高等代数北大版第章习题参考答案

1、第 七 章 线 性 变 换1. ?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1) ?在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量;其中V是一2 22、3公 X3,X3).固定的向量;2) ?在线性空间V中，A3) ?在 P3 中，A(Xl，x2，x3)4) ?在 P3 中，A(Xi,X2,X3) (2X1X2,X2 X3,Xi)；5) ?在 PX中,Af (x) f(X 1) ；6) ?在Px中，Af(X) f(X0),其中X0 P是一固定的数;7) ?把复数域上看作复数域上的线性空间，A 。8) ?在Pnn中，AX=BXB中B,C Pnn是两个固定的矩阵解1)当 0时，是；当 0时,不是。2)

2、当 0时，是；当 0时,不是。3)不是.例如当 (1,0,0), k 2 时，kA( )(2,0,0), A (k ) (4,0,0),A(k ) kA( )o4)是.因取(xi,x2,x3),(y1,y2,y3)，有A() = a(Xi y1，X2 y2, X3 y3)(2xi2 y1X2y2 , X2 y2 X3 y3, X1 y1 )=(2x1 X2, X2 X3 , X1) (2y1 y2 , y2 y3, y1 )=A + A ,A(k ) A (kx1, kx2, kx3)=kA(),故A是P3上的线性变换。5)是.因任取 f(x) Px,g(x) Px,并令u(x) f(X) g

3、(X)则A( f ( x) g(x) = Au(x)=u(x 1) = f(x 1) g(x 1)=Af(x) + A(g(x), 再令 v(x) kf(x)则 A(kf(x) A (v(x) v(x 1) kf (x 1) k A( f (x),故A为Px上的线性变换。6)是.因任取 f(x) Px, g(x) Px则.A( f(x) g(x)=f(x0) g(x0) A(f(x) A(g(x),A(kf(x) kf(x0) kA(f(x)7)不是，但J如取 a=1,k=I ,则 A(ka)=-i , k(Aa)=i, A ka)kA(a)。BXC BYC AX +AY ,8)是，因任取二矩

4、阵 X,Y Pnn,则 A( X Y) B(X Y)CA(k X)= B(kX) k(BXC) k AX ,故 A是 Pn n 上的线性变换 2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的 变换，以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换，以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90 度的变换，证明：A4=B4=C4=E,AB BA,A2B2=B2A2 ,并检验（AB） 2 =A2 B2 是否成立。解 任取一向量a=(x,y,z)，则有1) 因为Aa=(x,-z,y),A2a=(x,-y,-z)Ba=(z,y,-x),B2a=(-x,y,-z)Ca=(-y

5、,x,z),C2a=(-x,-y,z)A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z) ，B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z) ，C3 a=(y,-x,z),C4 a=(x,y,z) ，所以A4 =B4 =C4 =E。BA(a)= B(x,-z,y)=(y,-z,-x)2) 因为 AB(a)= A(z,y,-x)=(z,x,y) 所以AB BA。3)因为 A2 B2 (a)= A2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2 (a)= B2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以A2 B2 =B2A23) 因为 (AB) 2 (a)=( AB)( AB(a)_= AB(z

6、,x,y)=(y,z,x)， A2 B2 (a)=(-x,-y,z)，所以 (AB) 2 A2B2。4) 在 Px 中， Af(x) f ' (x), Bf (x) xf(x)， 证明: AB-BA=E。证 任取 f (x) Px ， 则有- - _ . _ _ . _ . ' '( AB-BA) f(x) =ABf(x) -BA f (x) =A( xf (x) -B( f (x) = f (x) xf (x) - xf (x) = f (x)所以AB-BA=E。5) 设 A,B 是线性变换，如果 AB-BA=E 证明：Ak B-BAk=kAk 1 (k>1)。

7、证 采用数学归纳法。当k=2 时A2 B-BA2 =(A2 B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA2=a， 结论成立。归纳假设k m时结论成立，即AmB-BAm = mAm1。则当k m 1时，有Am 1 B-BAm 1 =(Am 1 B-Am BA)+(A m BA-BAm 1 )=A m (AB-BA)+(A m B-BAm)A=Am E+m Am 1A=(m 1)Am。即 k m 1 时结论成立. 故对一切k 1结论成立。5 .证明：可逆变换是双射。证 设A是可逆变换，它的逆变换为 A1 若a b ,则必有Aa Ao,不然设Aa=A),两边左乘A

8、1 ,有a=b,这与条件矛盾。其次，对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上，令A1b=a即可。因此，A是一个双射。6 .设1, 2, n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A 1,A 2, ,A n线性无关。证因 A( 1 , 2, n) = ( A 1,A 2, ,A n) = ( 1, 2, n ) A,故A可逆的充要条件是矩阵 A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A i,A 2, ,A n线性无关，故A可逆的充要条件是A i,A 2, ,A n线性无关.。7 .求下列线性变换在所指定基下的矩阵：1)第 1 题 4)中变换 A在基 1=(1,0,0),2 =(0

9、,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；2) o;1, 2是平面上一直角坐标系，A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影，B是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB在基1, 2下的矩阵；3)在空间Px n中，设变换A为f(x) f(x 1) f(x),1试求 A在基 i = x(x 1) (x 1 1)- (I=1,2,n-1)下的矩阵 A;i!4)六个函数1=eaxcosbx, 2=eaxsinbx,3=xeaxcosbx, 4=xeaxsin bx ,1 = 1x2eaxcosbx, 1 = 1eax x2sin bx,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空2 2问，

10、求微分变换D在基i(i=1,2,6)下的矩阵；5)已知P3中线性变换A在基1 =(-1,1,1),2 =(1,0,-1),3 =(0,1,1)下的矩阵是101110, 求 A在基 1=(1,0,0),2 =(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；1216)在P3中，A定义如下：A1(5,0,3)A2(0,1,6),A 3( 5, 1,9)其中i (1,0,2)2(0,1,1),3(3, 1,0)求在基 1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;7)同上，求A在1, 2, 3下的矩阵。解1)A 1 =(2,0,1)=21 + 3, A 2 =(-1,1,0)=-1+

11、 2 , A 3 =(0,1,0) 二21 0故在基1, 2,3下的矩阵为01110012)取 1= (1, 0),2 = (0, 1),则 A 1 = 一21 1故A在基1,2下的矩阵为A= 1 2。2 2_ 12 二211+2又因为B 1=0, B 2= 2,所以B在基1,2下的矩阵为B= 0 0，另外，（AB）2二A （B 2）0 1=A _ 1=A2=2所以AB在基2下的矩阵为AB=12123）因为0 1, 1 x, 232!x(x 1) x (n 2)(n 1)!所以A 0 1 1 0,A 1 (x 1) x 0,A n1(x 1)x x (n 3)(n 1)!x(x 1) x (n

12、 2)(n 1)!x(x 1) x (n 3)(n 1)!(x1) x (n 2)0101所以A在基o,i, n 1下的矩阵为A104)因为D 1 =a 1- b 2D 2=b 1-a 2, 6，D 3 = 1+a 3- b 4 ,D 4 = 2+b 3+a 4,D 5 = 3+a 5 -b 6 ,D 6 = 4+b 5+a 6 ，0000100。01abbaab10ba 01所以D在给定基下的矩阵为D= 00a b00ba000000005)因为( 1 , 2 , 3 )=( 1 , 213)111001 ，所以11111( 1, 2，3)=( 1 , 2, 3)011 =( 1 , 2,

13、3)X，101故A在基1, 2,3下的矩阵为1011111001121101101B=X 11AX= 10111121=220。13026)因为( 1 , 2 , 3 )=( 11032，3) 01121003)=A(13)02但已知A（3)3)7）因为（=(3)J727273767 J7371717=(1, 23)574727720757187207272473) = (1,=(1, 28.在P2 2中定义线性变换A1(X)= cX, A2(X)=X,A2 (X)=A1, A 2, A 3在基 E11, E12, E 21 , E 22下的矩阵。解 因 A1 E11=a E11+cE12,

14、A1E12=a E12+c E 22,A1 E21 =bE11 +dE21 , A1 E22= bE21 +d E22,故 Ai 在基 E11, E 12, E 21 ,E 22下的矩阵为A1=b 0 d00b0d又因A2E11=a E 11+b E12, A2 E12= c E11+dE12,A2E21 = aE21+bE22, A2E22= cE21+d E22,故A2在基E11, E 12, E 21 , E 22下的矩阵为A2 =ab00c d00又因A3E11= a2E11+abE12+acE21 +bcE22，A3E12= acE11+adE12+c2 E21+cdE22，A3E2

15、1= abE11+b2 E12+adE21 +bdE22，A3E22 = bcE11+bdE12+cdE21 +d2 E22，故A3在基Eii , E 12, E 21, E 22下的矩阵为a2acabbcabadb2bdac2 cadcdbccdbdd2A3o3下的矩阵为9.设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,A=a11a12a21a22a31a32a13a23 ，a331)求 A 在基3, 2,1 下的矩阵；2)求 A 在基1,k 2, 3下的矩阵，其中且；3)求 A 在基12, 2,3 下的矩阵。1) 因 A 3=a33 3 +a23 2a13 1 ，A 2 =a32 3 a22

16、2a12 1 ，A 1 =a31 3 a21 2a11 1 ，故A在基3, 2,a33a32a31a23a22a21a13&2a11o1下的矩阵为B32)因 A 1二a11 1+ a21(k 2) a31 3 ，A (k 2)= k a12 1 + a22 (k 2) + ka32 3A 3 = a3 + 眨(k 2)+ a33k故A在1,k 2, 3下的矩阵为B2a11a21ka31ka12a22ka32a13a23oka333)因2 )=( a1a12)( 13)+( a21a22aia2) 2 +( a31 a32) 3,2 = a12 (12 ) + ( a22ai2)2 +a

17、32 3 ,3=a13(12 ) + ( a23a13)2 +a33 3，故A基12, 2,3下的矩阵为B3a21a11a22a3ia12a11a32a12a12a22a12a32a23a13a13 。3310.设A是线性空间V上的线性变换，如果Ak10,但 Ak=0,求证:,A , Ak 1 ( k>0)线性无关。证设有线性关系1112 A1kAk1°,用Ak 1作用于上式，得11 Ak 1 =0(!3An0 对一切 n k 均成立)又因为Ak 10,所以110,于是有12A13A21kAk10,再用Ak 2作用之，得12 Ak1 =0.再由，可得12=0.同理，继续作用下去

18、，便可得1 1121k 0,即证，A , Ak1 (k>0)线性无关。11.在n维线性空间中，设有线性变换 A与向量 使得An 10,求证A在某组下的矩阵010是1。010证 由上题知, ,A , A2 , An 1 线性无关，故, A , A2 , An 1 为线性空间V 的一组基。又因为A01 A0 A 2 +0 An1 ，A(A )=0 +0 A+1A 2 +0 An 1 ，A( An 1 ) =0 +0 A +0 A 2 +0 An 1，故 A 在这组基下的矩阵为0101。01012 设 V 是数域 P 上 的维线性空间，证明：与V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。证

19、 因为在某组确定的基下，线性变换与n 级方阵的对应是双射，而与一切n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。13 . A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果 A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。证 设A在基1, 2, , n下的矩阵为A=(aj),只要证明A为数量矩阵即可。设X为任一非 退化方阵，且(1 , 2 , n )=( 1 , 2, , n )X，则1, 2,L , n也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是X 1AX ,从而有AX=XA这说明A 与一切非退化矩阵可交换。 若取X1n则由 AXi=XiA知 a。=0(

20、i j),即得a22a11A=ann再取01000010X2 =00011000由AX 2 = X 2 Ai,可彳马a11a22ann。故A为数量矩阵，从而A为数乘变换14 .设1, 2, 3, 4是四维线性空间V的一组基，已知线性变换 A在这组基下的矩阵为10211213125522121) 求 A 在基 112 24 , 23 234 , 334 , 42 4 下 的矩阵； 2）求A的核与值域；3）在A的核中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵；4）在A的值域中选一组基，把它扩充为V的一组基，并求A在这组基下的矩阵 解 1） 由题设 , 知10002300(1 , 2,

21、3, 4 )=( 1, 2, 3, 4 )，01101112故A在基1, 2, 3, 4下的矩阵为B=X 1AX =10 0 02 3 0 001 1 011 1 210211213125522 12100 0230 001 1 011 1 21031634037103402)先求A 1 (0).设X12x2x33x4A 1(0),它在1, 2, 3, 4下的坐标为(在1, 2, 3, 4下的坐标为(0,0,0,0,)，则1021不01213x2_01255x3-022 12x40因 rank(A)=2 ,故由x1 2x3 x403一一可求行基础斛系为 X1 = ( 2, ,1,0) ,X2=

22、( 1, 2,0,1)若令1 =(4)X1,则1, 2即为A 1(0)的一组基，所以A 1 (0)= L( 1, 2)。再求A的值域AV。因为A 1= 1232 4,A 2 =2 22 324,A 3 =2 12 5 34 ,A 4 3 = 1 3 2 5 3 2 4 ,rank(A)=2，故A 1 ,A 2, A 3, A 4的秩也为2,且A 1 ,A 2线性无关，故A 1 ,A 可组成AV的基，从而AV=L(A 1 ,A 2)4)由2)知1,2是A 1(0)的一组基,且知1, 2是V的一组基，又1, a 2)=(故A在基2下的矩阵为B=5 92 124)由2)知A易知A 1, A(A 1,

23、 A故A在基A23210102110211021301320121213220010125500100001221200011,1C=112 4,3,4) = (4是V的一组基,2 , 3, 4)0222001000014下的矩阵为001000011112022213521111022200100001592 00232 0015.给定P3的两组基i(1,0,1)i(1,2,1)2(2,1,0)2(2,2,1),3(1,1,1)3(2, 1, 1)定义线性变换AA i= i(i =1,2,3),1)写出由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过度矩阵；2)写出在基1, 2, 3下的矩阵；3)写出

24、在基1, 2, 3下的矩阵。(0,1,0),解 1)由(1, 2, 3 ) = ( 1, 2, 3 )X ,引入 P2 3o2 2 2)因 的一组基 e =(1,0,0),e2备=(0,0,1),则1, 2, 3)=( e11e2 , e3) 01=(e1,e2, e3)A,所以23)=( e1,e2, e3)1 =( e , e2, %)B=( e , e2, q)A 1 B，1故由基1, 2,3到基3的过度矩阵为1X=A 1B= 01323212A(3) = (3) = (3)323212323252故A在基1, 2, 3下的矩阵为4)因 A(1, 2,A= 1323。252故A在基16.

25、证明3)=A(1, 2,3)X二(1 , 2,3)X,1, 2,3下的矩阵仍为X.相似,其中(*2,in)是 1,2,n的一个排列。证设有线性变换A,使A( 1, 2 , n) = (n)=(1, 2,n) D1,i1 , i2 ,in ) = (i1 , i2in二(i1,i2, inD，in于是D1与D2为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵，故i2相似。n17.如果A可逆,证明AB与BA相似。in证 因A可逆，故A 1存在，从而A 1 (AB)A=( A1A)BA=BA 所以AB与BA相似。相似。.一 A18.如果A与B相似，C与D相似，证明： 0X 10X01这里1 =10Y 10 Y1

26、9.求复数域上线性变换空间 阵为：V的线性变换A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩1)A=2)A=3)A=11111111111111114)A=5)A=6)A=7)A=解1)设A在给定基2下的矩阵为A,且A的特征多项式为22-5 -14=(7)(2),故A的特征值为7,-2。先求属于特征值=7的特征向量。解方程组4x1 4x25x1 5x20一，1,它的基础解系为,01因此A的属于特征值7的全部特征向量为k 1 (k0),其中再解方程组5x15x1仅04x20它的基础解系为4，因此A的属于特征值-2的全部5特征响向量为k2(k0),其中2 =4 1 -5 2 02)设A在给定基2下的矩

27、阵为A,且当a=0时,有A=0,所以E2,故A的特征值为2=0o解方程组0X10X10X20X2它的基础解系为0，因此A的1属于特征值0的两个线性无关特征向量为故A以V的任一非零向量为其特征向量。当a 0时,2=(ai)(ai),故A的特征值为尸ai ,2 = - ai o当产ai时，方程组aix1ax1aX20的基础解系为iaix201,故A的属于特征值ai的全部特征向量为k 1（k 0）,其中1=-i 1+ 2。当2=- ai时，方程组aix1ax20ax1aix20的基础解系为,故A的属于特征值-ai的全部特征向量为k2 (k0),其中 2 = i 1+ 23）设A在给定基4下的矩阵为A

28、,因为二（2) 3(2),故A的特征值为2, 42时，相应特征方程组的基础解系为X1110 ,X201010,X310 ,故A的属于特01征信2的全部特征向量为k1 1 + k2 2 + k(k1*2*3不全为零），其中1=1+2,2= 1 +2时，特征方程组的基础解系为X41111,故A的属于特征值-2的全部特征向量为k 4 (k0),其中 4 = 1- 2 - 34）设A在给定基3下的矩阵为A,因3 4 224 =(2)(故A的特征值为1=2,2=1+V3,当1=2时,方程组3x1x1x16x22x22x23x30x3 0的基础解系为3x30,故A的属于特征值2的全部特征向量为k 1 (k

29、0）,其中产2 1-(4 ，3)x1 6x当=1 + J3时，方程组x1 (1 <3) x23x30X30的基础解系为Xi2X2 (23)X3 031 ，故A的属2 . 3于特征值1 + 43的全部特征向量为k 2 （k0)，其中 2=3 1- 2+(2 33) 3。(4=1-73时，方程组X1Xi.3)Xi 6x2 3x30(1 73)X2 X3 0的基础解系为2x2 (2 .3)X3 031 ，故A的属2 3于特征值1百的全部特征向量为k 3 （k0),其中 3=3 1 2+(2 内)305）设A在给定基1,3下的矩阵为A，因二（1)2(1),故A的特征值为1,1,方程组X1X1X3

30、X30的基础解系为0，故A的属于特征值1的全部特征向量为1 k2 2（k1,k2不全为零），其中当31时,方程组X1 X32X2X1 X300的基础解系为0，故A的属于特征值-1的全部特征向量为k 3（k0），其中316）设A在给定基3下的矩阵为A，因2(14) 二(.14i)(«4i)，故A的特征值为10,. 14i, 3v'14i o当10时，方程组2x22x1X1X3 3x3 3X200的基础解系为031，故A的属于特征值0的全部特2征向量为k 1（k 0），其中12 3。当2 Ji4i时，该特征方程组的基础解系为6 . 14i r.2 3"14i，故A的属于

31、特征值V14i的10全部特征向量为 k 2（k 0）,其中 2 （6 VT4i） 1 （ 2 3V14i） 2 10 3。6 . 14ii当J14i时,该特征方程组的基础解系为2 3"14i，故A的属于特征值 vUi10的全部特征向量为k 3（k 0）,其中3(6 14i) 1( 2 3、14i) 2 10 3。7）设A在给定基1, 2, 3下的矩阵为A,因2),00 =(1)2(2故A的特征值为12 1, 323当12 1 ,该特征方程组的基础解系为6，故A的属于特征值1的全部特征向20量为 k 1(k 0),其中 13 1 6 2 20 3。0当32,该特征方程组的基础解系为0，

32、故A的属于特征值-2的全部特征向量为1k 2（k 0）,其中 23o20.在上题中，哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形？在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过度矩阵 T,并当算T 1AT。解 已知线形变换A在某一组基下为对角形的充要条件是有 n个线形无关的特征向量，故上 题中1）6）可以化成对角形，而7）不能.下面分别求过渡矩阵To一.14 一一 . ， 、 ， 一 141)因为(1, 2) ( 1, 2) 4，所以过渡矩阵T= 14 ,15155T 1AT= 919493 4115 2192)当a0时，已是对角型0时,有（1, 2)T 1AT=i2 i21212过渡矩阵T=3）

33、因为（4) = (3,4)T 1AT=4）因为（过渡矩阵5）因为（1T 1AT6）因为（2,T=12 0123) =(1,2,3)1 , 2,3) =(120123)( 1,2,2,3)3)ai00ai1 AT过渡矩阵T=.3过渡矩阵1T= 01，1114i3 14i10.14i3 14i ,1021000 50B，0 05即过渡矩阵为T=36 .14i614i12 3,14i2 3. 14i21010000且T1AT 0 、14i000. 14i21.在 Pxn(n>1)中，求微分变换D的特征多项式，并证明D在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵。2n 1解 取P冈n的一组基1,x, ,

34、., ,则D在此基下的矩阵为 2 (n 1)!010.0001.0D=,.000.1000.01 0 . 001 . 0从而 E D n,0 00 .1故D的特征值是0(n重)，且D的属于特征值0的特征向量 只能是非零常数。从而线性无关的特征向量个数是1,它小于空间的维数 对角形。n,故D在任一组基下的矩阵都不可能是22.设 A= 03 4 ,求 Ak。1解：因为 E A 004234(1)(5)(5),43故A的特征值为1 1, 25,5 ,且A的属于特征值 1的一个特征向量为X (1,0,0) , A的属于特征值5的一个特征向量为X2(2,1,2) , A的属于特征值-5的一个 特征向量为

35、X 3 (1, 2,1)1 21于是只要记T=(X1, X2, X3)10 12，则 T 1AT0 21100且 B k05k000(5)k于是 Ak TBkT 112110k0 12 0 50 2100k 11251(05k 114(025k11(0100(5)k 00112552155k 1 k 1k1)54 ( 1)1kk 1k 11)2 51 ( 1)k 1K 1k1)54 ( 1)23.设1, 2, 3, 4是四维线性空间V的一个基,线性变换A在这组基下的矩阵为23211271） 求 A 的基 112234,221323,33,44 下的矩阵;2）求A的特征值与特征向量；3）求一可逆

36、矩阵T,使T1AT成对角形。12 0 0(1, 2 , 3, 4 ) X ，一 .一，2 3 0 0斛 1) 由已知行(1, 2, 3, 4)(1,2, 3, 4)111010 0 1故求得A在基1, 2, 3, 4下的矩阵为006510 054B=X AX7300-220052一 .c 12) A 的特征多项式为f( ) | E A | E B 2(-)(1)，所以A的特征值为i 2 0, 3 J 4 i。2A的属于特征值0的全部特征向量为ki i k2 2,其中ki,k2不全为零，且A的属于特征值i 一 . 、一一-的全部特征向重为k323,其中A的属于特征值3）因为所求可逆阵为T=24.

37、1)设34 i 2 23 +6i的全部特征向量为k4 4,其中k44)234) i0i i0i42i63ii22 3i0i i0i42i63ii2i AT为对角矩阵。2是线性变换A的两个不同特征值,2是分别属于2的特征向量，证明:i 2不是A的特征向量;2）证明：如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么 A是 菽乘变换。证i)由题设知A( i) i i, A( 2 )2 2 ,且 i 2 ,2是A的特征向量,则存在 0使A( i2) =A( i再由i, 2的线性无关性，知2 ,这是不可能的。2不是A的特征向量2)设V的一组基为1, 2,，口，则它也是A的n个线性无关的

38、特征向量，故存在特征值 1, 2 ,., n, 使A( i) i i (i 1,2,., n)。由1)即知12n k。由已知，又有A( ) k ( V),即证A是数乘变换。25.设V是复数域上的n维线性空间，A, B是V上的线性变换，且 AB=BA ,证明：1) 如过 0 是 A 的一个特征值，那么V 0 是 B 的不变子空间；2) A， B 至少有一个公共的特征向量。证 1) 设 V 0，则 A 0 ， 于是由题设知A(B )=B(A )=B( 0 )0(B )，故 B V 0 ，即证 V 0 是 B 的不变子空间。3)由1)知V。是B的不变子空间，若记B|V0=B0,则B0也是复数域上线性

39、空间Vo的一个线性变换，它必有特征值0, 使 B0B= 0B ( B V 0, 且 B 0)，显然也有A(B)=° B,故B即为A与B的公共特征向量。26.设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换 A在基1, 2,., n下的矩阵 是一若当块。证明：1) V中包含1的A子空间只有V自身；2) V中任一非零A子空间都包含口；3) V不能分解成两个非平凡的 A子空间的直和。 证 1) 由题设 , 知1A( 1, 2 ,., n )=( 1, 2 ,., n )，1A112A223A n1 n1 nan n设W为A子空间，且1W则A 1 W进而有2 A 11 W A 2W，A22 W A

40、3W，A n1n 1W，故 W=L 1, 2,., n=V。2）设W为任一非零的A-子空间,对任一非零向量W,有不妨设10 , 则 A 1A 12A 2. nA n1 (12 )+ 2(23)+ + n n1 22 3. n 1 n W于是1223n1 n同理可得1324n2 n W ，1 n W从而n W即证V中任一非零的A-子空间W部包含3）设W，W2是任意两个非平凡的 A子空间，则由2）知n W1 且 n W2 ,于是n W W2,故V不能分解成两个非平凡的 A-子空间的直和。27求下列矩阵的最小多项式：300111) 0 1 0 ,2)31001131313131313001解1）设A

41、 0 10,因为A2-E=0,所以2 1是A的零化多项式，但100A-E 0,A+E 0,故A的最小多项式为mA( )2 1。2)因为f( ) | E A 4,所以A的最小多项式为，2, 3, 4之一，代入计算可得A 的最小多项式为mA( )2 °二补充题参考解答1.设A,B是线性变换，A2 = A, B 2=B证明：1)如果(A+B 2 =A+B 那么 AB=02)如果，AB=BA那么(A+B-AB)2=A+B-AB.证 1)因为 A2 = A, B 2 =B, ( A+B 2 =A+B由(A+B 2 =(A+B) (A+B尸 A 2 +AB+BA+ B2,故 A+B= A +AB

42、+BA+ B,即 AB+BA=0.又 2AB=AB+AB=AB-BA=2届-B2 A= A2 B+ABA= A (AB+BA尸 A0=0所以AB=0.2)因为 A2 = A, B 2=B, AB=BA所以(A+B-AB)2 = ( A+B-AB) ( A+B-AB)=A2 +BA- AB A+ AB+ B2- AB 2 -A 2 B-BAB +ABAB=A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB=A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB=A+B- AB。2 .设V是数域P上维线性空间，证明：由V的全体变换组成的线性空间是n2维的。证 因 E

43、J Em, E21,L , E2n,L , EM,L Enn 是 Pnn 的一组基，Pnn 是 n2 维的。V的全体线性变换与Pn n同构，故V的全体线性变换组成的线性空间是 n2维的。3 .设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：1)在Px中有一次数 n2的多项式f(x),使f(A) 0;2)如果f(A) 0,g(A) 0,那么d(A) 0,这里d(x)是f (x)与g(x)的最大公因式.；3) A可逆的充分必要条件是：有一常数项不为零的多项式f(xHf(A) 00证1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是n2维的，所以n2+1个线2性变换An ,An 又 A(amA

44、m1 a1E) E,a0故A可逆。4.设A是线性空间V上的可逆线性变换。,、，A,E , 一定线性相关，即存在一组不全为零的数an2,an2 1,L ,4©0使an2 An +an2 1An 1+La1A+a0 E=0,22n n 1 .令 f(x) an2x an2 1x L ax a。，且 ai(i 0,1,2,L ,n2)不全为零， (f(x) ) n2。这就是说，在Px中存在一次数n2的多项式”刈，使£3)00即证。2)由题设知 d(x) u(x)f(x) v(x)g(x)因为 f (A) 0,g(A) 0,所以 d(A) u(A)f(A) v(A)g(A)=0。3

45、)必要性.由1)知，在Px中存在一次数n2的多项式f(x)，使f(A) 0o即一 2一 2 (an2 An +an2 1 An 1+La1 A+a0 E=0,2一2 .右 a0 0,则 f(x) an2xan2 1x La1x a0 即为所求。右 a0 0 ,22an2 An +an2 1 An +La A+a0 E=0,因 A 可逆，故存在A 1,(A 1)j (Aj) 1也存在，用(Aj) 1右乘等式两边，得 an2An j +an2 1 An j 1 +, , +aj E=0 2n2 j令 f(x) an2 x+an2 1 x+- +aj (aj 0),即 f(x)为所求。充分性.设有一常数项不为零的多项式n2n2