三角函数专题复习

1、三角函数图象和性质（精心）三角函数专题复习专题辅导一:三角函数的基本性质及解题思路第一部分三角函数公式1、两角和与差的三角函数：cos ( a+B )=cos a cos B-sin a sinP cos ( a - B )=cos a cosB+sina sin 3 sin( a ± B )=sin a cos B ±cos a sinBtan( a +0 ) = (tan a +tan B )/(1 -tana tan B )tan( a - 6 ) = (tan a -tan B ) / (1+tan a tan P2、倍角公式：sin(2 a) =2sin a co

2、s a =2/ (tan a +cota )cos(2 a)=(cos a)-2-(sin a)-2二2(cos a)2-l=l-2(sina)2tan (2 a) =2tan a / (l-tan"2 a )3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角 公式：sin (a ± /?) = sin a cos 夕土 cos a sin p ->sin 2a = 2 sin a cos acos（。土 夕）=cos a cos 夕彳 sin a sin 夕一cos 2a = cos%-sin° az c、 tan a ± tan /?tan（a

3、7; =-1 + tan a tan pJ= 2cos2 a-l = l-2sin2、 l+cos2tz =cos a=2.1 -cos2as»r a=2-2 tan atan 2a =、1-tair a4、同角三角函数的基本关系式：（1） 平方关系：sin2 a+cos1。= 1,1 + tan2 a = sec2 a. +cot2 a = esc2 a（2） 倒数关系SillaCSCa = l,COSaSeCa=l,tanaCOta=l,（3）商数关系：tan"吆,cota = Ecos 2sincr第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路:一角二名三结

4、构首先观察角与角之间的关系，注意角的一 些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心! 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”； 第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如a = (a + 0-# = 9-2)+月， 2a = (a+ /7) + (& 尸),2a =(/ + 2) ()一), a + /? = 2，：', g+-介仔叫等)。（2）三角函数名互化（切割化弦），如三角函数次数的降升（降塞公式:71 +cos 2acos a =2.、1-cos 2asin* a =2与升

5、塞公式:1 + cos 2a = 2 cos2 a ,1-cos la = 2sin2 a ) o16（5）式子结构的转化（对角、函数名、式子 结构化同）。如（6）常值变换主要指“ 1的变换(1 = sin2 x + cos2 x =sec2 x-tan2 x = tanx-cotx=tan- = sin-y =等）。（7）正余弦“三兄妹sinxicos. sinxcosx的内存联系一一 “知一求二”。如（8）、辅助角公式中辅助角的确定：asinx + bcosx = >/?"7sin（x + 8）（其中夕角所在的象限由的符号确定,角的值由确定）在求最值、化简时起着重要作用。专

6、题辅导二三角函数的图像性质及解题思路（一）、知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数）=sinx和余弦函数y = 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,肛.2尸的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。y=sinxo £ 宝:4 畋TT4兀7穴芝T -12、正弦函数y = sin x(x e R) 余弦函数 y = cos x(x e R) 的性 质：(1)定义域：都是R。(2)值域：都是T1,对y = sinx,当x = 2krr + (k e Z)时,取最大值1;当% = 2氏+ （攵"）时,取最小值1 ；对 y

7、 = cos a 9 当 x = 2k 兀(人Z)时，取最大值1,当工=2女)+/(女家)时，取最小值一1 o如3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质/y = sinxy = cos xy = tan.v定 义 域RR|.v 1 x 6 R山+ k乃+ ；K,k Zj彳臼域l-l.+Hi-i.+iiR周 期 性27r2万7T奇 偶 性奇函数偶函 数奇函数单 调 性一4+ 2攵/i2上y + 2攵句为增函数；卜2攵，:上72km为减函数(Are Z )|(2Ar-l>,.2攵万9上为增 函 数24R, (2女 + l)7Tj 上为减函数(皿)卜尹崂+可上为增函数(k -4、周期性：)，=si

8、n x的最小正周期都是y = cos x(§) f(x) = Asin(cox + cp) 1 jx) = Acos(a)x +(p)的最小正周期都是T = co5、奇偶性与对称性：(1)正弦函数y = sinx(xe 7?)是奇函数，对称中心是仕乃,0)(0Z),对称轴是直线x = k + (k e Z)；余弦函数y = cosx(x e R)是偶函数，对称中心(攵一)， 对称轴是直线x = k7T(k eZ)； (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直 于无轴的直线，对称中心为图象与I轴的交点）。6、单调性:y = sinx在 2k九乃 汽一,2k 加 H22（女“）上

9、单调递增，在2k7r +.2k7r + - 22伙"）单调递减;）1 = cosx在2乃,2An+;t（% "）上单调递,在乃+乃,2%1+2乃（女"）上单调递增。特别提醒，别忘了 keZ !7、三角形中的有关公式：（1）内角和定理：三角形三角和为,，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘 记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角 和与第三个角的半角总互余.锐角三角形o三内 角都是锐角O三内角的余弦值为正值O任两角avwvwvwwwvw和都是钝角o任意两边的平方和大于第三边的 平方.*Zv*ZZv*ZZv*w*Zv>Zw*号=当=/=2夫(区为三角

10、形 sin A sin B sin C(2)正弦定理:外接圆的半径）.注意：正弦定理的些变式：(i)a : c = sin A: sin B: sin C ；(") sin A = , sin 8 = ,sinC =-2R 2R2R已知三角形两定要注意A + B + C = /r4 + 7?A + 8 =4 一 C, sin(A + B) = sin C, sin2这个特殊性：= cosf；（2）求解三角形(Hi)ci = 2/?sin A,h = 27?sin B,b = 27?sin C ；边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则 务必注意可能有两解.（3）余弦定理：/ =+/

11、-2/尢cosA,cosA = £t豪江等, 常选用余弦定理鉴定三角形的形状.（4）面积公式： S = £ aha = £ ab sin C = r（a +b + c） （其中为三角形内切圆半径）,如sin2 Acos2 B-cos2 Asin2 B = sin2 C , 判断A46C的形状(答: 直角三角形）。特别提醒：（1）求解三角形中的问题时,中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定 理、余弦定理实现边角互化。8、反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）:arcsm 表示一个角，这个角的正弦值为，且这个角在卜内（-1）。（2）反正弦arcsin

12、x、反余弦arccosx、反正切arctan x的取值范围分别是在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角"到/2的角"与乙的夹角以及两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围?(0,1,0,1,0, 0,4),0,4),0,7),0,乃专题辅导三形如 y = Asin（cox +（p） 函数的基本性质及解题思路（一）、知识要点梳理1、几个物理量：A：振幅；频率（周期的倒数）;：相位；3：初相；2、函数y = Asin(cox +(p)表达式的确定：A由最值确定；最大值是A + 8,最小值是8 A, 0由周期确定； 。由图象上的特殊点确

13、定，函数 y = Asin（celX +（p） + B （其中A>0, g > 0）其 图象的 对称轴 是直线 8 + ? = £k e Z）,凡是该图象与直线），=B的交点都是该图象的对称中心。3、函数y = Asin（a）x +（p）象的画法：“五点法”一一设 X = cox +（p , 令X=o,亚亨,2万求出相应的工值,计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变 换法：这是作函数简图常用方法。的图象与)= sinx图象间的4、函数 y = A sinQx +（p） + k1.2.关系： 三种基本变换规律: 平移变换规律(1)水平平移：j=/(x+串)的图象，可由y

14、 =/(x)的图象向左(隼0),或向右(隼 0)平移I个单位得到。垂直平移：y=/(x)+Z的图象，可由y = f(x)的图象向上30)或向下3V0)平 移个单位得到。对称变换规律(i)j=/(%)与y =f(x)的图象关于x轴对称o (2) y =/( x)与y =/(x)的图象关于y轴对称。(3) y =f t(x)与y=/(x)的图象关于直线y=x对称。(4)y = 一/(一%)与y=f(x)的图象关于直线y =X对称。(5) y = /(x)与y =f(x)的图象关于原点对 称3 .伸缩变换规律 水平伸缩：7=/（""） （”>0）的图象，可由y=/G）的图象

15、上每点的横坐标伸长（0 <（0<1）或缩短（到原来的;倍（纵坐标不变）得到。（2）垂直伸缩:y=A/Xr）（A>0）的图象，可由J=/（x）的图象上每点的纵坐标伸长（A > 1）或缩短（0VA< 1）到原来的A倍（横坐标不变）得到。注：函数<p）（A>0,>0）的 图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变 换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数中）（A>0, co>0）也成立。6、正切函数=臣门的图象和性质:（1）定乂域：xlx工彳+攵况攵"。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗?（2）值域是R,在上面定义域上无最大值 也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是,7,它与 直线），=的两个相邻交点之间的距离是一个周期小绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一 般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又 是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如尸sinFinR的周期都