶那样

2、的情况；(3) 地面是相对平坦的，即在任何位置至少有三只脚着地；在以上假设下，问题就是四只脚A、B、C、D能否同时着地？为此我们以四脚的中心为原点建立坐标系(如图)，再以原点为中心旋转椅子，用 0表示旋转的角度，并引入函数f( 0 )表示A、C两腿与地面的距离之和， 函数 g( 0 )表示B、D两腿与地面的距离之和，且不妨假设f( 0卜 g(。)都是连续函数，又因在任何位置至少有三只脚着地， 所以对任何。，有f(。)g(。)=0。于是，椅子能在不平的地面上放稳的问题就转化为：是否存在。0,使f( 0 0)=g( 0 0)=0?回答是肯定的，下面是其证明。不妨假设开始时f(0)>0,g(0

3、)=0 ,现将椅子旋转 900(兀/2),对角线 AC与BD互换，由 f(0)>0,g(0)=0 可知 f(兀/2)=0,g(兀/2)>0。令 h(0 )= f( 0 )-g( 0 ),则 h(0)>0,而 h(兀/2)<0,根 据连续函数的介值定理知，必存在0 0(0<。0<兀/2),使f( 0 0)-g( 0 0)=0。最后，因为f( 0 0)g( 0 0)=0 ,所以 f( 0 0)=g( 0 0)=0。这种通过对实际问题先作合理的假设，最后转化成一个纯粹的数学问题并求解的方法就是数学建模。有兴趣的同学可以参考一下这方面的书籍。思考：若椅子的四脚的连线

4、是一个长方形，如何证明椅子仍能在不平的地面上放稳？二、磁盘的最大存储量计算机使用的软磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区， 磁道指不同半径构成的同心轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。 磁道上的定长弧段可作为基本存储单位，存储一位，称为 bit。为了保障分辨率，磁道的宽度必须大于p t,每bit所占用的磁道长度不小于p为了检索的便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的bit数。现有一弓半径为 R的磁盘，存储区是半径介于r和R之间的环形区域，试确定r,使磁盘具有最大的存储量。R - r ,一 解：由题知，存储量=磁道数x每磁道的 bit数，另磁道数最多可达 ，由于

5、每磁：t道具有相同的bit数，所以为获得最大的存储量，最内的一条磁道必须装满，即每条磁道上 的bit数可达到2U。于是，总存储量:br( R - r)B(r)：r为求B(r)的最大值，计算 B'(r)=(R-2r)得驻点 r = R2 R 一-2二R：故当r = 5时磁盘具有最大存储量，此时最大存储量为Bmax =万1-7 三、有趣的Fibonacci数列有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔， 而所生小兔也在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后也每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且无死亡，试问一年后共有小兔几对？这是意大利数学家

6、 Fibonacci在1202年所著“算法之书”中的一个题目。通过简单的推 算，我们不难得到每月末的兔子队数为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233,即一年末共有兔子 233队。这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。若记 Fo = 1, Fi = 1, F2 = 2, F3 - 3, F4 = 5, F5 = 8,.,则此数列满足递推关系:其通项公式为：FnFn 2 =Fn1 Fn (n= 0,1,2,.)15n1,15n”(c ) 一( c )22这最先是由法国数学家 Binet (比

7、内)求出的。Fibonacci数列与自然、社会生活中的许多现象都密切相关，比如蜜蜂的“家谱”图、钢琴音阶的排列、树的分支等都与Fibonacci数列有关。为此，美国还专门出版了一份Fibonacci数列季刊，以登载它在应用上的新发现及有关理论。思考：有一条n阶楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，问登上去共有几种走法？（答案：Fn种）四、分形几何中的 Koch雪花所谓Koch雪花，它其实是一种通过递归方式生成的几何图形。设有单位边长的正三角3形，如图，则其周长为 Pi = 3 ,面积为Ai =。4现将每条边三等分， 以每条边中间一段为边向外做正三角形，如图，则每条边生成的四 4 ,条新边的长度之和

8、是原来每条边的长度的一倍，同时，生成三个新的三角形，每个的面积3A2.1 t=Ai + Ai ,依次进行下去，并3 14为原二角形面积的 一，故总周长P2 = P1 ,总面积 931. 注意到（1）每一条边生成四条新边，边长变为原来的1 ; （2）下一步，四条新边共生成四3 一 1个新的小三角形，面积是以生成前的边为正三角形的面积的1,故得到:944 ;上1 2P3=P2 =| P1 , A3 = A2 + 3 M4父(_) M A13 k3)94 4 '31 3P4= - P3= - IP1,A4=A3+3M4M4M(_)3 MA1,3<3 J9An= An3 4n”(1广 A

9、19111 一=A13A13 4(一)2Al.34n( )nA199914 n-(1 -(-)二 A A-3-9n -2,3,4,.A1A141 一一9于是 lim Pn =' , lim Ann .n一二五、工人上班何时效率最高？对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8: 00开设工作，在t小时之后，生产出Q(t) 73 9t2 12t个晶体管收音机，问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？解：求这个工人几点钟工作效率最高，就是问早上几点钟这个工人的生产效率取到最大值。那么，现在首先的问题是生产效率如何表示？根据题目的假设，产量是Q(t),故生产率就是产量的变

10、化率，即生产率函数R(t) =Q'(t) = -3t218t 12假定上午班是从早上8: 00到中午12: 00,则问题就转化为求函数R(t)在区间0EtEt上的最大值，由R'(t) =-6t+18 = 0得函数的驻点t=3,即在当t=3时工作效率最高，此时 时间是上午11: 00。六、石油的消耗量近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07, 1970年初，消耗率大约为每年161亿桶。设R(t)表示从1970年起第t年的石油消耗率，则R(t) = 161e0.07t (亿桶)。试用此式估计从 1970年到1990年间石油消耗的总量。解：设T(t)表示从

11、1970年间石油消耗的总量，即求 T(20)。由于T(t)是石油消耗的总量，所以T'(t)就是石油消耗率R(t),即T'(t)= R(t)于是 T(t) = R(t)dt = 161e0.07tdt = 61 e0.07t c = 2300e0.07t c0.07因 T(0)=0 ,故 c=-2300得 T(t) = 2 3 0(00.07t -1)从1970年间石油消耗的总量为：T(20) = 2300(e0.07凌0 -1)之7027 (亿桶)。七、捕鱼成本的计算在鱼塘中捕鱼时，鱼越少捕鱼越困难，捕捞的成本也就越高，一般可以假设每公斤鱼的 捕捞成本与当时池塘中的鱼量成反比。

12、10 x假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤的捕捞成本是 空0-元，已知鱼塘中现有鱼 10000公斤，问从鱼塘中捕捞 6000公斤鱼需花费多少成本?解：根据题意，当塘中鱼量为 x时，捕捞成本函数为2000ax)= (x 0)假设塘中现有鱼量为 A,需要捕捞的鱼量为 To当我们已经捕捞了 x公斤鱼之后，塘中 的鱼量为A-x ,此时再捕捞Ax公斤鱼所需要的成本为2000C = C( A - x) x = x10 (A - x)T 200010 A因此，捕捞T公斤鱼所需成本为C =dx = 2000 In0 10 (A - x)10 (A -T)将已知数据A=10000kg,T=6000kg代入，可计算

13、出总捕捞成本为10010C = 2000ln=1829.59 (元)4010八、飞出火星火星的半径是6860千米，其表面的重力加速度是3.92米/秒2,若在火星上发射一枚火箭，试问要用怎样的处速度才能摆脱火星的引力？解：设火星的半径为 R,质量为M,火箭的质量为 m,根据万有引力定律，当火箭离开火星表面距离为x时，它所受的引力为, kMmf -2(R x)2当x=0时,2f=mg ,因而 kM = R g所以f =2R gm(R x)2当火箭上升距离为 dx时，它克服火星引力所做的功为2 一 x)2 dx这就是功的“元素”，故当火箭从火星表面 x=0处达到高度 的总功为：x=h时它克服火星引力

14、所做2R gm 2 f 12 dx = R gm(R x)2RR1h)当hT y 时，W T Rgm ,所以初速度v0必须使动能-mv022Rgm ,火箭才能 2脱离火星引力。由此得 Vo之，2gR,而g=392cm/s2, R=3430X 105cm故v0 _ 2 392 3430 105 5.1 86km/s)注：众所周知，脱离地球引力所需要的速度为11.2km/s,由此看来，如果人类有一天能在火星上居住，那么从火星上乘宇宙飞船去太空遨游应当比从地球上飞去容易得多。九、萃取问题现有稀水溶液的醋酸，利用苯做溶剂分3次萃取来回收醋酸，问：如何分配苯量，才能使从水溶液中萃取出的醋酸最多？解：设苯

15、的总体积为 V ,水溶液的体积为 a,溶液中醋酸的初始浓度为 x0,并且我们假定每次萃取时都遵守下列定律：yi =kxi (i=1,2,3)(1)式中k为常数，y,Xi分别表示第i次萃取时苯中的醋酸浓度和水溶液中的醋酸浓度。现将苯的总体积 V分成V1 ,V2 ,V3三份。对第一次萃取做醋酸的平衡计算，即：醋酸总量=苯中的醋酸量+水溶液中的醋酸量，由醋酸的物料平衡计算，得：ax0 =V1yl +ax1(2)将(1)代入(2)有：x1工a V1k同理，对第二、三次萃取分别有:由(3) (4) (5)式得：x3 =a xo(a Vk)(a V2k)(a Vsk)为了在苯一定量时萃取出的醋酸量最多，x

16、3应为极小值，则只须考虑(6)分母的极大值，为此，设f MMM) =(a+V1k)(a+V2k)(a+V3k),问题转化为求fWzM)在条件V1 +V2 +V3 =丫下的极值问题。由Lagrange乘数法，设：F(Vi,V2,V3, ) =(a V1k)(a V?k)(a V3Q ' (M V2 V3 -V)TV = k(a +V2 k)(a +V3k) +九=0= k(a Vik)(a Vsk) =0= k(a V1k)(a V2k) =0解得：Vi = V2 = V3 =3Fq =V1 +V2 +V3 V = 0 /u不难验证，这时f取得最大值，从而 X3取得最小值。也不难看出，这

17、个结果是一般性的，即为了使萃取出的物质最多， 无论将溶剂分成多少份， 每次都应该采用等量的溶剂。十、最优化的产出水平假设某厂生产两种产品，在生产过程中，两种产品的产量X1,X2是不相关的，但两种产品在生产技术上是相关的，这样，总成本 C为产量乂1,乂2的函数：C=C(x1,x2),且两种C广品的边际成本(总成本的偏导)也是乂1,乂2的函数：C1 =C1(x1,x2),二 X1：CC2 = =C2(xi,x2),经济学中一般总认为产出和销售是一致的，从而总收益R也是二x2xi ,x2的函数：R = R(xi,x2)。现在的问题是如何确定每种产品的产量，以使厂家获得最大的利润？厂家的利润函数L =

18、 R C = R(xi,x2)-C(xi,x2),由极值的必要条件有：匹仅2R Cr - - - = R1 - C1 = 0卫=R2 -C2 =0.x1；x1这里，Ri,R2称为边际收益(总收益的偏导)。上式说明：厂家要获得最大利润，每种产品 的产出水平应使得其边际收益等于边际成本。如：一工厂生产两种产品， 其总成本函数C =x12 +2x1x2 +x2 +5,两种产品的需求函数分1力为x1 =26 - Pi , x2 =10 -l P2,其中R , P2分别为两种广品的价格。为使工厂狄得取 4大利润，试确定两种产品的产出水平。理二挺 _.22&1方方，斛：工厂的总收由函数R = Rx

19、1 + p2x2 = 26x1 +40x2 -x1 -4x2，由有:R 二：:C26 -2x1 =2x1 +2x240 -8x2 =2x1 +2x2x1 = 5, x2 = 3。故当两种产品的产量分别为5和3时，工厂获利最大；最大利润L = R C = 120。十一、蚂蚁逃跑问题一长方形的金属板，假定其四个顶点的坐标分别为(1, 1), (5, 1), (1, 3), (5, 3),在(0, 0)处置一火焰，其使金属板受热，且假定板上任意点处的温度与该点到原点的距离 成反比。现在(3, 2)处有一蚂蚁，问这只蚂蚁沿何方向爬行才能最快到达较凉快的地方？k解：板上任意点(x, y)处的温度T(x,

20、y)二,其中k是一个比例常数，x2 y2温度变化最快的方向实际就是梯度所指的方向，计算可得：gradT =kx J ky ?2 2、3.2 i_2' 2、3 2 j，(x y ) (x y )-3k- 2kgradT (3,2) =32 i +3 2 j ,13133>2 .、，一，.、，一其单位向量 i +)= j所指方向就是由热变冷最快的方向 (其反方向是由冷变热最、1313快)。蚂蚁虽然不懂梯度，但根据它的感觉细胞的反馈信息，它将沿这个方向逃跑。 注：借助微分方程的知识，我们还可求出蚂蚁的逃跑路线。十二、资金配置问题31设某制造商的 Cobb-Douglas生产函数f (x

21、, y) =100x4y4 ,其中x, y分别表示劳动力和资本，f (x, y)表示产量；若劳动力和资本的单位成本分别为150元和250元，现该制造商的总预算为5万元，问他要如何分配这笔钱来购买劳动力和资本，以使生产量最高？31解：这实际是个求函数f (x, y) =100x4y4在条件150x+250y = 50000下的最值问题；31设 F(x,y,K) = 100x4y4 +M50000-150x-250y),讦-1=75x 4y4 -150% =0衣y3 3CF二-:一. 一由一=25x4y 4 250九=0有 x = 250,y =50,勾-50000-150x-250y =0即该制

22、造商应该雇佣 250个劳动力而把其余资金作为资本投入可获得最大产量。十三、家庭教育基金问题从1994年开始，我国逐步实行大学收费制度，各银行也相应地开展了家庭教育基金储蓄。一个小孩从出生开始，其父母每年向银行存入 X元作为教育基金，若银行的年复利率为 r,试写出第n年后教育基金总额的表达式。假设小孩到18岁进入大学时所需费用为 3万元，按年利率10%计算，问其父母每年需向银行存入多少元？解：设n年后教育基金总额为 an,每年向银行存入x元，年复利率为r,则有递推关系：ao =x,ak =x +(1 + r)ay,k =1,2,，n ,即：ak -aki-ak/)(1 D=(akN - a)。r

23、)2 = (a1 - a°)(1 r)k，代入 a0,a1 有：ak aj = x(1+r)k, k=1,2,，n,=x （1厂一1n= 1,2,，n求和有：an = a0 +x£ (1 + r)kk=1现 a18 =30000,n =18,r =0.1,代入有 xan(1 r)n 1 -1定 586.40 (元).即父母每年至少应向银行存入586.40元才能保证小孩在18岁时有3万元的大学费用.十四、分针与时针重合问题在下午1点到2点之间的什么时间，时钟的分针和时针恰好重合?解：从下午1点开始，当分针走到 1时,，、一一 .111向刖走到1十一十一”;依此类推,12 12

24、 1211时针yt到1 4；当分针走到14 时，时针又1212111、分针要追上时针需时：一 + + +.这12 1212是一个等比级数，其和为1 八 一=一（小时） 之5分27秒27.11即分针与时针重合的时间为下午1点过5分27秒27.十五、证明e是无理数h解：利用反证法，假设 e=,其中h、k为整数, k借助ex的Maclaurin级数，令x =1,我们有：-1 - 1!2!k!1(k 1)!(k 2)!+将上式两边乘k!,改写成下列形式:k!(k 一1一1.一1h 1! 2! k! k 1 (k 1)(k 2)注意到上式的右边是正的，而左边是整数，故左边是正整数但：右边，1k 1 (k

25、 1)(k - 2)111k 1 k 21+(k 2)(k - 3)1111.11 ，一一一一<1+2+=<1不是正整数.k 1 k 1 (k 1) k 1/ 1 、 k1 一(，)k 1从而证明e只能是无理数.十六、湖泊的污染问题某湖泊的水量为 V,每年排入湖泊内含污染物 A的污水量为V ，流入湖泊内不含有 A6的水量为留出湖泊的水量为 V,已知1999年底湖中A的含量为5m0 ,超过国家规定63指标，为了治理污染，从 2000年年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过 m0 ,V问至少需要经过多少年，湖泊中污染A的含量降至m0以内？（注：设湖水中 A的浓度是均匀的）分析：本题

26、实为建立湖中污染物含量m与时间t之间的函数关系。但无法直接得到，而需通过微分方程来求的，那么，应寻找污染物的改变量dm与时间 出间隔之间的关系，从而建立微分方程。解：设从2000年初（令此时t = 0）开始，第t年湖中污染物 A的总含量为 m ,浓mm0 Vm0度为一，在在时间间隔t,t+dt内，排入湖中A的量为一dt=dt，流出湖泊VV 66的水中A的量为 m，Vdt=mdt ,因而在此时间间隔内湖中污染物A的改变量为V 33/ m0mdm=( )dt63此为可分离变量的一阶微分方程，分离变量dm2m 一m01 dt61一一:m0解的 m = Ce 3十 。29代入初始条件ml - = 5m

27、0，得C = m0t h21 m - 于是 m = 0 (9e 3 1)令 m = m0 得 t = 6ln 3即至多需要经过t =6ln3年，湖泊中污染物 A的含量降至m0以内。十七、减肥问题减肥的问题实际上是减少体重的问题，假定某人每天的饮食可以产生AJ热量，用于基本新陈代谢每天所消耗的热量为BJ,用于锻炼所消耗的热量为 CJ/d ,kg ,为简单计，假定增加(或减少)体重所需热量全由脂肪提供，脂肪的含热量为DJ/kg ,求此人体重随时间的变化规律。解：(1)建立微分方程与定解条件，设 t时刻(单位：d (天)的体重为w(t),根据热量平衡原理，在 dt时间内人体热量的改变量=吸收的热量一消耗的热量，即 Ddw =A B -Cw(t)dt、一 A - BC记a =,b =一则得方程DDdw=a - bw(t)dt设开始减肥时刻为t = 0 ,体重为w0 ,于是初值条件为w(t)tm =w°(2)解微分方程，由分离变量法解得方程的通解为w(t) = e" (C aebt) b代入初值条件可得特解为w(t)二9 e(w0 a) bb(3)由上面的结论得如下结论：10由于lim w(t) = a ,因此，随着时间的增加体重将逐渐趋于常数-,又 bb旦=在二旦，因此，只要节食，加强锻