2020高考数学刷题首选卷转化与化归思想专练文(含解析)

1、转化与化归思想专练、选择题1 .如果ai, a2,电，an为各项都大于零的等差数列，公差dw0,则正确的关系为()A. aia8>a4a5 b . aia8<a4a5C. ai+a8>a4+a5 D . aia8=a4a5答案 B解析取特殊数列，不妨设an=n,则ai = i,a4= 4,a5= 5,a8= 8,经检验，只有选项B成立.故选B.2.若命题“ ？ xoC R,使得x2+mx+ 2m-3<0”为假命题，则实数 m的取值范围是()A. 2 , 6 B . -6, -2C. (2, 6) D . (-6, -2)答案 A解析命命题"？xoCR,使得x0

2、+mx+2m-3<0”为假命题，命题“？ xCR,使得x2+ m肝 2 m- 3>0” 为真命题， A<0,即 m- 4(2 m- 3)<0,2<mC 6.故选 A.3 . (20i8 湖北八市联考)若 a, b, c, dCR,则"a+d= b+c"是"a, b, c, d 依次 成等差数列”的()A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析 若a, b, c, d成等差数列，则由等差数列的性质可知a+d = b+c.若a=i, b=2, c=98,d= 99,满足a+d=b+c,但a

3、,b,c,d不成等差数列.故选B.4 .过抛物线y= ax2(a>0)的焦点F,作一直线交抛物线于 P, Q两点.若线段PF与FQ的长度分别为p, q,则)+1等于()p qA. 2a B .二 C . 4a D . 42aa答案 Ci. . i 解析 抛物线y= ax (a>0)的标准方程为x=-y(a>0),焦点F0,过焦点F作直线垂 a4a直于 y 轴，则 | PF = | QF =1， ；+ g = 4a.故选 C.2ap q一一一， 、f2i+f2 f2 2 +f 45.已知函数 f(x)满足：f(m n)=f(n)-f (n),f(i)=3,则一式+六+I iI

4、3C3f + Cjla的值等于()T 5T 7iA. 36 B . 24 C . 18 D . 12答案 B解析 取特殊函数，根据条件可设 f(x) = 3x,则有f2 x + f 2xf 2x12x2 3=6,所以f2 1 +f 2 f22 +f 4 f2 3 +f 6- fl十f2 4 +f 8fT7= 6X4=24.故选 B.5若f(1)是f(x)的最小值，则实数21x a1, x<1,6. (2018 南昌一模)设函数f(x) = x+ 1, x>1,a的取值范围为()A. -1, 2) B . -1, 0 C , 1,2 D . 1 , +oo )答案 C21x+11,

5、x< 1 ,解析 当a= 1时，f (x)=作函数图象如下:x+1, x>1,由图可知排除A, B.21x 3|, x<1,当a=3时，f(x)=作函数图象如下:x+ 1, x>1,由图可知排除D.所以选C.二、填空题7.在 ABCN角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a, b, c成等差数列,cosA+ cosCm-；-1 + cos Acos C4答案5cos A cosC1 cos Acos C解析 根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算.令a= 3, b= 4, c= 5,则 ABC?直角三角形，且cos A= cosC=

6、 0,代入所求式子, 55十°5,41 +-X 058.设f(x)是定义在R上的单调增函数，若 f (1 axx2) wf(2 a)对任意aC1, 1 恒成立，则x的取值范围为 .答案(一8, 1 U0 , +oo )解析 -. f(x)在R上是增函数，.由 f(1 -ax-x2) <f(2 - a),可得 1 ax x2<2-a, aC1, 1, ' a(x - 1) + x +1>0,对 ae 1, 1恒成立.令 g( a) = (x- 1) a+x2+ 1,则当且仅当 g( -1)=x2-x+2>0,g(1) =x2 + x>0 恒成立，解

7、得 x> 0 或 xw - 1.故实数x的取值范围为(一8, 1U0, +8).9 .如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封）,其轴截面是边长为 2的正方形，P是BC 的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为.答案.兀2+9解析 把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的 最短路程为展开图中的线段 AP ,则AB=tt , BP =3, AP =,兀2+9.三、解答题2n 110 . （2018 武汉调研）已知正数数列an满足：a=2, an+an-i = -+ 2（n>2）. an an1求a2, 8；

8、(2)设数列bn满足bn= ( an 1) 2 n：证明：数列 6是等差数列，并求数列 Rn的通项an.片，乙3一解 (1)由已知 a2+ai =F2,而 ai = 2,a2 aia222= 3+ 2( a22),即 a22a23= 0.而 a2>0,则 a2= 3.一,5又由 a?+a2=F 2, a2 = 3,a3 a2， ' a3 9=5+2(a3 3),即 a3 2a3 8=0.而 a3>0,则 a3=4. , a2= 3, a3= 4.(2)由已知条件可知 an一an i = 2( an-an i) + 2n-1,.(ani) 一(anii) = n 一(n一i)

9、,则(an i) n=( an i i) ( n i) =,= (a3 i) 3 = ( a2 i) 2=0,而 bn= ( an-i) .bn=0,即数列bn为等差数列.(ani)2=n2.而 an>0,故 an=n+i. ,i11. (20i8 长沙雅礼中学、河南实验中学联考)如图所小的矩形 ABCW, AB= -AD= 2,点E为AD边上异于A, D两点的动点，且EF/ AB G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF 折起，使得 AE与CF的夹角为60。，连接BD FD. 探究：在线段EF上是否存在一点 M使得GM平面BDF若存在，说明点 M的位置;若不存在，请说明理由;(2)

10、求三棱锥G- BDF#积的最大值，并计算此时DE的长度.解 如图所示，取线段 EF的中点M连接GM下证GM平面BDF 因为G为线段ED的中点，M为线段EF的中点，故GM的 EDF的中位线，故 GM/ DF.又GM平面BDF DF?平面BDF故GMZ平面BDF(2)因为CF/ DE且AE与CF的夹角为60。，故AE与DE的夹角为60° ,过D作D" AE于P,因为 DEL EF, AE! EF，故DP为点D到平面 ABFE勺距离.设 DE= x,贝U AE= BF= 4x,由(1)知 GM DF,故V 三棱锥G-BDF= V三棱锥M BDF= V三棱锥、MBF1- Sambf

11、- DP1 13=1X 2* 1 X(4 - x) X /x当且仅当4x = x时，等号成立，此时 x=DE= 2,故三棱锥G- BDF体积的最大值为-73,此时DE的长度为2.12. (2018 太原二模)已知平面曲线 C上任意一点到点 F(0, 1)和直线y=1的距离相等.过直线y=1上一点P作曲线C的两条切线，切点分别为 A, B.(1)求证：直线AB过定点F;(2)若直线PF交曲线C于D, E两点，SF=入龟 SP=w/求入+ W的值.解(1)证明：由已知条件可得曲线C的方程为x2=4y.设点 P(t , 1), A(X1, y。，B(x2, y。，x2, x y=4,，y =2,x1

12、，过点 A, B的切线方程分力1J为 y-y1 =(x-x1),x222y y2='(xx2),又 4y1 = x1 4y2=x2,则上述切线方程可化为2(y + y1) = x1x,2(y+y2) =x2x, 点p在这两条切线上， 2( y1 1) = tx 1, 2( y2 1) = tx 2,即直线AB的方程为2(y-1) = tx , 故直线2(y1) =tx恒过定点F(0, 1).(2)设 D(x3, y3), E(x4, y4),由DF=入FfeDP= 科哈导-x3, 1 y3 =入 x4, y4 1 , t -x3, - 1 - y3 =叱 x4 -1, y4+ 1 ,x

13、3x4得t x3= r, x4 t 't x3 x3 tx4*3*4 *3x4+ 仅 3 入 + 11 77x4 t x4x4 x4 tt x3+ x4 2x3x4. a . _. . , , . , , . ._=7,由题意，直线 PF的斜率存在,x4 x4 t2x2x故PF的方程为y 1= -即y= -7+1，t t2x消去y并整理得x2 + 8x4 = 0,y=r联立2xy= T+1,一 81. X3+ X4=X3X4= 4,8t , 2 X 4入 + ! =Z = 0 .”X4 X4 t13. (2018 山东青岛统测)已知函数 f(x) = (aex ax) ex(a>

14、0, e= 2. 718，e 为 自然对数的底数)，且f(x) >0对于xC R恒成立.(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)存在唯一极大值点 xo,且0<f(xo)<1.4解 (1)由 f (x) = ex(aexa x) >0,得 xg(x) = ae -a-x>0,1 g(0) =0, 1- g(x)>g(0),从而x= 0是g(x)的一个极小值点.由于 g' (x) = aex1,g' (0) = a- 1 = 0? a= 1,当 a=1 时，g(x) = ex- 1 -x, g' (x)=ex 1,xC(8, 0)时，g&

15、#39; (x)<0, g(x)在(00, 0)上单调递减，xC (0 , +oo )时，g' (x)>0, g(x)在(0 , +00)上单调递增，g(x) >g(0) =0,故 a=1.(2)证明：当 a=1 时,f(x) = (ex-1-x)ex,f ' (x) =ex(2ex-x-2),令 h(x) = 2ex x2,则 h' (x)=2e、一 1,. xC ( 8, In 2)时，h' (x)<0 ,h(x)在(一00, 一 in 2)上为减函数，xC ( in 2 ,+8 )时，h' (x)>0 ,h(x)在(

16、in 2 , +°°)上为增函数，由于 h( -1)<0 , h( - 2)>0 ,，在( 2, 1)上存在 x=x0满足 h(x0)=0,1 h(x)在(8, in 2)上为减函数，x e ( -oo, x°)时，h(x)>0 ,即f' (x)>0, f(x)在(一8, x。)上为增函数，x C (x0, - in 2)时，h(x)<0 ,即 f' (x)<0, f (x)在(x°, in 2)上为减函数,.f (X)在(8, In 2)上只有一个极大值点X0,由于h(0) =0,且h(x)在(一ln 2 , +8)上为增函数，xC ( ln 2 , 0)时，h(x)<0,即f' (x)<0, f (x)在(一In 2 , 0)上为减函数，xC (0 , +8 )时，h(x)>0 ,即f' (x)>0, f (x)在(0 , +°