模糊pid控制器的结果解析及其稳定性分析

1、.模糊PID控制器的结果解析及其稳定性分析B.M. Mohan *, Arpita SinhaDepartment of Electrical Engineering, Indian Institute of Technology, Kharagpur 721302, India Received 14 July 2006; received in revised form 31 May 2007; accepted 10 June 2007 Available online 14 June 2007摘要：本文建立在三输入四输出变量模糊集的控制器基础之上对模糊PID控制器的解析。该结构是基于对

2、输入/输出为,L隶属度函数，代数积三角形准则、有界和三角形准则，Mamdami最小推理方式，中值法反模糊方式之上得出的。文中的有界输入/输出稳定性的条件是基于小增益定理。最后，以两个数值例子及其仿真结果来论证了最简模糊PID控制器的可行性和有效性。1.介绍：由于传统PID控制器的简易性，鲁棒性好，对线性系统控制有效等优点，许多的工业控制仍采用这种控制方法。本文图1给出了两种不同配置的PID控制器。但由于其为线性结构，如果系统为高阶大时滞系统，非线性系统，没有精确数学模型的复杂模糊系统或是具有多个不确定因素的系统，传统的PID控制方法就无法非常有效地对其进行控制。上个世纪90年代之前，大多数的模

3、糊系统研究侧重在应用领域，而非理论研究。直至1990年，研究人员才开始对模糊控制器进行结构解析及稳定性分析。并如其他传统控制理论，针对一个对象，建立了模糊理论体系。从模糊PI及模糊PD控制器与其对应传统控制器对上述复杂系统的控制结果的比较可看出其优越性。由于模糊PI控制器比模糊PD控制器具有更好的优越性，模糊PD控制算法无法消除稳态误差。但是，模糊PI控制器由于其自身的积分操作，在高阶系统时，并不能得到很好的控制效果。为了提高上述的所有性能，本文提出了模糊PID控制器。本文提出了一种基于常规控制器，与模糊逻辑控制器相结合的增量式控制器。该控制器是将常规PID控制器的参数加上模糊逻辑整定得到的参

4、数的增量式模糊PID控制器。BIBO稳定性的充分条件是小增益定理。事实上，在1一书中，对模糊控制系统有过深刻的分析，该书针对Mamdami型和Takagi-Sugeno型的模糊模型提出过多种分析法。1中给出了一种使用线性矩阵不等式法分析、设计模糊控制系统的详细方法，用以处理Takagi-Sugeno型模糊模型的系统。本文提出一种基于图1配置1的新型模糊PID控制器结构。为了能够在线调节模糊控制器参数，文章提出了一种基于峰值观测器的参数自适应算法。提出二级调整策略，做法如下：首先，在大前提下建立模糊比例、积分、微分增益和量化因子的关系，然后，再最优调节该控制参数。如配置1的模糊PID控制，是基于

5、最小值推理机和算术平均法反模糊化的控制器。为了得到更好的暂态，稳态性能，提出了一种基于函数调节的自适应方法用来在线调整模糊逻辑控制器的量化因子。将模糊PI控制器和模糊PD控制器结合得到模糊PID控制器如图1配置2。其理论基础为结合PD和PI两种控制。给出了一种基于增益欲度规格和相位欲度规格的调整方式，用以确定模糊PID控制器的参数。并且BIBO稳定性的充分条件也已经确定。多种比例，积分，微分模糊逻辑控制器的分解形式 （如模糊P+模糊I+模糊D,模糊PD+模糊I,模糊PI+常规D形式，模糊P+常规ID形式，模糊PI+模糊PD形式）在文中都得到测试和比较。为了得到简单的结构，模糊PID中的比例，积

6、分，微分部分均基于PID中的比例，积分，微分的规则确定。通过基于隶属度函数推理方法，能够系统的学习模糊PID控制器。该控制器的分析具有5个评定准则：控制作用组成，输出耦合，增益相关性，增益作用交换，规则/参数增长。Mizumoto已经证明PID控制器能够利用模糊控制方法如product-sum-gravity原理得到参数（代数积三角形规范，Larsen积推理法，有界和三角形准则和重心反模糊法），以及简化模糊推理规则的方法（模糊集为连续相同论域的情况下。）然而，当系统给定的复杂推理结果为非线性形式时，则min-max-gravity方式无法建立并简化其模糊推理形式来的到PID控制器。但是prod

7、uct-sum-gravity方式能够建立该推理，并能在原先模糊规则的基础上扩展隶属度函数来简化模糊推理规则。本文的目的是：解析基于代数积三角形准则、有界和三角形准则，输入输出为,L隶属度函数、非线性控制规则，Mamdami最小推理方式，中值法反模糊方式的控制器；分析和给出模糊PID控制系统的BIBO稳定性的充分条件。最后，分析并讨论了模糊PID控制器相比于PID控制器的优越性。并给出了两个仿真结果。本文有一下章节组成，第二章论述了典型模糊PID控制器的基本组成部分；第三章则给出了模糊PID的结构分析；第四章是关于模糊PID控制系统的BIBO稳定分析；第五章是关于模糊PID控制器的设计研究；而

8、第六章则给出了仿真结构，第七部分为结论总结。图1.PID控制器 （a）.配置1 （b）.配置2 （c）.配置32.模糊PID控制器的组成 增量控制信号由离散时间PID控制器(式11)产生 （1）其中，各代表数字PID控制器的比例积分微分参数。速度，位移和加速度有下式（24）得到：（3）（4）（2）是由得到的误差信号，是输入给定信号，为系统输出，T为采样周期。离散时间位移速度，当t=kT时，与前一时刻的误差的差异得到、如式（2）、（4）所示。式（1）速度算法在数字PID控制器中应用非常广泛。基于图1配置3的模糊PID结构（图2）有下面几个部分组成。图2.模糊PID控制系统dN(k-1)dN(k)

9、vN(k-1)vN(k)aN(k)vN(k)dN(k)-+-+1/TNa1/TNvNdfuzzifyInferenceEngineRule basedefuzzify+aN(k)vN(k)dN(k)2.1量化因子模糊逻辑控制器的输入变量可以乘以一个正则化因子映射到区间上，各为d，v，a，u的正则化因子，反标准化因子将标准输出映射回物理输出域。为的倒数，称为反标准化因子。这些量化因子相当于常规PID控制器的增益系数，2.2模糊化模糊化能够将控制器的输入标准化为一定值给模糊集，因此，能够启动推理机，并运用控制规则。模糊PID控制器有3个输入：误差信号 (即位移)，的一阶微分（即速度）和二阶微分（即

10、加速度）。这些输入均模糊化为,L隶属度函数如图3，dN，vN，aN为正则化输入。其中,L隶属度函数如下所示： （5）（6）注意： （7） 图3 输入变量的隶属度函数该模糊控制器只有一个输出，即增量控制输出u（kT）标准输出量UN的隶属度函数如图4，常数l，L，m，M为设计者给出。2.3控制规则库以下规则是以图3图4输入输出模糊集得出。R1:If dN=n*d& vN= n*v& aN=n*a then =O-2R2:If dN=p*d& vN= n*v& aN=n*a then =O-1R3:If dN=n*d& vN= n*v& aN=p*a

11、then =O-1R4:If dN=p*d& vN= n*v& aN=p*a then =O-1R5:If dN=n*d& vN=p*v& aN=p*a then =O+1R6:If dN=n*d& vN= p*v& aN=n*a then =O-1R7:If dN=p*d& vN= p*v& aN=n*a then =O+1R8:If dN=p*d& vN= p*v& aN=p*a then =O+2其中&代表“与”操作，在这里看作代数积三角形规则，定义如下。 （8）代表对先前规则部分的联合，i、j、k则

12、各代表dN，vN，aN在第i、j、k个模糊集。注意，控制规则是输出模糊集，而不是线性相关的输入模糊集。2.4推理机增量控制器的最终输出值是由推理机基于规则库考虑各条规则推理得出。因此，结合各条规则，首先由式8的三角形函数得到隶属度，然后，根据Mamdami-Minimun推理法得到输出模糊集。其中，代表代数积三角形规则操作结果。（UN）为输出模糊集UN的隶属度函数。参考输出模糊集（梯形）和推理输出模糊集联立于Mamdami-Minimun推理法，如图5所示。推理模糊集的面积为，是梯形上底与下底的比值。 图4 输入变量的隶属度函数图5 Mamdani最小推理图示其详细情况见附录A，将看做01,避

13、免两个相邻输出模糊集重叠。3维子空间标记出三态n1.n2.n3）。例如（10.11.18）表示了1平面的10，2平面的11，3平面的18由于模糊PID控制器为3输入，所以我们可以将其输入的可能值联立到3维空间，点（x,y,z）在3维空间里能唯一地映射到xy-,yz-,zx-平面，所以如图6所示，各平面（各提出有20中组合，从而各状态点（dN*，vN*，aN*）能唯一地在3维子空间标记出三态（n1.n2.n3）。例如（10.11.18）表示了1平面的10，2平面的11，3平面的18。各个有效的单元（n1，n2，n3）根据模糊PID控制器的R（1）R（8）8条规律，并给出适当的控制准则。在运用代数

14、积三角形准则的前途下，得到各有效单元的规则，如表一所示。3维输入空间共有20*20*20=8000个单元。并不是8000个单元都为有效单元，相反，只有一小部分是有效的。如果一个单元为有效单元，则当且仅当dN，vN的关系与vN，aN的关系联立后，vN>aN。例如，单元（7.2.6）是有效单元，由于dNvN，dNaN，联立后，vN dNaN，满足关系vN>aN。 从8条控制规则可以看出，输出模糊集O-1和O+1各出现了3次。此时必须根据模糊三角形规则联立规则R（2），R（4），R（6）；R（3），R（5），R（7）来推理出模糊集。有界和三角形函数准则定义如下：min1. A(x)+ B

15、(x)由于模糊控制器有3个输入，并且采用代数积三角形准则，所有输出联立之和与各规则集均小于他们的和。因此，采用有界和三角形准则的联立隶属度函数可得到：2.5反模糊化反模糊化模块是将模糊信息转换成确切信息。最常用的COS法就是用于处理增量控制输出的反模糊化环节。公式如下：（9）其中，A(Ri)为推理得到的模糊集与R(i)规则联立的面积。3.结构解析在这部分，分析采用基于对输入/输出为,L隶属度函数，代数积三角形准则、有界和三角形准则，Mamdami最小推理方式，中值法反模糊方式的模糊PID控制器的结构，我们通过在式(9)中置换推理面积A(Ri)并联系8条规则，再根据标准化输入dN，vN，aN，将

16、多个变量归组并简化，从而得到了一下3条情况的结构解析。（以下描述中将采样时间kT简化为K）则结构为：Case（a）： （10）(11)1213（13）（12）这里 (14)如2.4节中所定义参数l则如图3中所示。Case b：一个标准输入在-l,l区间上，另外两个输入不在-l，l上，如图3.(15)(16)(17)x如表2定义。Case c三个输入不在-l，l上，见图3如（17.17.17），（18.19.18），（17.20.20） （18）如（17.18.18），（19.19.19），（20.17.20） （19）*3如（18.20.17） （20）*3如（20.18.19） （21） 这

17、里UN（K）的最大值和最小值一般是在+M和-M之间。代表了在0,1上的所有制。简言之，式20适用于。只要在区间上， u就一直是（）。换言之，UN的值一直是-M,类似的，式（21）适用于时，根据该等式所示，UN的值一直是+M。值得一提的是，式（20）与式（21）均与无关。然而，关联商最大值最小值，能从式（18）推出式（18）式（19）的u的值是式（20）时u的1/3.而在这个值在式19 和式21中也成立。所以如果+M.-M各代表了UK的最大值和最小值，则我们必须从有关表示的式（10.15.16.17）中获取相同的最大值，最小值信息。通过运用Simulink仿真的缜密研究发现，无论在0，1内的任何

18、值，UN的最大值M和最小值只会在和时出现。4.基于模糊PID的控制系统的BIBO稳定性分析。本部分针对模糊PID控制系统进行BIBO稳定性分析如图7.采用小增益理论18。假设子系统G1 G2各代表了模糊PID控制器和被控对象。表2则该反馈系统可有一下等式描写：e1=u1-y2e2=u2+y1y1=G1*e1y2=G2*e2 图7反馈控制系统假设两个子系统G1 G2为因果关系并且均为稳定，令r1=r(G1)为的增益，r2= r(G2)(22）（23）的增益存在（常数），有：此时，当<1时系统为BIBO稳定，即有界输入（u1，2）的积为有界输出（y1，y2）。我们现在考虑一般情况即控制非线性

19、系统，用N表示。定义如图2，我们可得到等效闭环控制系统如图7.令这里dN(k) 、vN(k)、 aN(k) 其中 （24）这里接着，我们有 （25）所以非线性模糊PID控制系统BIBO稳定的充分条件是模糊PID控制器的参数必须满足不等式<1，其中如式24.25定义。5.最简模糊PID控制器的设计等式10，可写成 （26）现在，我们将式（26）与式（1）比较，很明显可以看到，模糊PID控制器非常类似于线性PID控制器。其中N1,N2,N3,D不是常数而是正则化输入dN(kT)，vN(kT)和aN(kT)的非线性函数。模糊PID控制器是一个具有动态增益的非线性PID控制器。其中 （27）KP

20、d，KId，KDd，各代表了动态比例增益，积分增益，微分增益。特别的，线性PID控制器的增益为常数，即静态。因此，我们同样可以定义一个静态增益的模糊PID控制器，只要令式（27）中的dN(kT)=vN(kT)=aN(kT)=0，得到 （28）这里分别表示静态比例增益，积分增益，微分增益。其中 （29）。为实现最简模糊PID控制器的数学模型，我们设计的参数必须适当的接近。该简易程序是基于模糊2维控制器设计方法提出的。令比例增益，积分增益，微分增益为为最优输出关联于增量控制，如式（1），表三非最小相位系统，非线性处理： 假设线性PID控制系统的误差，误差变化率和误差变化率的加速度的最大值。假设模糊

21、PID控制系统的采样周期T与线性PID控制系统的采样周期相同。NL和M的值用以下方式计算。假定模糊PID的静态增益等于其对应的线性PID控制器，从式（28）可知： （30） 或者 （31）其中Na，Nv和Na的值可任意取，只要其比值满足等式（31）所列关系，简单地假设=M，则N的值能由式(29）(30)计算得到，即 （32）理论上分析的值对控制器性能的影响并不容易。他的选择通依赖于经验和实际系统。而参数值的选择选取则可以通过三个标准化输入变量由下式得出（34）。通常情况下，很多系统（特别是非线性系统），无法在 用设计方法得到的功能参数下得到理想的性能。通常是由于线性PID的性能无法让人满意。在

22、这种情况下，模糊PID控制器的功能参数必须从新调回到初始值（线性PID中得到的参数），在按试凑法，直至得到理想的性能。6.例证通过以下两个例子来比较线性PID控制器和模糊PID控制器的性能。i）.一个三阶线性非最小相位系统。（单位阶跃响应）ii）.一阶非线性系统（给定为4的阶跃信号），式（35）中，GPS代表了控制系统的传递函数。以上两个系统的，模糊PID控制器的设计，按照第五章提出的的方法进行设计，两个系统的采样时间，比例系数，积分系数，微分系数，最大误差，最大误差变化率按表三给出。参数Na，Nv，Na，N，和M按表四给出，控制结构如图8、9同时给出常规控制节国土。其Mp，tr，ts如表四所

23、示，此系统的均设为0。结果显示，模糊PID控制器的控制性能更好，证明了其优越性。7.结论本文所进行结构分析的模糊PID控制器是基于输入/输出为,L隶属度函数，代数积三角形准则、有界和三角形准则，Mamdami最小推理方式，中值法反模糊方式的控制器。证明了标准化增量控制对象uN（kT）的最大值+M和最小值-M不会由在0,1上的变化而改变。同时，本文也推导出了模糊PID控制器BIBO稳定性的充分条件。总的来说，分析一个模糊控制的结构必须依赖于三角形准则。然而最小值三角形准则并不适合用与了解模糊PID控制。所以当下最主要的工作就是要通过原先的三角形规则，寻找一个真正适用于模糊PID控制器的结构。毋庸

24、置疑，这方向的研究，必须要给出一个精确的模糊PID的结构图。附录A:如图5，提醒ABEF表示推理模糊集，其面积计算如下：推理模糊集的面积=三角形ABC面积+长方形BEDC面积+三角形DEF面积。由于ABC与DEF完全相同,我们可以得到：推理模糊集的面积=矩形BEDC的面积+2倍的三角形面积这里；推理模糊集的面积=这里，假设References1 J. Aracil, F. Gordillo (Eds.), Stability Issues in Fuzzy Control, Physica-Verlag, Heidelberg, 2000.2 J. Carvajal, G. Chen, H. Ogmen, Fuzzy PID controller