高中数学中对称性问题

1、对称性与周期性函数对称性、周期性的判断1 .函数y f(x)有f(a x) f(b x)(若等式两端的两自变量相加为常数，如(a x) (b x) a b ),则f(x)的图像关于x -b轴对称；当a b时，若2f (a x) f (a x)(或 f(x)f (2a x),则 f(x)关于 x a 轴对称；2 .函数y f(x)有f(x a) f (x b)(若等式两端的两自变量相减为常数，如(x a) (x b) a b),则f(x)是周期函数，其周期 T a b;当a b时，若 f (x a) f(x a),则f (x)是周期函数，其周期 T 2a；3 .函数y f(x)的图像关于点P(a

2、,b)对称 f (x) 数y f (x)的图像关于点P(a,0)对称 f (x)=f (2a x) 2b(或 f(x)=2b f (2a x)；函f (2a x)(或 f(a x)= f(a x)；4 .奇函数yf(x)的图像关于点P(a,0)对称偶函数yf(x)的图像关于点P(a,0)对称y f(x)是周期函数，且T 2a是函数的一个周期;y f(x)是周期函数，且T 4a是函数的一个周期;5 .奇函数y f(x)的图像关于直线 x a对称 y 期；偶函数y f(x)的图像关于直线x a对称 周期；f(x)是周期函数，且 T 4a是函数的一个周y f(x)是周期函数，且T 2a是函数的一个函

3、数yf(x)是周期函数，且函数y f(x)是周期函数，且6 .函数y f (x)的图像关于点 M (a,0)和点N (b,0)对称T 2(a b)是函数的一个周期；7 .函数y f(x)的图像关于直线x a和直线x b对称T 2(a b)是函数的一个周期。关系图像特征f(x) f( X)关于y轴对称f(x) f( X)关于原点对称f (a x) f (x a)关于y轴对称f(a x) f(a x)或 f(x) f (2a x)关于直线x a对称f (x) f (a x)a关于直线x 轴对称2f (a x) f (b x)关于直线x -a-对称2f(x) f(x a)周期函数，周期为 a对小、点

4、称 、点 直X'（对称中心P(a, b)l : Ax By C 0C： f(x,y) 0原点（0, 0）(a, b)A( x) B( y) C 0f( x, y) 0M (x),yo)(2xo a,2yo b)A(2xo x) B(2y。y) C 0f (2x0 x,2y0 y) 0x轴(a, b)Ax B( y) C 0f(x, y) 0y轴(a,b)A( x) By C 0f( x, y) 0直线x y(b,a)Bx Ay C 0f (x, y) 0直线x y(b, a)B( x) A( y) C 0f( y, x) 0x y m 0(b m, a m)A( y m) B( x m

5、) C 0f ( y m, x m) 0x y m 0(b m, a m)A(y m) B(x m) C 0f (y m,x m) 0点关于点的对称中心对称问题（点对称问题）直线关于点的对称曲线关于点的对称对称问题点关于直线的对称轴对称问题（线对称问题）直线关于直线的对称曲线关于直线的对称一、 点对称（1）点关于点的对称点问题若点A（Xi,yi）, B（X2,y2）,则线段AB中点M的坐标是（xx2-,y1一y2）；据此可以解求点与点的22中心对称，即求点M(x0,y0)关于点P(a,b)的对称点 M的坐标(x,y),利用中点坐标公式可得 a %万± b yyy,解算的M'的

6、坐标为(2a x0, 2b y°)。的优，片)jr“a22例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点M的坐标是(4,1)x0, 2b y°).; 点M(xo,y°)关于原点的对称点 M的坐标(2a Xo,2byo)=( Xo,yo) 点M(xo,y°)关于点P(a,b)的对称点M的坐标(2a(2)直线关于点对称直线L： Ax By C 0关于原点的对称直线(x, y),因为M点在直线L上，故设所求直线上一点为M (x, y),则它关于原点的对称点为0;有 A( x) B( y) C 0,即 Ax By C直线Ax By C 0关于某一点P(a,b)

7、的对称直线l2它的求法分两种情况:1)、当P(a,b)在l1上时，它的对称直线为过P点的任一条直线。2)、当P点不在li上时，对称直线的求法为:解法(一)：在直线12上任取一点M (x, y),则它关于 '、 , '.P的对称点为M (2a x,2b y),因为M点在1，把M点坐标代入直线在l1中，便得到l2的方程即为yA(2a x) B(2b y) C 0,简化为：Ax By C 2aA2bB 0.解法(二)：在1i上取一点M(x1,y。，求出M关于P点的对称点M (2a x1，2b y1)的坐标。再A 由Kl1 Kl2,可求出直线l2的方程。B解法(三)：由Kii Ka 可

8、设1i：Ax By C 0关于点P(a,b)的对称直线为 Ax By C' 0且1ALBb f lAaBb 9 求设C '从而可求的及对称直线方程。,'A2 B2A2 B2(3)曲线关于点对称曲线G : f (x,y) 0关于P(a,b)的对称曲线的求法：设M (x,y)是所求曲线的任一点，则M点关于P(a,b)的对称点为(2a x,2b y)在曲线f(x,y) 0上。故对称曲线方程为 f(2a x,2b y) 0。二、直线的对称(1)点关于直线的对称Vx-mMxry)1)点P(a,b)关于x轴的对称点为P'(a, b)2)点P(a,b)关于y轴的对称点为P&#

9、39;( a,b)3)关于直线x m的对称点是P'(2m a,b)4)关于直线y n的对称点是P'(a,2n b)5)点P(a,b)关于直线y x的对称点为P'(b,a)6)点P(a,b)关于直线yx的对称点为P'( b, a)7)点P(a, b)关于某直线L : Ax By C 0的对称点P'的坐标解法(一)：由 PPU L 知，KPP'BAx By C 0直线PP'的方程- y b -(x a),由bAy b(x a)A卢一,b)把中点坐标代入 22可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点P'的坐标。解法(二)：设对称点为P

10、'(x,y),由中点坐标公式求得中点坐标为L中得到A a- B b- C 0；再由Kpp' B得b二 旦，联立、可得到P'点坐标。 22A a x A解法(三)：设对称点为P'(x,y),由点到直线的距离公式有Aa Bb C| |Ax By CA2 B2A2 B2，再由KPP, B得 Jy B，由、可得到 P'点坐标。A a x A(2)直线li关于直线l的对称直线12设直线1: Ax By C 0,则1关于x轴对称的直线是Ax B( y) C 0关于y轴对称的直线是A( x) By C 0关于y x对称的直线是Bx Ay C 0 关于 y x 对称的直

11、线A( y) B( x) C 01)当li与1不相交时，则li / 1 / I2在li上取一点M(xc,y。)求出它关于l的对称点M'的坐标。再利用 Km K12可求出12的方程。2)当li与l相交时，li、1、12三线交于一点。解法(一)：先解li与l组成的方程组，求出交点A 的坐标。则交点必在对称直线l2上。再在1i上找一点B , 点B的对称点B'也在12上，由A、B'两点可求出直 线%的方程。解法(二)：在li上任取一点P(X，yi),则P点关 于直线1的对称点 Q在直线12上，再由 PQ 1 1 ,KpQgKL i 。又PQ的中点在1上，由此解得xif(x,y)

12、,yg(x, y),把点(为，乂)代入直线11的方程中可求出12的方程。解法(三)：设li关于1的对称直线为12 ,则12必过li与1的交点，且12到1的角等于1到li的角，从 而求出12的斜率，进而求出12的方程。例：求直线1i：2x y 3 0关于直线1：x y i 0对称的直线b的方程解：设M x,y为所求直线12上任意一点，则其关于1对称的点M ' xi,yi在直线h上.-11x x1(MM' l,即 Kmm'H=-1)Xix x12-0 （MM'的中在l上）yi又 Q2xi yi 3 01 y 1x30故所求直线方程为x2y（3）曲线关于直线对称曲线G

13、关于直线i的对称曲线C2的方程，在C2上任取一点M （x,y）,可求出它关于l的对称点坐标，再代入G中，就可求得c2的方程。例：求圆x21关于直线l ： x y 10的对称圆的方程解法（一）：x,y为所求圆上任意一点,则其关于 l对称的点M ' x11yl在x2y2 1 上.y y1x x11 (MM' I,WKmm'CKi=-1)1 0 （MM'的中在l上）y122.Q xy112x 11即为对称圆的方程解法（二）：求圆心（所求圆方程为y0)2例:求椭圆解:x,yx1关于l对称点C （12x 111关于直线l ： x y 11）0对称椭圆的方程为所求椭圆上任意

14、一点，则其关于l对称的点M ' x11yl在x21上.y1综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是:(1)求对称点一般采用，先设对称点P（x,y）,再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出x,y的方程组,解方程组所得的解就是对称点的坐标，求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点M (x, y),再利用求对称点的方程求出 M点的对称点M '点坐标，将M '点坐标代入已知曲线方程中,所得的关于x,y的关系式，就是所求对称曲线的方程。通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下:对A点称 、点 、直(对称中心)aP(a

15、,b)kl : Ax By C 。C： f(x, y)。原点(。，。)(a, b)A( x) B( y) C 。f( x, y)。M (x。)。)(2xo a,2y。b)A(2xo x) B(2y。 y) C 。f (2xo x,2y。 y)。x轴(a, b)Ax B( y) C 0f(x, y)。y轴(a,b)A( x) By C 0f( x,y)。直线x y(b,a)Bx Ay C 0f(x,y)。直线x y(b, a)B( x) A( y) C 。f( y, x)。x y m 0(b m, a m)A( y m) B( x m) C 。f( y m, x m)。x y m 0(b m,

16、a m)A(y m) B(x m) C 0f (y m, x m)。三、函数图像自身的对称a b一般地，函数y f(x)的图象关于x 2对称y f (x)满足f(a x) f(b x)证明：1)若y f(x)满足f (a x) f(b x),设P(xo, yO)是y f(x)的图象上的任意一点，则 a by°f (xo),P(xo，yo)关于直线 x 的对称点是 Q(a b %,丫。)2由条件知 f (a b xo) f (b (b x。)f (x°) y0a b所以Q(a b x0,yo)在y f (x)的图象上，故函数y f(x)的图象关于x 对称.2 a b2)右函数

17、y f(x)的图象关于x 一一对称.设P(x0,y0)是y f (x)的图象上的任意一点，则a bP(x。，y。)关于x 2对 称点Q(a b x。，y。)也在y f (x)的图象上。从而有V。f (xo)f (a b x。)。令 b x。x 则有 f(a x) f (b x)特例: 当b=a时，函数y f(x)的图象关于x a对称 y f (x)满足f(a x) f (a x) 当a=0,b=2m 时，函数y f(x)的图象关于x m对称 y f (x)满足f (x) f (2m x) 当a+b=0 时，函数y f(x)的图象关于x 0对称 y f (x)满足 f( a x) f(a x)或

18、f(a x) f( a x)(2)函数 y f(x)关于点(a,b)对称 f(a x) f(a x) 2b,或 f(2a x) f( x) 2b 或 f (2a x) f(x) 2b简证：设点(x1,y1)在 y f(x)上，即 y1f(x1),通过 f(2a x) f (x) 2b 可知，f(2ax1)f(x1)2b,所以 f (2ax1)2bf(x1)2by1,所以点(2a x1,2by1)也在y f(x)上，而点(2a x1,2b y1)与(x1, y1)关于(a,b)对称。得证。关系图像特征f(x) f( x)关于y轴对称f(x) f( x)关于原点对称f (a x) f (x a)关

19、于y轴对称f (a x) f(a x),或 f(x) f (2a x)大h直线x a对称f (x) f (a x)关于直线x 一轴对称 2f (a x) f (b x)关于直线x 对称2f(x) f(x a)周期函数，周期为a四、两个函数图像的对称关系图像特征y f (x)与 y f( x)换种说法：y “*)与丫 g(x)若满足f (x) g( x)关于y轴对称y "刈与丫 f (x)关于x轴对称y f (x)与 y f( x)关于原点对称一一 1 ,、y "刈与丫 f (x)关,直线y x对称y f (a x)与 y f (b x)美十直线x -ab对称2y f (a

20、x)与 y f (a x)或 y f (x)与 y f (2a x)关h直线x a对称y f(x)与 y 2a f (x)换种说法：y ”*)与丫 g(x)若满足f (x) g(x) 2a关,直线y a对称y"*)与丫 2b f (2a x)换种说法：y f(x)与 y g(x)若满足 f (x) g(2a x) 2b关于点(a,b)对称五、周期性1、一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x T) f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。推广：若f (x a) f (x

21、 b),则f(x)是周期函数，b a是它的一个周期2.若T是周期，则kT(k 0,k Z)也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期 是指函数的最小正周期。说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数 f (x) C ；3、对于非零常数 A,若函数y f(x)满足f(xA) f(x),则函数y f(x)必有一个周期为 2A。证明：f(x 2A) fx (x A) f (x A)f(x)f(x)函数y f(x)的一个周期为2A。4、对于非零常数A,函数f (x)满足 f (xA)则函数y f(x)的一个周期为2A。证明：f(x 2A) f (x1 A)f(x A)f (x)。5、对

22、于非零常数A,函数f (x)满足 f (xA),则函数y f (x)的一个周期为2A。证明：f(x 2A) f (xA)f(x A)f(x)。6、已知函数f (x)的定义域为N ,且对任意正整数 x都有f(x) f(x a) f(x a)(a 0)则函数的一个周期为 6a证明：f(x)f(x a) f (x a)(1)f (x a) f(x) f(x 2a)(2)两式相加得：f (x a) f (x 2a)f (x) f (x 3a) f (x 6a)六、对称性和周期性之间的联系性质 1：函数 y f(x)满足 f (a x) f (a x) , f (b x) f (b x) (a b),求

23、证：函数 y f(x)是周期函数。证明：: f (a x) f (a x)得 f(x) f (2a x)f (b x) f (b x)得 f(x) f (2b x)f(2a x) f (2b x)f(x) f (2b 2a x)函数y f(x)是周期函数，且2b 2a是一个周期。性质 2：函数 y f (x)满足 f (a x) f (a x) c 和 f(b x) f (b x) c (a b)时，函数 y f (x)是 cc周期函数。(函数y f(x)图象有两个对称中心(a, )、(b,)时，函数y f(x)是周期函数，且22对称中心距离的两倍，是函数的一个周期)证明：由 f (a x) f (a x) c f(x) f (2a x) cf (b x) f (b x) c f