2020年上海市闵行区七宝中学高二(下)期中数学试卷

1、期中数学试卷题号一一二总分得分一、选择题（本大题共 4小题，共12.0分）1. 设Z1, Z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A.若忆1-冽=0,则勺=与B.若"勺,则与二z2C.若 |zi | = |Z2|,则 Z1?D.若忆1| 二 |Z2|,贝u Z12=Z22第1页，共16页2. 已知a, 3是两个不同的平面，直线 1? %则" 1/6'是“ a/犀”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 过平面a外一点A引线段AB, AC以及垂段AO,若AB与a所成角是30 °, AO=6,AC1BC,则线段

2、BC长的范围是（）A. （0, 6）B. （6, +8）C. （0, 6抠）D.（峭，+8）4.如图,已知正四面体D-ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P,Q,R分BQ CR别为AB,BC,CA上的点，AP=PB,需 =-=2.分别记二面角I八.Li AD-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P 的平面角为 a , 3则卜，）A. Y<a<3 B. a<Y<3 C. a<3<丫 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5 . 复数（1-2i） （3+i）的虚部为 6 .如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都 为1,点A、B对应的复数分别是 Z

3、1、Z2,则;=7 .复数 i+i3+i5+ i2019=8 .一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是 .9 . 复数z满足|z+i|+|z-i|=2,则|z+i+1的最小值是 .10 .在复数集中因式分解 x4-6x2+25=.11 .设z是复数，a （z）表示满足zn=1是最小正整数n,则以言）=12 .已知“是实系数一元二次方程 x2- （2m-1） x+m2+1=0的一个虚数根，且| & |产则实 数m的取值范围是.13 .圆锥底面半径为10,母线长为30,从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的 最短路线的长度是 .14 .已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，

4、ZABC=120°, AB=2, BC=CCi=1 ,则异面直线 ABi 与BCi所成角的余弦值为 .15 .设m、n是两条不同的直线，a、3是两个不同的平面，对于以下命题：（1）若m/n, a/值那么m与a所成的角和n与3所成的角相等；（2）若 m±n, m±a, n±3,则 a±3;16.17.(3)若 m13, a13,则 m/；(4)若 m /a, 则 mi±3.其中正确命题的序号是 四面体ABCD中，面ABC与面BCD成60。的二面角，顶点A在面BCD上的射影H是4BCD的垂心，G是"BC的重心，若 AH=4, A

5、B=AC,则GH=.解答题(本大题共 5小题，共60.0分)已知复数z=(；i) 2是一元二次方程 mx2+nx+1=0 (m, nCR)的一个根.(1)求m和n的值；(2)若 zi= (a-2i) z, a R, zi 为纯虚数,求 |a+2i|的值.18.如图，已知正方体 ABCD-A' B' C' D'的棱长为1.(1)正方体ABCD-A' B' C' D'中哪些棱所在的直线与直线A' B是异面直线？(2)若M, N分别是A'B, BC'的中点，求异面直线 MN 与BC所成角的大小.19.九章算术中，

6、将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖月需，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马.如图所示，在P-ABCD中，PD底面ABCD .(1)若AD=CD=4m,斜梁PB与底面ABCD所成角为15。，求立柱PD的长(精确 到 0.0lm);(2)证明：四面体 PDBC为鳖%(3)若PD=2, CD=2, BC=1, E为线段PB上一个动点，求 4ECD面积的最小值.ZCPi,求复平面内P2对应的点集表示的曲线的对称轴；第3页，共i6页20 .如图，四棱柱 ABCD -AiBiCiDi 中，侧棱 AiAlB面 A

7、BCD , AB/DC , ABLAD, AD=CD=1, AAi=AB=2, E 为棱 AAi 的中点.证明Bi Ci ±CE.(2)求二面角Bi-CE-Ci的正弦值.设点M在线段CiE上，且直线AM与平面ADD iAi所成角的正弦值为求线段AM的长一、 z a仆)21 .设 z，且/.(i)已知 2f (z) +f(4-4z=-2+9i (zCC),求 z 的值；(2)若 Rez>0,设集合 Pi=zf (z) ?fg)-2i?f (z)+2i?(z)-i2=0, zCC , P2= 3 | dz=,(3)若zi=u (ueC),除十i =+是否存在u,使得数列Z1,Z2,

8、满足zn+m=zn (m为常数，且m CN*)对一切正整数 n均成立？若存在，试求 出所有的u,若不存在，请说明理由.答案和解析1 .【答案】D【解析】解：对（A）,若忆1-Z2|=0,则Z1-Z2=0, Z1=Z2,所以勺=的为真;对（B）若则Z1和Z2互为共轲复数，所以二年为真；对（C）设 Z1=a+b1i, Z2=a2+b2i,若忆1|二|z2|,则杷：+居城 + 应，4勺二*,反 Z2- Z2 = a2 + b2,所以对（D）若z1=1, z2=i,则忆1|=忆2|为真，而二，z： = _l,所以芯二万为假.故选：D.题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轲复数的关系，要判

9、断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案.本题考查了复数的模，考查了复数及其共轲复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题.2 .【答案】B【解析】 解：由% 3是两个不同的平面，直线 1? %知：“1 IE ? ” “与3相交或平行”，“ alls ?八怦.5, 3是两个不同的平面，直线 1? %则" 1/6'是" a/g的必要而不充分条件. 故选：B.“1/举” ? "a与3相交或平行”，" a除? “1/犀”.由此能求出结果.本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位

10、置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.3 .【答案】C【解析】解：如图,AO±a,贝U AO ±BC ,又 ACBC, .BC"面 AOC,则 BC±OC,在Rt9OB中，由已知可得OB=8忏，则在平面“中，要使 4CB是以OB为斜边的直角三角形,则 BCE （0, 6不）.故选：C.由已知画出图形，可得 OCB是以OB为斜边的直角三角形，求出 OB的距离，则线段 BC长的范围可求.本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.4 .【答案】B【解析】【分析】本题考查了二面角的知识，考查了推理能力

11、与计算能力，属于难题.先做出平面的二面角，再把底面的平面展开图建立平面直角坐标系. 【解答】如图1过点D作DO,平面ABC,垂足为O,再过点O分别作PQ、QR、RP的垂线段, 垂足为F、G、E,连接 EF, DF DG，贝U tumt =工代nH =J = .“EOF0(；将底面的平面图展开如图 2所示，以P为原点建立平面直角坐标系，不妨设月(1,0)用田 1,0)。.4)网。总，因为AP=PB,g _CREr 产:y=-#x/q：y=2 3xx根据点到直线的距离公式，知OE=，f)F =黑。仃=i, JI3"J所以OE>OG>OF,UM<lan产tan优又显然疟、

12、伙y为锐角，所以a中<?。第13页，共16页故选：B.5.【答案】-5【解析】 解：复数(1-2i) (3+i) = (3-2i2) + (i-6i) =5-5i,所以它的虚部为-5.故答案为：-5.根据复数代数形式的运算法则，化简(1-2i) (3+i)即可.本题考查了复数的代数运算应用问题，是基础题.6.【答案】5【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义,的求法，是基础题.由已知求得Z1、Z2,代入十，再由复数代数形式的乘除运算及求模公式计算.【解答】解：由题意，zi=i, z2=2-i,考查复数模故答案为：5.7 .【答案】0【解析】解：根据

13、题意，i3=-i, i5=i,i2017=i, i2019=-i,则 i+i3+i5+i2019=(i+i)+(i+i)=0.故答案为：0 .根据题意，由虚数单位i的性质可得i3=-i, i5=i,i2017=i, i2019=-i,进而相加即可得 答案.本题考查复数的计算，关键是掌握i的性质，属于基础题.8 .【答案】兀【解析】 解：设圆柱的底面半径为 r,高为h, 则其侧面展开图是正方形，即2底=乩它的高与底面直径的比值是故答案为：兀r与h的关系，再计算高与设圆柱的底面半径r和高h,利用侧面展开图是正方形求出 底面直径的比.本题考查了圆柱的结构特征与应用问题，是基础题.9 .【答案】1【解

14、析】解：复数z满足|z+i|+|z-i|=2,则复数Z表示的点到(0, 1) , (0,-1)两点的距离之和为2,而(0, 1) , (0,-1)两点间的距离为2,设 A 为(0, 1) , B (0, -1),则Z表示的点的集合为线段 AB,|z+i+1的几何意义为点 Z到点C (-1,-1)的距离，分析可得，Z在点(0, -1)时，|z+i+1|取得最小值，且其最小值为1.根据题意，分析可得满足|z+i|+|z-i|=2的点Z几何意义为线段AB,进而分析|z+i+1的几何意义，进而 由图示分析可得答案.本题考查复数的模的计算，一般有两种方法，利用复数的几何意义，转化为点与点之 间的距离，设

15、出复数的代数形式，由模的计算公式进行求解.10 .【答案】(x-2-i) (x+2+i) (x-2+i) (x+2-i)【解析】解：在复数集中因式分解，令x4-6x2+25=0 ,利用求根公式可得：/亨=3±4i. x4-6x2+25= (x2-3-4i) ( x2-3+4i),.3+4i= (2+i) 2, 3-4i= (2-i) 2.原式=(x-2-i) (x+2+i) (x-2+i) (x+2-i).故答案为：(x-2-i) (x+2+i) (x-2+i) (x+2-i).利用求根公式及其平方差公式即可得出.本题考查了求根公式及其平方差公式、因式分解方法，考查了推理能力与计算能

16、力，属于基础题.11 .【答案】4【解析】解：由岩一若出力，且皿音)=4 -故答案为：4.利用复数代数形式的乘除运算化简 若，结合i4k=1得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题.12 .【答案】【解析】解：“是实系数一元二次方程 x2- (2m-1) x+m2+1=0的一个虚数根, 则M也是实系数一元二次方程 x2- ( 2m-1) x+m2+1=0的一个虚数根，.-./=- (2m-1) 2-4 (m2+1) < 0,解得 m>-y.n.a=| a=m2+1 <4 解得一V百0a 则一,em三1后.则实数m的取值范围是(一，四.故答案为：阴

17、卜“是实系数一元二次方程 x2- (2m-1) x+m2+1=0的一个虚数根，可得。也是实系数一元二次方程x2- (2m-1) x+m2+1=0的一个虚数根，由 <0,理.口=| a=m2+1<4解得m范围.本题考查了实系数一元二次方程虚数根成对原理及其与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13 .【答案】30回【解析】解：圆锥的侧面展开图 为半径为30,弧长为20兀的扇形 AOB, .最短距离为 AB的长. 扇形的圆心角为不:二至， . AB=产工 + 30；-2 X 30 X 30 X cojy =30 ?故答案为：30 作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离.

18、本题考查了圆锥的结构特征，最短距离求解，将曲面转化为平面是解题关键，属于中档 题.14 .【答案】【解析】 解：以A为原点，在平面 ABC内 过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AAi 为z轴，建立空间直角坐标系，过B作BD 1AC,交AC于点D ,直三棱柱 ABC -A1B1C1 中，ZABC=120°,AB=2, BC=CC1=1 ,AC=y" 1-2 X 25TI X7 ,|IS A2 x 2 x 1 x finlZO4 /BD= k r 十3加三而匚2， . A （0, 0, 0） , B1 *,1）,B （芟5,设异面直线AB1与BC1所成角为0,则 cos 00

19、）, C1（0, J, 1）,异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 挈.故答案为：瞿.以A为原点，在平面 ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空 间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.本题考查异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力， 考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题.15.【答案】(1) (2)【解析】 解：设m、n是两条不同的直线，a> 3是两个不同的平面，(1)若 m In, a/3,那么m与“与n与a所成的角相等，n与a和n与3所成的角相等，可得正确；(2)若mln, m

20、±a, n±3, m, n平移为相交直线，确定一个平面与a、3相交使得交线垂直，由面面垂直的定义可得aX3,可彳导(2)正确；(3)若 m±3, 13,则 m/或 m? % 故(3)错误；(4)若m/优a±3,由线面平行的T质定理可得m平行于过m且与“相交的交线，可能m /3,故(4)错误.故答案为：(1) (2).在(1)中，由线线、面面平行和线面所成角定义可判断；在(2)中，运用线面垂直的判定和性质，面面垂直的定义即可判断；在(3)中，由面面垂直的性质定理可判断；在(4)中，运用线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理可判断.本题考查空间线线和线面、面

21、面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质定理的运用，以及推理能力，属于基础题.16.【答案】【解析】解：连结AG,并延长交BC于M,连结DM,如 图所示；则AM是那BC的中线，.AB=AC, .AM1BC,连结HM，则HM是AM在平面BCD上的射影；.根据三垂线逆定理， BC1HM,.H是ABCD的垂心，. GM在BC边上的高线 DH上，即DM是BC边上的高，. DM是BC的垂直平分线， DB=DC ,zAMD是二面角 A-BC-D的平面角，.zAMD=60°,在AAMH上作GN /AH,交MH于N, 根据三角形平行比例线段性质，犷京，根据三角形重心的性质,. ZMNGsdMHA ,

22、GN_l丽. GN=：,同理,.MN=?=. NH=MH-MN =在RtAGNH中根据勾股定理,GH2=GN2+NH2,. GH2=+=,=sin60故答案为：酒.GH放在三角形中，借助于三角形的边角关系，即根据题意，画出图形，结合图形，把 可求出它的大小来.本题考查了空间中的两点间的距离的求法问题，解题时应画出图形，结合图形，把两点 间的距离放在三角形中，利用边角关系进行解答，是难题.17 .【答案】解：（1） -.z=（肉）2=-；» = -学是一元二次方程 mx2+nx+1=0的一 个根，+段是一元二次方程 mx2+nx+1=0的另一个根，。二 L； +争则 m=1+为+玲）=

23、$得n=1 ；（2）zi=（a-2i）z=（a-2i）（一;彖）=（*7：w）+（1二小 i 是纯虚数，.|a+2i|=|-2 + Zi|=；12 + 4 = 4.【解析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z,再由实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解；（2）化简zi=（a-2i） z,由实部为。且虚部不为。求得a值，然后利用复数模的计算公 式求解.本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用,考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与模的求法，是基础题.18 .【答案】 解：（1）正方体ABCD-A' B' C' D'中，直线A' B是

24、异面直线的棱所在直线有：AD, B' C' , CD, C' D' , DD' , CC',共 6 条.（2） M, N分别是A'B, BC'的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD '为z轴，建立空 间直角坐标系，则 A' （1, 0, 1） , B （1, 1, 0） , C' （0, 1, 1）,M （1，f , N （： 1, g） , B （1, 1, 0） , C （0, 1, 0）,MN=（-宙 3，0），ffc|=（-1, 0, °）,设异面直线 MN与BC所成角的大小为

25、0,则 cos 0”即 JTC-9 =45,异面直线MN与BC所成角的大小为45 °.【解析】(1)利用列举法能求出直线 A' B是异面直线的棱所在直线.(2) M, N分别是A'B, BC'的中点，以 D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD '为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN与BC所成角的大小.本题考查异面直线的判断，考果异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题.19.【答案】(1)解：侧棱PD1B面ABCD,.侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB,/PDB是侧

26、棱PB与底面ABCD所成角，.zPBD=15°,在 APBD 中，ZPDB =90。，DB=',而二7F =城(m),由 tan/PDB=言，得 tan15 =：, Jr £i4 -解得 PD = 1.52 (m),.立柱PD的长约1.52m；(2)证明：由题意知底面 ABCD是长方形， .ZBCD是直角三角形，,侧棱 PD1B 面 ABCD, .PDXDC, PD ±DB, PD±BC, .ZPDC, APDB是直角三角形，. BC1DC, BCXPD, PDADC=D, BC4面 PDC,. PC?平面 PDC, . BCIPC, .ZPBC

27、是直角三角形， 四面体PDBC为鳖月需；(3)解：PB与CD是两异面直线， CD /AB,则CD /狂面PAB, 则两异面直线 PB与CD的距离等于 CD到平面PAB的距离.也即D到平面PAB的距离，等于 D到直线PA的距离，.PD=2, AD=1, /PA=JS|,则D到PA的距离为白暇线段PB上动点E到CD距离的最小值为驾则AECD面积的最小值为 卜入号=浮【解析】(1)推导出侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB,从而/PDB是侧棱PB与 底面ABCD所成角，ZPBD=15° ,由此能求出立柱 PD的长；(2)底面ABCD是长方形，从而ABCD是直角三角形，推导出PD ±

28、;DC , PD ±DB , PD ±BC, 从而APDC, APDB是直角三角形，由 BC1平面PDC,得4PBC是直角三角形，由此能 证明四面体PDBC为鳖月需；(3)利用转化法求出异面直线CD与PB的距离，即可求得 AECD面积的最小值.本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查异面直线距离的求法，考查推理能力与计算能力，是中档题.20.【答案】(1)证明：以点A为原点建立空间;直角坐标系，如图，nR4:依题意得 A (0,0,0),B(0,0,2),C (1,y!0, 1) , B1 (0,2,2),C1(1,2,1),E (0,AH1,0)f而

29、用J西一所以 BiCi±CE；（2）解：；广工（1，7, -1）-8* j W设平面B1CE的法向量为m =（% F幻，I ' 二0I?n SiCi r2vZ = 0则L=O,即 If，2=%，取 z=1,得 x=-3, （m CE所以'=（T -2, 1） iny=-2 .由（I ）知 BiCiICE,又 CCilBiCi,CEnCi =匚且CE匚平面CECi,OC匚平面CECi,所以 BiCi"面 CECi,故由J二仕，0, -1）为平面CECi的一个法向量，从而所以二面角Bi-CE-Ci的正弦值为手.（3）解：:二（仇 11 0），二（L 】1】） i

30、Xl u口 J 1设；£广（儿儿。”专1第i15页，共i6页取.旧="'& 2）为平面ADDiAi的一个法向量,设。为直线AM与平面ADDiAi所成的角，解得虫;1所以AM = |J + 之+ 4）上二北.所以线段AM的长为住.【解析】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题.（i）由题意可知，AD, AB, AAi两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出平和3,由形得到BICICE;(2)求

31、出平面BiCE和平面CECi的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利 用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角Bi-CE-Ci的正弦值可求；(3)利用共线向量基本定理把 M的坐标用E和Ci的坐标及待求系数 入表示，求出平面 ADDiAi的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADDiAi所成角的正弦值，代入*求出入的值，则线段 AM的长可求. 62i.【答案】 解：(i)设 z=a+bi, ( a, bCR),则 Rez=a, 若a>Q则f (z) =z,由已知条件可得-a-3bi=-2+9i, ,.a, bCR,即：-a=-2, -3b=9;解得：a=2, b=

32、-3 , . z=2-3i,若a<0,则f (z) =-z,由已知条件可得-7a-5bi=-2+9i, ,.a, bCR, -7a=-2, -5b=9;.,解得 a= (舍去)，b=-, 综上可得z=2-3i,(2)：设 z=a+bi, (a, b CR),贝 U Rez=a, a>0,.集合 Pi=z|f(z) ?/(z-2i?f +2i?/(©-i2=0, zCC,解得：(a+bi) (a-bi) -2i (a+bi) +2i (a-bi) -i2=0;即：a2+b2+4b-i2=0,且 aROa2+ (b+2) 2=i6;则有(a, b)是表示在以(0,-2)为圆心

33、，半径为 4的右侧圆周上的八、,P2= w |(Jz=, zCPi,解得：w=iz=-b+ai,复平面内P2对应的点集为：(-b, a).有(a, b)是表示在以(0,-2)为圆心，半径为 4的圆周上的点；所以：(-b, a)与(a, b)关于y=-x对称的.(-b, a)是表不'在以(2, 0)为圆心，半径为 4的圆周上的点；a>0故对称轴为：x=2；(3)设存在uCC满足题设要求，令 an=Rezn, bn=Imzn, (nCN*),易的对一切n玳*士匀 有 an>o,且 an+i=|an2+an=+i-bn2|; |bn+i|=| (2an+i) bn|;(:),(i)若u-i, i,则zn显然为常数数列，故 u=±i满足题设要求，(ii)若u?-i, i,则用数学归