基本不等式专题-完整版(非常全面)

1、一、知识点总结1、根本不等式原始形式1假设 a,b R,那么 a2 b2 2ab22假设 a,b R,那么 ab a_b_22、根本不等式一般形式均值不等式，一、1 * ;假设a,b R ,那么a b 2mab3、根本不等式的两个重要变形1假设 a,b R*,那么 a_b abb2根本不等式专题辅导/2222.2.22(a1a2a3 )(1bl b2 b3 ) (a1bl a2b2 a3b3)3设a1,a2, ,an与b1,b2, ,bn是两组实数，那么有2_ 2. 22222(a a2an )(bi b2bn ) Rb, a?danbn)二、题型分析题型一：利用根本不等式证明不等式1、设a,

2、b均为正数，证明不等式：Jab > 211a b实用文档.22假设 a,b R*,那么 abab22.2a b2a ba2 b222总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“二4、求最值的条件：“一正，二定，三相等 5、常用结论11假设x 0 ,那么x 2 (当且仅当x 1时取 x12假设x 0 ,那么x -2 (当且仅当x 1时x取“=”3假设ab 0,那么a b 2 (当且仅当a b时 b a取“=”4假设 a,b R,那么 ab (ab)25假设a,b R*,那么、茄 1 1特别说明：以上

3、不等式中，当且仅当a b时取"二6、柯西不等式2、 a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 b2c2ab bc ca22213、a b c 1 ,求证：a b c - 34、a,b,c R ,且 a b c 1 ,求证：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc1 假 设 a,b,c,d R , 那 么22222(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)22假设 a1)a2)a3),b2)b3 R,那么有:5、a,b,c R6、 2021年新课标n卷数学理选修45:不等式选.讲题型二：利用不等式求函数值域 1、求以下函数的值域设a,b,c均为正数，且a1,证明：1 y 3x212x

4、22x(4 x)(i) ab bc ca13; (2 a n) bb22c 1. a3y x11(x 0) x4x I(xx0)题型三：利用不等式求最值凑项1、x 2 ,求函数y 2x2x 4的最小值;7、2021年江苏卷数学选修45:不等式选讲3a b 0 ,求证：2a,322,b 2ab a b变式1: x 2 ,求函数y2x2x 4的最小值;4变式2: x 2,求函数y 2x 的最大值;2x 43变式2：设0 x -,求函数y 4x(3 2x)的最大值。25练习：1、x ,求函数y 4X 2 的取小值;44x 52、假设0 x 2 ,求y v x(6 3x)的最大值;52、x ,求函数y

5、 4x 2 的取大值;44x 5变式：假设0 x 4 ,求y vx(8 2x)的最大值;题型四：利用不等式求最值二凑系数1、当|口 U工M 4时，求y x(8 2x)的最大值；153、求函数y J2x 1 55 2x(1 x ：)的最大值;提示：平方，利用根本不等式变式1：当口 时，求y 4x(8 2x)的最大值;变式：求函数y «4x 3 *1 4x(- x 11)的最大值; 44、，八 一 1变式3： x, y 0 ,且x1c9 ,求x y的最小值。 y题型五:1、a,b法一：一 一 19变式4：x, y 0,且一 一 4,求x y的最小值;x y变式1:11, a,b 0,a

6、2b 2,求t 一 一的最小值;a b变式2:八28,x, y 0,- - 1,求xy的最小值;x y变式6:正项等比数列an满足：a7%2%，假设存在两项am, an ,使得1, q 1:aman4a1，求一m4 ,一， 一的取小值；n巧用“ 1的代换求最值问题,11 ,一0,a 2b 1,求t 的最小值;a b变式5:1假设x, y 0且2x.11y 1,求一一的取小值； x y2假设 a,b, x,y R且_a _b1,求x y的最小x y值;题型六：别离换元法求最值了解1、求函数y2x 7x 10-9(x 1)的值域;x 1变式： 求函数y 的最大值；4x 9题型七：根本不等式的综合应

7、用a _ b1、log2 a log2 b 1,求 39 的最小值变式：求函数x2 8(x 1)的值域;x 12、2021天津a,b 0,求1 27ab的最小值; a b2、求函数yx 2 .一 . 一的取大值；提木：换兀法2x 5变式1：2021四川如果a b 0,求关于a,b的表达211 一 一式a 的取小值；ab a(a b)变式2：2021湖北武汉诊断，当a 0,a 1时，函数变式 3：2021 浙江x,y 0, x22y xy 1,求 xyy loga(x 1) 1的图像恒过定点 A,假设点 A在直线mx y n 0上，求4m 2n的最小值；3、x, y 0, x 2y 2xy 8,

8、求 x 2y 最小值；最大值;4、 2021年山东理设正实数x, y,Z满足x2 3xy 4y2 z 0 ,那么当xy取得最大值 z一，21 2时，一一的取大值为x y zA. 0 B, 1 C.9 D. 34提示：代入换元，利用根本不等式以及函数求最值变式1 ： a, b 0 ,满足aba b 3 ,求ab范围;111,、变式 2：2021 山东x, y 0 , 一，求 xy2 x 2 y 3最大值；提示：通分或三角换元2变式：设x,y,z是正数，满足x 2y 3z 0 ,求上-的xz最小值；题型八：利用根本不等式求参数范围1 a1、2021 沈阳检测x,y 0,且(x y)(- a) 9恒

9、x y成立，求正实数 a的最小值；题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式 .a b(a,b,c,d R,当且仅当一 一；即ad bc时等万成立)c d假设 a,b,c,d R,那么(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)22、二维形式的柯西不等式的变式(1)Va2 b2 7 c之 d2 ac bda b(a,b,c,d R,当且仅当 ；即ad bc时等号成立)c d(2) , a2 b2 . c2 d2 ac bd一 11 n , ,. e2、x y z 0且恒成立，如果 x y y z x zn N，求n的最大值；参考：4提示：别离参数，换元法. .a b(a,b,c,d R,当

10、且仅当 ；即ad bc时等号成立)c d(a b)(c d) (. ac . bd)2. .a b(a ,b, c, d 0,当且仅当一 一；即ad bc时等万成立)c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式1 4变式：a,b 0满那么- 4 2,假设a b c恒成立, a b求c的取值范围；(当且仅当0,或存在实数k,使a k时，等号成立)4、三维柯西不等式假设2e2,03心心力3 R,那么有：z 2222,2,22(a1 a2a3 )(占b2 b3 ) (ab a2b2 a3b3)(aj R,当且仅当生 空 史时等号成立) n b2 b35、一般n维柯西不等式设a1,a2, ,an与“也，,

11、bn是两组实数，那么有：2_ 2. 22222(ai a2an)(bi 3bn) (aQ a2b2anbn)之最小值为,此时y 析：2x 3y z 3 2x 3( y 1) z 0(aj R,当且仅当al鬼曳时等号成立)bib2bn题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x,y,z R,假设 x2 y2 z2 4,那么 x 2y 2z4、2021 年湖南卷理a,b,c ,a 2b 3c 6,那么a2 4b2 9c2的最小值是( Ans:12 )的最小值为时,(x,y,z)析：(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)12 ( 2)2 224 9 36x 2y 2z最小值为 6此“己f "三飞2、设 x, y, z R , 2x y 2z 6 ,求 x2 y2 z2 的最 小彳t m ,并求此时x, y, z之值。42 4、Ans： m 4;(x, y,z)(-,-,-)33 35、2021年湖北卷理设x,y,z R,且