高中数学竞赛专题精讲14不等式的证明(含答案)

1、14不等式的证明不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型.证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下：不等式的性质：a b a b 0, a b a b 0.这是不等式的定义，也是比较法的依据.对一个不等式进行变形的性质：(1) abba (对称性)(2) abac b c (加法保序性)(3) ab, c 0 ac bc; ab, c 0acbc.(4) ab0an bn, nJ an/b(nN*).对两个以上不等式进行运算的性质.(1) a b, b c a c (传递性

2、).这是放缩法的依据(2) a b, c da c b d.(3) a b, c d a c(4) a b 0,d c 0,含绝对值不等式的性质：2(1) |x| a(a 0)x2(2) | x| a(a 0)xb d.a b ,adbc.c d2 a a x a.a2 x a或 x a.(3) |a|b| |a b| |a| |b| (三角不等式)(4) |a a?an | |a1 | | a211an | .证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造 函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法； 后者称为分析法.综合

3、法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往 用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法例题讲解1. a,b,c 0,求证：ab(a b) bc(b c) ca(c a) 6abc.a b c2. a, b,c 0, 求证：aabbcc (abc) 3a2 b23. : a,b,c R，求证 a b c 2c.22b c2a223. 3c aab2bbc ca3 cab4.设 ai,a2, ,anN ,且各不相同,1一aina222a332ann5.利用基本不等式证明

4、a2 b2 c2ab bc ca.6.已知 a b 1, a,b0,求证:b47.利用排序不等式证明Gn An8.证明：对于任意正整数R,有(11)n n(119. n为正整数,证明：n(1 n)n1(n 1)n课后练习1 .选择题方程x2-y 2=105的正整数解有（）.（A） 一组 （B）二组（C）三组（D）四组 在0,1,2,，50这51个整数中，能同时被 2, 3, 4整除的有（）.（A）3 个（B） 4 个（C） 5 个（D） 6 个2 .填空题（1）的个位数分别为及.（2）满足不） 等式104WAW 105的整数A的个数是xX 104+1,则x的值 .（3）已知整数y被7除余数为5

5、,那么y3被7除时余数为.（4）求出任何一组满足方程 x2-51y 2=1的自然数解x和y.3 .求三个正整数x、y、z满足1114十一十-式y z 5 .4 .在数列4, 8, 17, 77, 97, 106, 125, 238中相邻若干个数之和是 3的倍数，而 不是9的倍数的数组共有多少组？6 .求证*小4皿十7777注可被37整除.7 .求满足条件yF" 7的整数x, y的所有可能的值.8 .已知直角三角形的两直角边长分别为 l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l , n均为正整数，l为质数.证明：2 (l+m+n)是完全平方数.9 .如果p、q、q、 P 都是整数，并且p>

6、;1, q>1,试求p+q的值.课后练习答案1 .D.C.2 .(1)9 及 1.(2)9.(3)4.原方程可变形为 x2=(7y+1) 2+2y(y-7),令y=7可得x=50.3,4142,2 1_ 13 .不妨设xWyWz,则工 “故x03.又有工$故x>2.若x=2，则丁 5d1013-0 故y<6.又有y 1。，故y>4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3<y<4,y=3或4,z都不能是整数.4 .可仿例2解.5 .分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换.的方

7、法.222322略解：a2b22ab,同理b2c32bc,c2a22ca ；三式相加再除以2即得证.评述：(1)利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧 .222如二卫 包 x1 x2xn，可在不等式两边同时加上x2x3Xix2 X3Xn Xi.332. 2 3再如证(a 1)(b 1)(a c)3(b c)3 256a2b2c3(a,b,c 0)时，可连续使用基本不等式.a(2)基本不等式有各种变式如(一b)22/a等.但其本质特征不等式两边的次32数及系数是相等的如上式左右两边次数均为2,系数和为1.6.8888 m8(mod37), 88882222m8 2(mo

8、d37).7777三7(mod37),7777 3333m7 3(mod37),8888 2222+77773333 (8 2+73)(mod37),而 82+73=407,37|407, ：37|N.7.简解：原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y 2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件 为0 及y为整数可得0Wy&5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知，原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8 . : 12+m2=n2,. 12=(n+m)(n- m). 1 为质数,且 n+m> n-m>0, . . n+m=l2,n-m=1.于是 12=n+m=(

9、m+1)+m=2m+1,2m=1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l 2+2l+1=(l+1) 2.即 2(l+m+1)是完全平方数.2p -12t? - 1=啊9 .易知pwq,不妨设p>q.令 2="则"An由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.例题答案:1.证明:ab(ab)bc(bc) ca(c a) 6abcab(aa(b2 a(b 02 cc)22bc) b(cb(a2 c2 2ac) c(a2 b2 2ab) a)2 c(a b)2b) bc(bc) ca(c a) 6abc.解或配方时，往往采用轮换技巧-. 1.，(ab b

10、c ca)配万为 Ka2222b2 c2 2bc,c2 a2 2ca3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分.再如证明a2 b2 c2 ab bc ca时，可将a2 b2. 、22,、222_b) (b c) (c a),亦可利用 a b 2ab,获证.2 .分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法不等式关于a,b, c对称，不妨a bc,则 a b, ba都大于等于1. ca b ca b ca b c(abc) 32a b c 2b a c 2c a ba b b c(a)丁 (b产b ca c(

11、a户c1.评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n个字母的大小顺序，可方便解题（2）本题可作如下推广若ai0(i 1,2,n),则a/1 a2a2anana1 a2an（a®an）n（3）本题还可用其他方法得证。因aabbabba,同理 bbcc bccb,ccaa caac,2 .n另aabbccaabbcc, 4式相乘即得证.（4）设 ab c0,则 Iga 1g b1g c.例 3 等价于 alg ablgbalg b blga,类似例4可证 algablg bclg c alg bblg c clg a a 1g cb 1g bclga.事实上，一般地有排序不等式（排序原理）

12、：设有两个有序数组aia?an,bib2bn,则aha2b2anbn（顺序和）aMa2bj2an"”（乱序和）aibnaibn 1anbi （逆序和）其中ji, j2, ,jn是i,2, ,n的任一排列.当且仅当aa2an或bi b2bn时等号成立.排序不等式应用较为广泛（其证明略）数组的积,一 3 , 332, ,2a,b,c R 时, abc a b b c,它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序的形式如2.2aabb2,222 ,22 a b ca b b c c a; b c a3 .思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明不妨设a b c,

13、则a2 b22i, 2i2iabc（逆序 abc2i, 2i2iabc（逆序和）abc组a3 b3 c3及工-bc ac ab2 iii皿2c ,-一一，则acba2 i和），同理a cb24.分析：不等式右边各项b2i , 一一（乱序和）b（舌L序和）两式相加再除以2,即得原式中第一个不等式.再考虑数仿上可证第二个不等式ai i寸ai工；可理解为两数之积，尝试用排序不等式i i设n,b2, ,bn是a1,a2, ,an的重新排列，满足 bi b2bn，i32i所以aia2a_anbi与b_b2.由于bi,b2,bn是互不相同的正整数，23n 23 n故01,b22, ,bnn.从而bi与上b

14、n,1 -1，原式得证.2232n22n评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，a2 b2 abba,333222a b c abbccaaabbbcccaabcbaccab 3abc.5.思路分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方 法.222322a b 2ab,同理b c 2bc,c a 2ca ；三式相加再除以 2即得证.评述：(1)利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧 . 222如汉生 包 x1 x2 xn ,可在不等式两边同时加上X2X3XiX2 X3Xn Xi.再如证(a 1)(b 1)(a c)3(b

15、 c)3 256a2b2c3(a,b,c 0)时，可连续使用基本不等式.2. 2(2)基本不等式有各种变式如(ab)2 ab-等.但其本质特征不等式两边的次数及22系数是相等的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为1.6.思路分析：不等式左边是 a、b的4次式，右边为常数1，如何也转化为a、b的4次 8式呢._.441 一 4414要证a b ,即证a b (a b). 8833评述：(1)本题万法具有一定的普遍性 .如已知X1 X2 X3 1,Xi 0,求证：X1 X2110X3 1.右侧的一可理解为(X1 X2 X3)3.再如已知X1 X2 X3 0,求证：X1X2 X2X3 333 32

16、+ X3X1 0,此处可以把0理解为一(X1 X2 X3)，当然本题另有简使证法.8(2)基本不等式实际上是均值不等式的特例.(一般地，对于n个正数a1，a2, an)调和平均H n nn 11a a2an1几何平均Gnn ai a2an算术平均Anai a2平方平均Qn222aia2an2这四个平均值有以下关系：HnGnAnQn ,其中等号当且仅当aia2an时成立.7.证明：令biaiGn,(ii,2, n)则 bib?bn i ,故可取 x1，X2,Xn0，使得biX28.X2,bnX3Xn i 1, bnXnX由排序不等式有:XibiXiX2Xi=n,aiGnb2X2X3X2Xia2G、，i i评述:对一,ai a2bnXnX2（乱序和）XiXnXn（逆序和）anG7n,即aa2 nanGn.i _, 一 ， 广各数利用算术平均大于等于几何平均即可得, an分析:原不等式等价于n i,故可设法使其左边转化为A.n个数的几何平均，而右边为其算术平均i ) (i ) i(ii一) nn(ii一) nn 2 ii n i n i评述：（i）利用均值不等式证明不等式的关键是通