江苏省南京市2021届高三年级学情调研数学试卷及答案

1、高三教学试题第20页(共21页)1.2.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限南京市2021届高三年级学情调研2020.09一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.已知集合A=卅一x-2V0, B=x<x<3 则 Af!B=A. xl-l<x<3 B. x<x<1 C. xll<x<2) D. x2<x<3已知(3-4i)z=l+i,其中i为虚数单位，则在复平而内z对应的点位于3.已知向量。，力满足kzl=l, I力1 = 2

2、,且以+力1=小，则。与力的夹角为4.C-D.2nT在平面直角坐标系xOy中，若点尸(4短，0)到双曲线C：=1的一条渐近线的距离为6,则双曲线C的离心率为A. 2B. 4C. V25.在 ABC中，角A, B, C的对边分别为小b, c.若2cosCs2a-c,则角8的取值范用是A. (0,争JB. (0,学C. p 7T)D.畀)6.设"=log49, b=2 12, c=(盘)则A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. c>a>b7 .在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：。-1)2+,2=1,点8(3, 0),过动点尸

3、引圆A的 切线，切点为T.若PT=5B,则动点尸的轨迹方程为A.片+y2 14x+18=0B. A2+y2+14a+18=0C. a-2+/-10x+18=0D. A2+y2+10.v+18=08 .已知奇函数/(x)的定义域为 R,且/(l+x)=/(l x).若当 x£(0, 1时，,/(x)=log2(2r+ 933),则/(十)的值是A. -3B. -2C. 2D. 3二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对 得3分，不选或有错选的得0分.9. 5G时代已经到

4、来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的 快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经 济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图，某单位结合近年数据，对今后几年 的5G经济产出做出预测.由上图提供的信息可知A.运营商的经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10.将函数/U)=sin2t的图象向左平移辩单位后，得到函数产如)的图象，则A.函数g(x)的图象关于直线x=当对称B.函数小)的图象关于点60)对称C

5、.函数式x)在区间(一相，一方上单调递增D.函数四)在区间(0, 3上有2个零点1 1 .己知(2+x)( 1 +贝(IA.俏的值为2B. a5的值为16C. “i+s+m+s+as+ae 的值为一5 D. “i+oj+as 的值为 12012.记函数人0与g(x)的定义域的交集为/.若存在回£/,使得对任意不等式/U)g(x)(x-xo)*恒成立，则称(/U), #(x)构成“M函数对”.下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有()A. «，)=hu, g(x),B. /U)=e* g(x)=exXD. /U)=x+1，g(x)=3日-V三、填空题：本大题共4小题，每小题

6、5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13 .如图，一个底而半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为，的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好1升%,贝呼= .f |14 .被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287前212）,是古希腊伟大的物理学家、数学 家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的 封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三 分之二.这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形.在 平面直角坐标系xOy中，已知直线/： ，=4与抛物线C：）,=*交于A, 8两点，

7、则弦 AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为 .15 .已知数列（如的各项均为正数,其前n项和为S“，且则出= :若“1 = 2,则S?o= .（本题第一空2分，第二空3分）16 .若不等式3小+版+12W1对一切x£R恒成立，其中“，/7GR, e为自然对数的底数， 则的取值范围是 .四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤.17 .（本小题满分10分）已知向量/w = （2cosx, 1）, =（Ssinx, 2cos2x）, xR.设函数1 .（1）求函数./U）的最小正周期：（2）若旌生沏且的）=4,求c

8、os2a的值.J 1 LJ18 .（本小题满分12分）已知数列（小是公比为2的等比数列，其前项和为S. 7（1）在S】+S3 = 252 + 2,S3=，4243 = 444这三个条件中任选一个，补充到上述题干中.求数列（”的通项公式，并判断此时数列他“是否满足条件P：任意b a,nan 均为数列%中的项,说明理由:（2）设数列瓦满足瓦=（少）”“，£N，求数列6的前”项和方.注：在第（D问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19 .（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40 人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个

9、学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：否达标性别不达标达标男生3624女生1030（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：X2 =n(adbc)2(a +d)(a+c)(b+d)尸父）0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828（2）如果用这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和 女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立.现从该校学生中随机抽取3 人（2男1女），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数“，试求X的分布列和数学 期望.20 .（本小题满分12分）如图

10、，在四棱锥尸一A8CO中，平面以。，平而ABC。，AD/BC, AB=BC=PA = 9 AO=2, NFO=NZMB=90。，点 E 在棱 PC 上，i5 CE=XCP.（1）求证：CQ_LAE：（2）记二面角C-AED的平面角为8, 且Icos6l=华，求实数2的值.21 .（本小题满分12分）在平而直角坐标系X。）、中，已知椭圆。：亍+），2=1.（1）设椭圆C的左、右焦点分别为p, B，7是椭圆。上的一个动点，求而西的 取值范围；（2）设40, 1）,与坐标轴不垂直的直线/交椭圆。于&。两点.若ABO是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线/的方程.22.（本小题满分12分）

11、已知函数/（x）=心,一xhiT, k£R.（1）当女=2时，求函数.f（x）的单调区间：（2）当0.烬1时，.f（x）弘恒成立，求上的取值范围:4十、T ,nl m2 nn n（n 1）（3）设£N ,求I止：+-.南京市2021届高三年级学情调研测试数学试卷考点扫描一、单项选择题:题号考点所属章节/模块第1题集合的运算（交集）集合第2题复数的运算复数高三教学试题第20页（共21页）第3题平面向量的数量积运算平面向量第4题圆锥曲线的几何性质（离心率）圆锥曲线第5题解二角形（正余弦定理）解三角形第6题指数、对数比较大小指数函数、对数函数第7题动点的轨迹方程（直线与圆）解析几

12、何第8题函数的基本性质（奇偶性、周期性、对称性）函数的概念与性质整体分析：1-6题较为基础；第7题需要掌握切线长的转换，进而表示PA与PB 的表达式，通过设P点求出轨迹方程；第8题需要利用已知条件中的关系式（关 于直线ml对称）、奇函数得出周期，进而求出对应区间的函数值。单项选择题 基本上都是考查基础，难度较低或中等偏下一些，需要平时多多注重基础的扎实 度，拿到满分比较容易。二、多项选择题:题号考点所属章节/模块第9题统计图的信息统计第第题三角函数的对称轴、对称中心、单调性、零点三角函数的图像与性 质第11题二项式定理中项的系数二项式定理第第题新定义函数函数的概念与性质整体分析：9-11题考查

13、较为基础，难度较低，但要注意所学知识的全面性，不能 有漏洞，另外，多选题更需要策略和方法。12题要注意理解新定义的概念，并 运用函数的性质验证即可，难度一般，但是容易失分或少得分。三、填空题:题号考点所属章节/模块第13题圆柱体与球的体积几何体的体积高三数学试邀第20页（共21页）第14题文化题（抛物线的切线、面积）圆锥曲线、导数的几 何意义第15题数列的项、求和数列求和第16题含参函数的恒成立问题函数与导数整体分析：13题较为基础，主要考查几何体的体积运算；14题考查文化题题型, 需要理解阿基米德三角形或定理的运算，然后应用到抛物线求解切线方程以及直 线构成的三角形的面积，当然千万不要忘记最

14、后的三分之二，难度一般，此题为 新题型：文化题，需要注意训练；15题考查数列的性质及求和，该数列较为容 易递推出来奇数项和偶数项都是隔项成等差数列，而且奇数项和偶数项一样，进 而求出第4项和求和，难度适中，此题为新题型：双空题，需要注意训练；16 题考查多参数的函数恒成立问题，需要分类进行讨论，分析求导并判断单调性得 出答案，难度中等偏上，一般情况下不一定能做出来。四、解答题：题号考点所属章节/模块第17题平面向量数量积坐标公式、三角函数的图像 与性质、三角恒等变换求三角函数值平面向量、三角函数第18题数列求通项公式、错位相减求和数列第19题线性回归分析、随机变量的分布列、期望统计案例、概率统

15、计第20题立体几何证明平行与垂直、二面角问题立体几何、空间向量第21题椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系综 合圆锥曲线第22题函数的单调性、恒成立问题、推理与证明函数与导数整体分析：17题考查平面向量数量积坐标公式、三角函数的图像与性质、三角 恒等变换求三角函数值等，难度较小，需要拿到满分；18题考查数列的通项公 式、错位相减法求和，此题为新题型：开放性试题，平时需要注意训练；19题 高三教学试题第20页（共21页）考查线性回归分析、随机变量的概率、期望、分布列等，难度不大，较为基础， 需要注意计算正确；20题考查立体几何证明平行与垂直、利用二面角的余弦值 求实数，需要利用空间向量建立空间直

16、角坐标系解题，难度不大，同样需要注意 求解面的法向量时的计算；21题考查圆锥曲线综合，整体来说，第一问考查较 为新颖，而不是老套的求解标准方程，第二问考查较为经典：中点弦、向量垂直 等关系，需要设出直线方程，利用垂直求得关系式得出结果，注意不要忘记检验 二次函数的判别式是否满足题意，难度中等，也许拿到满分不是那么容易；21 题考查导数与函数综合应用，第一问，较为简单，求函数的单调区间；第二问， 考查含参函数的恒成立问题，需要分类讨论，最好是构造新函数解决，较为清晰 化，难度中等；第三问，利用第二问的一般性结论证明不等式，并合理利用函数 性质建立不等关系，证明结果，难度较大。南京市2021届高三

17、年级学情调研全解析2020.09注意事项：1 .本试卷共6页，包括单项选择题（第1题第8题）、多项选择题（第9题第12题）、 填空题（第13题第16题）、解答题（第17题第22题）四部分.本试卷满分为150 分，考试时间为120分钟.2 .答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3 .作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信 息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内, 在其他位置作答一律无效.一、单项选择题：本大题共8

18、小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1 .已知集合A=*2 -2<0, 5=aI1<a<3 ,则 AA8=A. xI-1<a<3 B. .rl-l<r<l C. Il<x<2 D. x2<x<3解析：集合八="小一x-2V0=3-l<x<2）, An8=xll<xV2,答案选 C.2 .已知（3-4i）z=l+i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1 + i（1 +

19、z X3 + 4/）1 + 7z,1八 y f一 口 aa- m* c解析：Z= 7-T =，Z对应的点位于第二象限,某也B.3-4/ （3 - 4i）（3 + 4i）253 .已知向量。，力满足3=1,咖=2,且匕+。1=，5,则。与力的夹角为 n门 兀-5冗-27cA- 6B- 3C- -6D- T解析：-b2=al2+2a b+b2=5+4cos0 =3,解得 cosC = -L 0 e fo, tt,所以 6 =2，23答案选D.4 .在平面直角坐标系xOy中，若点、P（4小,0）到双曲线C：点一9n的一条渐近线的距离 为6,则双曲线C的离心率为A. 2B. 4C. D,巾解析：双曲线

20、C： '一卷=1的一条渐进线方程为3世即=0,则点P到该渐进线方程的距离为. =6,解得4=3,所以椭圆的离心率为6 =上=上=2,故答案选 +32。 6A.5 .在 ABC中，角A, B, C的对边分别为小，c.若2/2cos3a-c,则角8的取值范 围是A. （0, 1B. （0,争C. 1,兀）D.卓,兀）2,22解析：因为2cosCs2a-c,所以由余弦定理可得2"W2a-c,化简得班金尸十02 2ab一2,即cosBL,因为8£（o,乃），则8七0,。，答案选A. 236.设 a=lo幻9, b=2 12, c则1 -38支 zfA. a>b>

21、cB. b>a>cC. a>c>hD. c>a>h解析：由题意=2 12<2° = 1, t/=log49=log2 3=log2 y/9 > log22v7 = - » c=(捺尸=，所 22以答案选C.7 .在平面直角坐标系xOy中，己知圆A： (x- 1)2+炉=1,点5(3, 0),过动点P引圆A的切线，切点为7.若PT=pPB,则动点尸的轨迹方程为A.9+)21曲+18=0B. x2+y24-14x+18=0C. A-2+/-10x+18=0D. x2+y2+10x4-18=0解析：根据切线长的求解方法得到PT=a/

22、PA2-1=立尸8,即P/fl = 2P82,设点P(x, y),代入到公式中化简得，10x4-18=0,答案选C.8 .已知奇函数/(%)的定义域为R,且/(l+x)=lr).若当x£(0, 1时，Hx)=log2(2x+ 3),则/(十)的值是A. -3B. -2C. 2D. 3解析：由题意/(l+x)=/(l X)可得函数关于直线户1对称，则有/(2+x)=/( - X),且OQ为奇函数，则/(2+x)=/(f )=-幻,/(4+幻=一/(2+幻=/。)，即周期为4,所以/(y)高三教学试题第20页(共21页)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

23、四个选项中， 有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对 得3分，不选或有错选的得。分.9 . 5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的 快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经 济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图，某单位结合近年数据，对今后几年 的5G经济产出做出预测.由上图提供的信息可知A.运营商的经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势解析：由图

24、可知设备制造商在各年的总经济产出中并非一直处于领先地位，很明显C选项 不正确，答案选ABD.10 .将函数以尸sin2x的图象向左平移髀单位后，得到函数产#)的图象，则A.函数g)的图象关于直线户,对称B.函数姆)的图象关于点/，0)对称C.函数“)在区间(一言 冷)上单调递增D.函数g(x)在区间(0,蒋上有2个零点 / 解析：由题意可知尸g(x)=sin 2x + f ,可验证g哈尸1,所以A选项正确；%女),所以B选项错误：令一二<2%+巳<£,解得一些vx<£,所以C选项正确：法一：可 23 21212jrk 冗 jr通过五点作图法画出图像验证D选

25、项：法二：可令2x + = %笈，解得x =， keZ,326在区间(0, 个)上有满足题意，为两个零点，所以D选项正确，答案选ACD. 63 611 .已知(2+x)(l 贝UA. ao的值为2B. as的值为16C. “1+42+43+44+45+46 的值为-5 D.+好的值为 120解析：由题意可令x=0,解得“0=2,所以A选项正确；”5=C2(2)4+2(一2=-64, 所以B选项正确：令X=l,解得的+“1+。2+“3+。4+生+”6= -3,所以“1+02+43+04 + “5 + ”6=-5,所以 C 选项正确：令 A- 1 » 解得 40 41+“2 - 43 +

26、 44 -45 + a6=3o + "2 + “4 + 46)31+"3+"5)=243,式子间进行联立，可解得“i+"3 + "5=-123,所以D选 项错误，答案选ABC.12 .记函数代，)与g(x)的定义域的交集为/.若存在刈£/,使得对任意XE/,不等式 伏>)-g(x)"f。后0恒成立，则称(/U),代。)构成“M函数对下列所给的两个函数能 构成“M函数对”的有()A.凡*)=lnx, g(x)=1B. ./U)=e j?(x)=exC. y(x)=x3, g(x)=/D. /(x)=x+-t g(x)=3

27、5.V解析：由题意/(X)g(X)(XXu)N0恒成立，可知当X<Xo时，.")Wg(X)'当X > X。时，./U)Ng(X), 则可根据图象验证选项，只有AC选项符合，故答案选AC.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13 .如图，一个底而半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为，的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好1升高g则* .答案：2解析：由题意可列出体积公式为：7lR1- = r 解得四=2. 33 r14 .被誉为“数学之神''之称的阿基米德（前287前212）,是古希

28、腊伟大的物理学家、数学 家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的 封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三 分之二.这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形.在 平面直角坐标系xOy中，已知直线/： ，=4与抛物线C：）,=*交于A, 8两点，则弦 AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为一 .解析：由题意可求出A, 8点的坐标分别为A（4, 4）, 8（4, 4）,且求得在A, 8两点的切 线方程分别为：y=-2x-4, y=2x-4,两直线交点为（0, - 4）,则弦AB与两切线构 成的三角形的面

29、枳为1x8x8,则弦AB与抛物线C所围成的封闭图形的面积为-x8x8x- =15 .已知数列“的各项均为正数,其前项和为S”,且则“4=:若“1 = 2,则S20=.（本题第一空2分，第二空3分）答案：4； 220解析：由 2sli=cinan4-1 可得 2s+（int M12，两式相减得 3 2，由数列«的各项均为正数,可得到一%=2,令=1,则有2s=2"="1“2，解得“2=2,所 以“4=4：若“1=2,则“3=4,即奇数列与偶数列均为首项为2,公差为2的等差数列, （10x9）可求得 520=2 10x2 + x2 I =220.16 .若不等式（“储

30、+以+1QW对一切x£R恒成立，其中小£R, e为自然对数的底数，则a+的取值范围是答案：（-8， 1解析：可设於AQ/+bx+DeS可知80）=1,又由一切x£R时,恒成立,则得到0为函数./U）取得最大值的点,也是极大值点，则由八八）=，*+（2“+母r+ 1片, "0）=+1=0,解得 b=-l,所以yu）=（ax2-x+l）e*/a）=kr+2a-lxe, 所以当。二0 时，可得到."）在（一8,0）上单调递增，在（0,+ 8）上单调递减，可得,"月（0）,满足题意:当4<0时,危）在（-8,匕口4上单调递减，在匕

31、71;,0上单调递增，在（o, + s） V « ） - 2“上单调递减,且在X <时,a?r + 1<0,贝（几¥）=（加+6+1把,<1,则可得 肘）勺0）,a满足题意：综上，HO, h=T,则”+b£（8, 1四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤.17 .（本小题满分10分）已知向量加= （2cosx, 1）, =（正sinx, 2cos4）, aGR.设函数/U）=/+1 （i）求函数./U）的最小正周期：（2）若仁£百，帝，且./（a）=|,求cos2

32、a的值. J 1 /rJ解析：因为 m=(2cosx, - 1), =(娟sinx, 2cos2x)» 所以,")="+1 =2小 shucosx2cos'+1=y?sin2x-cos2x=2sin(2r1).(1) r=y=7T.(2)由/(a)T，得融3三=：, 36。由。£色，得失2a一器兀，所以 cos(2a-6=_d-sin2(2a-)=-2=.从而 cos2a=cos(2a-7)+Tl=cos(2at)cos7-sin(2a-T)sinT 6666o o3 73 4 1_一4- 3V55X 2一花一 1010分高三教学试题第20页（共

33、21页）18 .（本小题满分12分）已知数列（%是公比为2的等比数列，其前项和为S.7（1）在$+53=252+2,§3=手 生"3=4以这三个条件中任选一个，补充到上述 题干中.求数列“的通项公式，并判断此时数列伍“是否满足条件尸：任意J, »GN ainan 均为数列"”中的项，说明理由；（2）设数列也满足瓦尸（一）门，£N，求数列儿的前项和注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解析：（1）选，因为 Si+S3=2S2+2,所以 S3 -S2 = $2 S1+2,即 “3 = «2+ 2, 又数列如是公比

34、为2的等比数列， 所以 44 =2©+2,解得 “1 = 1,因此为=以2广1=2”二.4分此时任意小CN*,%Mr = 2'"l2 |=2环厂2,由于-1 WN'所以SM是数列"”的第? + 一 1项, 因此数列皿满足条件户.7分选， 77因为 S3=$ 即 ©+s+a3=i又数列“”是公比为2的等比数列， 71所以“i+2a+4a=?解得】=?因此 a”=|x2" I4 分2此时4"” = §<“£。，即4"”不为数列”“中的项，因此数列“”不满足条件P.7分选，因为 “x/=4

35、4,又数列诙是公比为2的等比数列，所以 2aix4i =4x&小 又知，故=4,因此 “”=4x2" 1=2"14 分此时任意in, -必=2,+3=2""+2,高三教学试题第20页（共21页）由于m+” + l£N",所以是为数列（“”的第/+1项, 因此数列皿满足条件P.7分（2）因为数列（“）是公比为2的等比数列，所以3=2,因此儿=x2门. Cln所以 Lr=lx20+2x2,4-3x22+.+/ix2n-1,则 2刀尸1 x21+2x22 +.+（；!-1 ）x2M-1 + nxZ,两式相减得一器=l+2+22+2”

36、t-x2”10分l-2/r =二一"2” =（l-n）2n-L所以“=（- 1）2"+1.12 分19 .（本小题满分12分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40 人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：否达标性别不达标达标男生3624女生1030（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？附：X2 =n(ad-hc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)PQ2次0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828（2）如果用

37、这100名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和 女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立.现从该校学生中随机抽取3 人（2男1女），设随机变量X表示“3人中课外阅读达标的人数“，试求X的分布列和数学 期望.解析：（1）假设从）：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得2450loT之11.836>6.635,100x(36x30-24x10尸 (36+24)x(10+30)x(36+10)x(24+30)因为当儿成立时，冷6.635的概率约为0.01,所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关4分（2）记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课

38、外阅读达标：事件8为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标.24 230 3由题意知:P（A）=苏带23）=而=干6分随机变量X的取值可能为0, 1, 2, 3.239尸(*=。)=(1-触(1-3=悬 2933239P(X= 1)=C2XX(1 -)X(1 -1)+?(1 一爹=盂，P(X=2)=(1)2x(l j)+C2x|x(l ， 3 3P(X=3)=(#xj=q所以随机变量X的分布列为:X0123P910039 Too2532510分期望印0=。哈/以啬+2x1+3x宏= 1.55.12 分20 .（本小题满分12分）如图，在四棱锥尸一A8CO中，平面以。，平而ABC。，AD/BC

39、, AB=BC=PA = 9 AO=2, NFO=NZMB=90。，点 E 在棱 PC 上，i5 CE=XCP.（1）求证：CQ_LAE：（2）记二面角C-AED的平面角为8, 且Icos6l=华，求实数2的值.解析：（1）证明：因为NB4O=90。，所以以LAD高三教学试题第20页（共21页）因为平面用£)L平而ABC。，平而阴orr平而A8CO=AO,用u平面E"), 所以B4J_平面A3CO.2分又CQc平而ABC。，所以。，心.在四边形 A3CZ)中，AD/BC. NOA8=90。，所以NABC=90。， 又A8=3C=1,所以A8C是等腰直角三角形，即NB4C=N

40、CAO=45。，AC=yf2. 在C4D 中，ZCAD=45°, AC=" AD=2,所以 CD=, AG+ADZ-ZxACx/WxcosNCAOng,从而 40+82=4=4)2.所以COLAC4分又ACnB4=A, AC,用u平而小C 所以CQL平而以C又AEu平而PAC,所以CDL4E.6分(2)解：因为阴L平而ABC。，BALAD.故以凝，石，港为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.因为A8=8C=阴=1, AD=2.所以 A(0, 0，0),尸(0, 0, 1),C(L 1, 0), 0(0, 2, 0),则品=(- 1, 1, 0), AD=(0. 2, 0

41、).因为点E在棱PC上，且CE=7CP,所以CEaCP,设 E(x, y, z),则(xl, yL 力=，-1, 1, 1), 故上(1一2, 1一九 z),所以益=(1 -2, 1-2, z).由(1)知，8,平而以。，所以平而ACE的一个法向量为=力=(- 1, 1, 0).设平面AE。的法向量为雁=(即,yif zi)>/ 益=0,mAD=0,得(1 -2)x1+(1 -+Qi =0,令zi = l一九 所以平面AED的一个法向量为旭=(一九0, 12).9分因此 lcosl=lcos<m, >1=1 黑1 =上厂 4川川6#+(1)25化简得3产一82+4=0,解得丸=,或2.2因为E在棱尸C上，所以£0, 1,所以幺=不所以当lcosa=¥时，实数;I的值为*12分21 .（本小题满分12分）X2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C 7+