2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)

1、圆：切割线定理知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切 线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.几何语言：,PT切。于点T, PBA是。的割线. PT的平方=PA?PB （切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言：PBA PDC是。的割线PD?PC=P/?PB （切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PAPB=PQPD.一.选择题1 .如图，P是。的直径BC延长线上一点，PA切。O 于点A,若PC= 2, BC= 6,则切线PA的长为（）A.无F艮长B.Jia C. 4 D.屈2 .如图，PT是

2、。的切线，T为切点，PBA是割线， 交。于A、B两点，与直径CT交于点D,已知CD=3 , AD= 3, BD= 4,那么 PB等于（）A. 6 B.C. 7 D. 204 .设H为锐角 ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若 BC= a, AC= b, AB= c,则 AH?AD+BH?BE+CH?CF等于（）A.高（ab+bc+ca） B.段（a2+b2+c2）l2_2_C.京（ab+bc+c® D,百（a2+b2+c2）5 .如图，MN切。于A点，AC为弦，BC为直径, 那么下列命题中假命题是（）A. / MAB 和 / ABC互余 B. / CAN= / ABCC. OA=

3、亍BC D, MA2=MB?BC6 .如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P, A、O、C、B在同一条直线上，作AD>± AB与BP的延长线 交于点D,若半圆O的半径为2, /D的余弦值是方程3x2-10x+3= 0的根，贝IAB的长等于（A. B.- C. 8 D, 57 .如图，AB是。直径，AC是。的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E,若DE= 2,EC= 1,则。的直径为（）A.B.C, 5 D, 48 .如图，过点P作。O的两条割线分别交。于点A、B和点C、D,已知PA= 3, AB= PC= 2,则PD的长是( )A. 3 B, 7.5 C. 5

4、D. 5.59 .如图，已知。的弦AB、CD相交于点P, PA= 4cm,AE与CD的PB= 3cm, PC= 6cm, EA切。于点 A,延长线交于点E,若AE= 2低cm,则PE的长为（）A. 4cm B. 3cm C. 5cm D.cm10 如图，。01与。O2相交于A、B两点，PQ切。O1 于点P,交。O2于点Q、M,交AB的延长线于点N.若 MN=1, MQ = 3,则 NP等于（）Q PA. 1 B,; C. 2 D. 311 .同心圆。中，大圆的弦 EF切小圆于K, EP切小 圆于P, FQ切小圆于Q, G为小圆而上一点，GE、GF 分别交小圆于 M、N两点，下列四个结论：EM

5、= MG; FQ2= FN?NG; EP= FQ; FN?FG= EM? EG正确的结论为（）A. B. C. ,D. 二,填空题12 .如图，AB为。的直径，P点在AB的延长线上， PM 切。于点 M,若 OA= a, PM=6d,那么 PMB 的周长是08 P12 .已知：如图，PC切。于点C,割线PAB经过圆 心 O,弦 CD1AB 于点 E, PC= 4, PB= 8,则 PA=,sin/ P=, CD=.13 .如图，PA PB与。O分别相切于点A、点B, AC 是。的直径，PC交。于点D,已知/APB= 60° , AC= 2,那么CD的长为.14 .如图，PA切。O于点

6、A,割线PBC交。O于点B、 C,若PA= 6, PB= 4,弧AB的度数为60° ,则BC =,/PCA=度，/PAB=度.15 .如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边 形，AB= 12, CD= 6,分别延长AB和DC,它们相交 于点 P,且 BP= 8, / APD= 600 ，则 R=.16 .如图，AC为。的直径，PA是。的切线，切点 为A, PBC是。的割线，/ BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE= AF, 则PF应满足的条件是（只需填一个条件）.17 .由。O外一点F作。O的两条切线，切点分别为B、 D, AB是。的直径，连接

7、 AD、BD,线段OF交。O 于E,交BD于C,连接DE、BE.有下列序号为 的四个结论： BE= DE; /EBD= / EDB; DE/ AB; BD2 =2AD?FC其中正确的结论有（把你认为正确结论的序号全部填上)三.解答题18 .已知：如图，在 ABC中，/ C= 90° , BE是角 平分线，DE± BE交AB于D,。0是4BDE的外接圆.(1)求证：AC是。的切线；(2)若AD= 6, AE= 6也 求DE的长.19 .如图，圆。是以AB为直径的 ABC的外接圆，D 是劣弧前的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P, OD与BC相交于E;(1)求证:OE=：

8、AC;DP BD2(2)求证：卷宗(3)当AC= 6, AB= 10时，求切线PC的长.20.如图，OB是以(O, a)为圆心，a为半径的。01 的弦，过B点作。01的切线，P为劣弧聋上的任一点， 且过P作OR AB、0A的垂线，垂足分别是 D、E、F.(1)求证：PD2= PE?PF;(2)当/BOP= 30° , P点为防的中点时，求D、E、 F、P四个点的坐标及SJADEF参考答案一.选择题1.解：: PC-2, BC= 6,，PB= 8,v PA2= PC?PB= 16,，PA= 4.故选：C.2,解：v TD?CD= AD?BD, CD= 2, AD=3, BD= 4,，T

9、D= 6,v PT2= PD2- TD2,，PT2= PB?PA= (PD- BD) (PD+AD,，PA 24,，PB= PD- BD= 24-4 = 20.故选：D.工3.解：AH?AD= AC?AE= AC?AB?cos>Z BAE=2 (b2+c2-a2),同理 BH?BE=(a2+c2- b2), CH?CF=* (a2+b2- c2),故 AH?AD+BH?BE+CH?CF=2- (a2+b2+c2).故选：B.4 .解：: BC是。O的直径， ，/BAC= 90° ,，/MAB+/ CAN = 90° ;. MN 切。O于 A, ，MA2=MB?MC,（

10、故 D 错误）ZCAN= /CBA （故 B 正确） ，/MAB+/ CBA= 90° ;（故 A 正确）OA是。O的半径，BC是。O的直径,，BC= 2OA;（故 C 正确）故选：D.5 .解：: 3x2 10x+3= 0, .x= 3 （不合题意，舍去）或x=3.，cosD= AD: BD= 1: 3, 设 AD=x,则 BD= 3x.AB=J1%）2 4 = 2x, BC= 2/2x-4. . （2x） 2= （2x-4）?2Mx. .x= 0 （舍去），或 x=2. .AB= 2 痣 X2=8.故选：C.6.解：连接OD,点D是弧BC的中点，/.OD± BC, /O

11、FC= 90° , AB是直径，/ACB= 900 , DELAE,，/E= 900 ,一四边形CFD既矩形，/ODE= 90° ,二ED是圆的切线.作 OGLAC,则 OG= CF= ED= 2.= DE2= EC?AE,3_.AE= 4, AC= 3, AG=N旦，AO=,，AB= 5.故选：C.宅7 .解：v PA= 3, AB= PC= 2,，PB= 5,v PA?PB= PC?PD,，PD= 7.5,故选：B.8 .解：: PA?PB= PC?PD, PA= 4cm, PB= 3cm, PC= 6cm,，PD= 2;设 DE= x,/AE2= ED?EC,，x (

12、x+8) =20,，x= 2或x= - 10 (负值舍去)，PE= 2+2= 4.故选：A.9,解：= PN2= NB?NA, NB?NA= NM?NQ,，PN2= NM?NQ= 4,，PN= 2.故选：C.10.解：连接OK,.EF切小圆于 K /.OKIEF,根据垂径定理得EK= FK,EP切小圆于P, FQ切小圆于Q,，EP= EK FQ= FK,，EP= FQ,故正确；由切害线定理得，FK2= FN?FG, EK2= EM?EG,，FN?FG= EM?EG故正确；故选:C.二,填空题（共7小题）11.解：连接OM;. PM切。O于点M,，/OMP= 900 ,o OA= OM = a,

13、 PM=A, ，tan/MOP= MP: OM = Vs?，/MOP= 600 ,，OP= 2a,，PB= OP- OB= a；.OM = OB, OMB是等边三角形，MB=OB= a,.PMB的周长是（匕+2） a.A Q B12.解：: PC切。O于点C,割线PAB经过圆心O,PC= 4, PB= 8,PC2= PA?PB.16PA=E=2.，AB= 6.，圆的半径是3.连接OC.VOC= 3, OP= 5,3_二 sin/ P=三.12 CE= ,24CD= 5 .13.解：连接 AD, OB, OP;,PA PB与。O分别相切于点A、点B,OAP= / OBP= 90, A AOB=

14、180° - / P = 120° , ，/AOP= 60° , AP= AOtan60°PC=五；v PA2= PD?PC,迎 .PD=k, ，CD=14 .解：= PA2= PB?PC, PA= 6, PB= 4;，PC= 9,，BC= 5;弧AB的度数为600 ,，/PCA= 30° ,，/PAB= 30° .15 .解：由切割线定理得 PB?PA= PC?PD,则有8X20= PC (PC+6.解得PC= 10.在APAC中，由 PA= 2PC, /APC= 60° ,得/ PCA= 90° .从而AD是圆

15、的直径.由勾股定理，得AD2= AC2+CD2= (PA2- PC2)+CD2= 202 - 102+62= 336.AD=V = 4 亚R= 2AD= 2皿故答案为2爆.16.解：PAC= 90,/ABC= 90，90° - Z AFP=90° -/BER，/AP已/ CPE，PF平分/ APC.17.解：: BF, DF是OO的两条切线 .OF 是 / DFB 的角平分线，DF=FB, FO±BD? CD= CB/. DE= BE- -BE=DE （正确）,/ DE= BE，/ EBA / EDB （正确）.FB切。于 B/. FBXOBVBCXOF,.BC2

16、=OC?FC工 （5BD） 2 = OC?CE,OC为AABD的中位线.-.OC=2AD. （ 2BD） 2=2AD?CE/. BD2= 2AD?FC （ 正确）故其中正确的结论有.三.解答题（共3小题）18. （1）证明：连接OE; （1分）:。0 是4BDE的外接圆，/ DEB= 90° : .BD是。0的直径，（不证直径，不扣分）. BE平分/ ABC,，/CBE= /OBE,/0B= OE,，/OBE= /OEB, （2 分） ./ OEB= /CBE .OE/ BC, （3 分） . /C= 90° ,，/AEO= 900 , .AC是。O的切线；（4分）（2）解

17、：: AE是。O的切线，AD= 6, AE= 6忆，AE2= AD?AB, （5 分）.-.AB=T=2- =12,，BD=AB- AD=12-6=6; . /AED= /ABE, /A= /A, .AEAAABE, （6 分）设 DE=x, BE= 2x, v DE2+BE2= BD2, （7 分） ，2x2+4x2= 36,解得x=±&< （负的舍去）， ，DE= 2/3. （8分）19. （1）证明：: AB为直径 ./ACB= 900/.AC± BC又D为前中点， /.OD±BC, OD/ZAC,又O为AB中点，. *AC； （4 分）（2）

18、证明：连接CD, PC为切线, 由/PCD= /CAP, /P为公共角， .PCDAPAC （6 分）PC _ CD PD CD 卜又 CD= BD,DP即2 市G7; （8 分）（3）解：= AC= 6, AB= 10,，BO8, BE= 4, OE= 3,，DE= 2,，BD2= DE2+BE2= 20, （9 分），AD2= AB2- BD2= 80,，AD= 4（10 分）CD=BD=2 %DP _5 DP _5由（2） i 卜：4 .二J,.DP=5«,研四后,（11 分），CP2= DP?AP= 45X5, 切线 PC= 15. （12 分）20. （1）证明：连接 PB

19、, OP, VPE!AB, PD± OB,./ BEP= / PDO= 90° ,. AB切。O1 于 B, /ABP= /BOP,.PBE APOD?PB PE，op = pd|?祠理， OPMABPDPE PE .二面则，PD2= PE?PF;(2)解：连接 O1B, O1P, . AB切。O1 于 B, /POB= 30 ，/ABP= 30° ,，/O1BP= 90° -30° =60°. O1B=O1P, .O1BP为等边三角形，O1B= BP,P为弧BO的中点，BP= OP,即O1PO为等边三角形，O1P= OP= a,，/O1OP= 600 , 又; P为弧BO的冲点，/.O1P± OB,在AOIDO中，. /O1OP= 60° O1O= a,，O1D= a, OD= a,过 D作