高等数学教案ch11无穷级数

1、第十一章无穷级数教学目的：1 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛 的必要条件。2掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积 分) ，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。9了解

2、函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10掌握ex,sin x,cos x， ln(1 x) 和 (1 a) 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在-l ，l上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 0, 1上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写 出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；x5、e ,sin x,cos x , 1n(1 x)和(1 a)

3、的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。教学难点：1 、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。11 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数给定一个数列u1 u2 u3un则由这数列构成的表达式u1 u2 u3un叫做 （常数项）无穷级数简称（常数项）级数记为 unn1即 un u1 u2 u3un其中第 n 项 un 叫做级数的一般项n1n级数的部分和作级数un的前n项和snui ui u2 u3unn1i1称为级数un 的部分和n1级数敛散性定义 如果级数un的部分

4、和数列Sn有极限s即lim sn sn1n则称无穷级数un收敛这时极限S叫做这级数的和n1并写成s un u1 u2 u3unn1如果Sn没有极限则称无穷级数un发散n1余项 当级数 Un收敛时 其部分和Sn是级数 Un的和S的近似值 它们之间的差值rn s Sn Un 1 Un 2叫做级数Un的余项n 1例1讨论等比级数（几何级数）aqn a aq aq2n 0aqn的敛散性 其中a 0 q叫做级数的公比解如果q 1则部分和sn a aq aq2aqn 1a aqn1 qaqn1 q当|q| 1时因为nims所以此时级数1 qaqn收敛其和为-a-01 q当|q|1时因为lim Sn n所以

5、此时级数aqn发散n 0如果|q| 1则当q 1时snna因此级数naqn发散 0aqn成为 n 0时|q| 1时 因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零所以Sn的极限不存在从而这时级数aqn也发散n 0综上所述 如果|q| 1则级数 aqn收敛 其和为-a-如果|q| 1则级数 aqn发散 n 01 qn 0仅当|q| 1时几何级数aqn a 0）收敛其和为 n 0例2证明级数1 2是发散的证此级数的部分和为sn 1 2 3n(n-21)显然lim &n因此所给级数是发散的例3判别无穷级数J 123, 341n(n 1)的收敛性解由于Un n(n因此1)1 sn 1223 3 41n(n 1

6、)(1 2)（2 3）(n占从而lim snnlim (1n所以这级数收敛它的和是1二、收敛级数的基本性质性质1如果级数nun收敛于和1s则它的各项同乘以一个常数k所得的级数kun也收敛n 1且其和为ks （如果级数un收敛于和s则级数kun也收敛且其和为ks）n 1n 1这是因为设Un与 kUn的部分和分别为sn与n则n 1 n 1lim n lim (kqku2kun)k lim(u1u2un)k limsnksnnnn这表明级数kun收敛且和为ks性质2如果级数Unn 1Vn分别收敛于和1s、则级数 (un Vn)也收敛 且其和为s n 1这是因为如果Un、1Vn、 n 1(un n 1

7、Vn)的部分和分别为Sn、 n、 n 贝lim n lim (u1 nnVl) (U2V2)(unVn)lim (U1 U2 nUn) (Vl V2Vn)lim (Sn n) S n性质3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性比如级数112123134级数100001121231341n(n 1)1n(n 1)是收敛的也是收敛的1134 45n(n 1)也是收敛的性质4如果级数Un收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数(1 1)+(1 1) +收敛于零但级数1111 却是发散的推论如果

8、加括号后所成的级数发散则原来级数也发散级数收敛的必要条件 性质5如果 Un收敛 则它的一般项Un趋于零 即lim Un 0n 1n 0(性质5的等价命题：若lim Un 0 ,则级数Un发散)n 0n 1证设级数 un的部分和为sn且lim sn s则 n 1nlim Unlim(SnSn1) lim Snlim Sn1 s s 0n 0nnn应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件例4证明调和级数1 1 1 1-是发散的n 1n 2 3n证假若级数1收敛且其和为ssn是它的部分和n 1n显然有 lim sn s 及 lim s2n s 于是 lim (&n sn) 0 nnn但

9、另一方面1111111s2nsn 2n*n 1 n 2 2n2n2n2n2故 lim (s2n sn) n10矛盾这矛盾说明级数1必定发散n 1n11 2常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法 正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数定理1正项级数un收敛的充分必要条件它的部分和数列s n有界n 1定理2(比较审敛法)设 un和 vn都是正项级数 且Un Vn(n 1 2 )若级数Vn收敛则级数n 1 n 1n 1Un收敛反之若级数Un发散则级数Vn发散n 1n 1n 1证设级数Vn收敛于和则级数Un的部分和n 1n 1Sn U1 U2Un V1 V2Vn (n 1,2,)即部分和数列Sn

10、有界由定理1知级数 Un收敛 n 1反之设级数 Un发散则级数Vn必发散因为若级数n 1n 1Vn收敛由上已证明的结论将有级数Un也收敛与假设矛盾n 1n 1推论设Un和Vn都是正项级数 如果级数Vn收敛且存在自然数 N使当n N时有n 1 n 1n 1Un kVn(k 0)成立则级数Un收敛如果级数Vn发散且当n N时有Un kVn(k 0)成立则级数n 1n 1Un发散n 1例1讨论p级数1.1111-r 1 -r -p 9poP ppn 1 n 234 n的收敛性其中常数p 0解设p 1这时1-而调和级数1发散由比较审敛法知np nn 1n当p 1时级数1-发散n 1 np设p1此时有1

11、 n 1 .p n 1 pdXnp np1融1 , L(n2，3，)对于级数11 -47其部分和n 2 (n 1)p 1 np 1c111 rL 1 1111sn12p11r2P 13p 11np1 (n 1)p 111(n 1)p1因为 lim sn lim 1 二 1n n (n 1)p 1所以级数rJ 工收敛从而根据比较审敛法的推论n 2 (n 1)p1 np11可知级数 ,当p 1时n 1 np收敛综上所述p级数 4当p 1时收敛当p 1时发散 n 1 np例2证明级数；1是发散的n 1 % n(n 1)证因为1,n(n 1)_1_ _ ,.(n 1)2 n 1是发散的根据比较审敛法可

12、知所给级数也是发散的定理3 (比较审敛法的极限形式)设 小和Vn都是正项级数n 1 n 1如果lim un l (0 l )且级数vn收敛 则级数un收敛nvnn 1n 1(2)如果lim un l 0或lim 且级数Vn发散 则级数 Un发散nvnnvnn 1n 11 ，,例3判别级数 sin1的收敛性 n.1 sin解因为lim n n -n1而级数-发散n 1n根据比较审敛法的极限形式级数 sin1发散n 1 n例4判别级数 ln（12）的收敛性n 1 n1而级数4收敛1 n21 ln(1 -12) 解因为lim-nn 工n2根据比较审敛法的极限形式ln(1n 1-2)收敛 n2定理4（

13、比值审敛法达朗贝尔判别法）设Un为正项级数如果n 1lim -unn Un则当 1时级数收敛 当1（或limnun 1un）时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散例5证明级数1 1 1-111 1 2 12 31 2 3 (n 1)是收敛的Un1.1 2 3 (n 1).1,解因为 lim lim1lim 01n Unn 12 3 n n n根据比值审敛法可知所给级数收敛例6判别级数工程匕3旦的收敛性10 10210310n解 因为 lim un lim (n 1)! 10- lim n-n Un n 10n 1 n! n 10根据比值审敛法可知所给级数发散例7判别级数n(2n1的收敛性1）

14、2n解 limnun 1Unlimn(2n 1) 2n(2n 1) (2n 2)这时 1比值审敛法失效必须用其它方法来判别级数的收敛性因为二一乌 而级数乌收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛（2n 1） 2n n2 n 1 n2定理5 （根值审敛法柯西判别法）设Un是正项级数如果它的一般项 Un的n次根的极限等于n 1n则当 1时级数收敛 当1（或lim a）时级数发散 当1时级数可能收敛也可能n发散例8证明级数1-11工是收敛的2233nn并估计以级数的部分和Sn近似代替和S所产生的误差解 因为 lim n/un lim n工 lim - 0nn nn n n所以根据根值审敛法可知所给级数收

15、敛以这级数的部分和sn近似代替和S所产生的误差为ii(n 2)n 2 (n 3)n 3111(n 1)n 1 (n 1)n 2 (n 1)n 31n(n 1)n例6判定级数 2 ( J、的收敛性n 12n解因为lim n unlim 1n2 ( 1)n 1n 、n22所以根据根值审敛法知所给级数收敛定理6(极限审敛法)设 Un为正项级数n 1(1)如果lim nunl 0(或lim nun)则级数un发散nnn 1(2)如果p 1而lim npun l (0 l)则级数un收敛nn 1例7判定级数ln(12)的收敛性n 1 n.一1、1 ,、一解 因为 ln(1 -2)一2(n)故n nlim

16、 n2unlim n2 ln(1glimn2 31nnnn n根据极限审敛法知所给级数收敛例8判定级数 Vn 1(1 cos-)的收敛性解因为n2vnn(1 coSn) nimn2B2叩知所给级数收敛3lim n2unlimnn根据极限审敛法二、交错级数及其审敛法交错级数 交错级数是这样的级数它的各项是正负交错的交错级数的一般形式为(1)n 1un其中Un 0n 1例如 (1)n 11是交错级数但 (1)n 11 cosn不是交错级数n 1nn 1n定理6 (莱布尼茨定理)如果交错级数 (1)n 1un满足条件 n 1(1)un Un 1 (n 1 2 3 )(2) lim Un 0n则级数收

17、敛且其和s U1其余项rn的绝对值|rn| Un 1简要证明设前n项部分和为Sn由 S2n (U1 U2)(U3 U4)(U2n 1 U2n)及S2nU1(U2U3)(U4U5)(U2n 2U2n1)U2n看出数列S2n单调增加且有界(S2n U1)所以收敛设S2ns(n )则也有S2n1S2nU2n 1 S(n )所以SnS(n )从而级数是收敛的且Sn U1因为|rn| Un 1 Un 2也是收敛的交错级数所以|rn| Un 1例9证明级数(1)n 11收敛 并估计和及余项n 1 n证这是一个交错级数因为此级数满足1un 1(n 1,2, ) (2) lim un lim由莱布尼茨定理级数

18、是收敛的 且其和s U1 1余项|rn| un三、绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛若级数|Un|收敛则称级数Un绝对收敛 若级数 Unn 1n 1n 1收敛而级数|un|发散 则称级Un条件收敛而级数 （1）n 11是条件收敛的 n 1 nn 1n 1例10级数（1）n12是绝对收敛的n 1 n定理7如果级数5绝对收敛则级数Un必定收敛n 1n 1值得注意的问题如果级数 |Un|发散 我们不能断定级数 n 1Un也发散n 1但是 如果我们用比值法或根值法判定级数|Un|发散n 1则我们可以断定级数Un必定发散n 1这是因为此时|Un|不趋向于零从而Un也不趋向于零因此级数 Un也是发散的

19、n 1例11判别级数snfa的收敛性n 1 n2解因为isinnai2而级数J2是收敛的 n nn i n所以级数|吗na|也收敛 从而级数吗a绝对收敛n 1 nn 1 n例12判别级数(1)n(1 1)M的收敛性n 12八n，解由 |Unl Jr(1 1)n2 有 lim na1 1lim(1 1)n =e 12 n n2 nn2可知lim un 0因此级数 (1厂工(1 1)n2发散 nn12n n 11 3哥级数一、函数项级数的概念函数项级数 给定一个定义在区间I上的函数列Un(X)由这函数列构成的表达式U1(x) U2(x) U3(x)un(x)称为定义在区间I上的(函数项)级数 记为

20、un(x)n 1收敛点与发散点对于区间I内的一定点x0若常数项级数un(xo)收敛则称n 1点xo是级数Un(x)的收敛点 若常数项级数Un(xo)发散则称n 1n 1点xo是级数Un(x)的发散点n 1收敛域与发散域函数项级数Un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域所n 1有发散点的全体称为它的发散域 和函数在收敛域上函数项级数Un(X)的和是X的函数S(x)n1S(x)称为函数项级数Un(X)的和函数并写成S(X)Un(X)n1n1汇Un(X)是Un(X)的简便记法以下不再重述n1在收敛域上函数项级数汇Un(X)的和是X的函数S(X)S(X)称为函数项级数汇Un(X)的和函数并写成S(X

21、)EUn(X)这函数的定义就是级数的收敛域部分和函数项级数un(X) 的前 n 项的部分和记作sn(X)n1函数项级数汇Un(X)的前n项的部分和记作Sn(X)即sn(X) u1(X) u2 (X) u3(X)un(X)在收敛域上有lim Sn(X) S(X) 或Sn(X)S(X)(n )余项函数项级数Un(X)的和函数S(X)与部分和Sn(X)的差n1rn(X)S(X)Sn(X)叫做函数项级数Un(X)的余项n1函数项级数汇Un(X)的余项记为rn(X)它是和函数S(X)与部分和Sn(X)的差rn(X)S(X)Sn(X)在收敛域上有lim rn(X) 0n二、幂级数及其收敛性幂级数函数项级数

22、中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数 这种形式的级数称为幂级数它的形式是a0 a1X a2X2anXn其中常数a0 a1 a2an 叫做幂级数的系数哥级数的例子1 x x2 x3 xnx 1x22!n!注哥级数的一般形式是ao ai(x xo) a2(x xo)2an(x xo)n经变换 t x xo 就得 ao ait a2t2antn哥级数1 x x2 x3xn可以看成是公比为 x的几何级数当|x|1时它是收敛的当冈1时它是发散的因此它的收敛域为(1 1)在收敛域内有11 x x2x3xn定理1 (阿贝尔定理)如果级数1 xanxn当x xo (xo o)时收敛 则适合不等式

23、 n o|x| |xo|的一切x使这哥级数绝对收敛反之 如果级数anxn当n ox xo时发散则适合不等式|x| |xo|的一切x使这哥级数发散证先设xo是哥级数anxn的收敛点即级数chxn收敛根据级数收敛的必要条件有n on olim anxn o于是存在一个常数M使n| anxon | M(n o, 1,2,)这样级数anxn的的一般项的绝对值n o|anxn| |anx(D xn| |anxn|X|n M |nxoxoxo因为当x| |xo|时等比级数 M 产收敛所以级数|anxn|收敛 也就是级数anxn绝对noxon on o收敛定理的第二部分可用反证法证明倘若哥级数当x xo时发

24、散而有一点x1适合|x1|xo|使级数收敛则根据本定理的第一部分级数当x X0时应收敛这与所设矛盾定理得证推论如果级数anXn不是仅在点X0 一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有一个完全n 0确定的正数R存在使得当|x| R时哥级数绝对收敛当|x| R时哥级数发散当x R与x R时哥级数可能收敛也可能发散收敛半径与收敛区间 正数R通常叫做哥级数anXn的收敛半径 开区间（RR）叫做哥级数n 0anXn的收敛区间再由哥级数在XR处的收敛性就可以决定它的收敛域哥级数anXnn 0n 0的收敛域是（R R）（或R, R）、（ R, R、 R, R之一规定若哥级数anxn只在x 0收敛则规定收敛半径

25、 R 0若哥级数anxn对一切x都收敛n 0n 0则规定收敛半径R这时收敛域为（，）定理2如果lim |嵬|其中an、an 1是哥级数anXn的相邻两项的系数 则这哥级数的收敛半径nann 00R -00n 1简要证明 lim | an 1X | lim |毗| |x|x|nanxnnan1（1）如果0 则只当冈1时帚级数收敛故R （2）如果 0则哥级数总是收敛的故R如果 则只当x 0时哥级数收敛故R 0例1求哥级数不常的收敛半径与收敛域 解因为 lim |an-1| lim n-1 1nann 1n所以收敛半径为R 1 1当x 1时哥级数成为(1)n 11 是收敛的n 1 n1当X 1时 帚

26、级数成为(,)是发散的 因此收敛域为(1,1n 1 n例2求哥级数ixnn on!1x2 2!1x33!1 x n!的收敛域1解因为limlanT lim (n 祖 lim#0n 1 an 1 n 1 n (n 1)!n!所以收敛半径为R从而收敛域为(例3求哥级数n!xn的收敛半径n 0解因为an 1 (n 1)! lim ln-l lim nan n n!所以收敛半径为 R 0即级数仅在x 0处收敛例4求哥级数侬 x2n的收敛半径n o(n!)2解级数缺少奇次哥的项定理2不能应用可根据比值审敛法来求收敛半径哥级数的一般项记为Un(x) 驾 x2n(n!)2因为lim |nUn 1(X)Un(

27、X)I 4|x|2当4X2 1即|x| 2时级数收敛当4|x|2 1即|x|、时级数发散所以收敛半径为 R提示Un 1(x)Un(x)2(n 1)!Y2(n 1)x(n 1)!2(2n 2)(2n 1)(2n)!x2n (n!)2(n 1)2x2例5求哥级数（x/二的收敛域n 1 2nn解令t x 1上述级数变为tnn 12nn因为lim 1aLn 1 a 一2n n2n 1 (n 1)所以收敛半径R 21当t 2时级数成为 1此级数发散当tn 1nn ， 二的收敛域为n 12nn2时级数成为 此级数收敛 因此级数n 1 n2 t 2因为2 x 1 2即1 x 3所以原级数的收敛域为1, 3）

28、三、骞级数的运算设备级数anxn及 bnxn分别在区间（R,2及（R, R）内收敛 则在（R,2与（R, R）中较n 0n 0小的区间内有加法anxnbnxn（an bn）xnn 0n 0n 0减法anxnbnxn（an bn）xnn 0n 0n 0设备级数汇anxn及汇bnxn分别在区间（R,2及（R, R）内收敛 则在（R,叩与（R, R）中较小的区间内有 加法 汇 anxn m bnxn m(an bn)xn 减法 E anxn E bnxn E (an bn)xn乘法(anxn) (biXn)aobo (aobi ai bo)x (aob2 aibi a2bo)x2n 0n 0(aob

29、n aibn ianbo)xn性质i哥级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续n 0如果哥级数在x R (或xR)也收敛则和函数s(x)在(R R(或R, R)连续性质2哥级数4xn的和函数s(x)在其收敛域I上可积并且有逐项积分公式n 0；s(x)dx ；(anxn)dx:anxndxanjxn i (x I )00 n 0n0on0ni逐项积分后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径性质3哥级数4xn的和函数s(x)在其收敛区间(RR)内可导并且有逐项求导公式n 0s(x) (anxn)(anxn)nanxni(|x|R)n 0n 0n i逐项求导后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛

30、半径例6求哥级数xn的和函数n 0n i解求得哥级数的收敛域为11)设和函数为s(x)即s(x) -xn x i i)显然s(0) i n 0n i在xs(x)-xnI的两边求导得n 0n ixs(x)(- xn i)xnn 0 n i n 0 i x对上式从0到x积分得x ixs(x) dx ln(i x) 0 i x于是当x 0时有s(x)i-ln(i x)从而 s(x) x11n(i x) 0 |x| iX i x 0因为 xs(x) i xn i n 0n ix.0i0n ixn idx0 *dx 0dxn 01 Xln(1 x)所以当x 0时有s(x) -ln(1 x) xx) 0

31、|x| 1x 01从而 s(x) xln(11(1)n -例7求级数 一的和n 0 n 11 c解考虑帚级数-xn此级数在1,1)上收敛 设其和n 0n 1函数为s(x)则s( 1)(1)nn 0n 11( 1)n , 1在例 6 中已得到 xs(x) ln(1 x)于是 s( 1) ln2 s( 1) ln即-ln 2 n 0 n 12114函数展开成哥级数一、泰勒级数要解决的问题 给定函数f(x)要考虑它是否能在某个区间内“展开成哥级数”就是说 是否能找到这样一个哥级数它在某区间内收敛且其和恰好就是给定的函数f(x)如果能找到这样的哥级数 我们就说 函数f(x)在该区间内能展开成哥级数或简

32、单地说函数f(x)能展开成哥级数而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)泰勒多项式 如果f(x)在点x。的某邻域内具有各阶导数则在该邻域内f(x)近似等于f (x) f (x0)f (x0)(x x0)f 2：0) (x x0)2fnnxx x0)n Rn(x)f (n 1)( )其中(刈-l(x x)n 1(介于x与x0之间)(n 1)!泰勒级数 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x)f (x) f (n)(x) 则当n 时f(x)在点X0的泰勒多项式f (Xc)c f(n)(X)Pn(X)f (X0)f (X0)(X X0)T-(X X0)2(X X0)2!n!成为哥级数f(X

33、0)f(X0)(XX0)f4(XX0)2f(XX0)3f()(X0)(XX0)n2!3!n!这一哥级数称为函数f(X)的泰勒级数显然当X X0时f(X)的泰勒级数收敛于f(X0)需回答的问题 除了 X X0外f(X)的泰勒级数是否收敛？如果收敛它是否一定收敛于f(X)?定理设函数f(X)在点X0的某一邻域U(X0)内具有各阶导数则f(X)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(X)的泰勒公式中的余项Rn(X)当n 0时的极限为零即lim Rn(X) 0 (X U (X0) n证明先证必要性设f(X)在U(X0)内能展开为泰勒级数即f (Xc) cf(n)(Xc)f (X) f (X0)f

34、 (X0)(X X0) (X X0)2-(X X0)2!n!又设Sn i(x)是f(X)的泰勒级数的前 n 1项的和 则在U(X0)内sn i(x) f(X)(n )而 f(X)的 n 阶泰勒公式可写成f(X) Sn 1(X) Rn(X)于是 Rn(X) f(X) Sn i(x) 0(n)再证充分性设Rn(x) 0(n)对一切x U(X0)成立因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x) Sn 1(X) Rn(x)于是Sn l(x) f(x) Rn(x) f(x)即f(x)的泰勒级数在U(X0)内收敛并且收敛于f(x)麦克劳林级数在泰勒级数中取X0 0得f(0) f(0)X 9x2百Xn2!n!此

35、级数称为f(x)的麦克劳林级数展开式的唯一性如果f(x)能展开成X的哥级数那么这种展式是唯一的它一定与f(x)的麦克劳林级数一致 这是因为如果f(x)在点X0 0的某邻域(RR)内能展开成x的哥级数 即f(x) a0 aix a2X2anxn那么根据哥级数在收敛区间内可以逐项求导有f (x) ai 2a2x 3a3x2nanxn 1f (x) 2!a2 3 2a3xn (n 1)anxn 2f(n)(x) n!an (n 1)n(n 1) 2an ix于是得, f (0)f(n)(0)a0 f(0) ai f (0) a2an2!n!应注意的问题 如果f(x)能展开成x的哥级数 那么这个哥级数

36、就是f(x)的麦克劳林级数但是反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0 0的某邻域内收敛 它却不一定收敛于 f(x)因此如果f(x)在点x0 0处具有各阶导数 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来但这个级数是否在某个区间内收敛以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察二、函数展开成哥级数展开步骤第一步 求出f (x)的各阶导数f(x)f (x)f(n)(x)第二步求函数及其各阶导数在x 0处的值f(0) f (0) f (0)f(n)( 0)第三步写出嘉级数f(0) f(0)x 110)x29xn2!n!并求出收敛半径R第四步考察在区间(RR)内时是否Rn(x) 0(n)lim Rn(x) lim

37、 nnf(n1)( )/1 x(n1)!是否为零 如果Rn(x) 0(n)则f(x)在(RR)内有展开式f(x) f(0) f (0)x fx2fnxn( R x R)2!n!解所给函数的各阶导数为例1将函数f(x) ex展开成x的哥级数f(x) ex(n 1 2 )因此f (n)(0) 1(n 1 2 )于是得级数x x22!n!它的收敛半径R对于任何有限的数 x、(介于0与x之间)有出1(nV 1n 1elxl JX|(n 1)!而limn(n1)!所以nlim|Rn(x)| 0从而有展开式ex 11x2 2!例2将函数f(x)sin x展开成x的哥级数解因为 f(n)(x) sin(xn

38、 -2)(n 1所以f(0)顺序循环地取x3 x5x至百(1)n0 1 0 1(n1 x2n 1(2n 1)!3 )于是得级数它的收敛半径为对于任何有限的数x、(介于。与x之间)有sinIRn(x)l | 一(n 1)2(n 1)!Ixn11 Ml1 (n 1)!0 (n因此得展开式sin xx33!x55!1)n1 x2n 1(2n 1)!ex 1lx2!x例3将函数f(x) (1n!x)m展开成x的哥级数其中m为任意常数解f(x)的各阶导数为f (x) m(1 x)m 1f (x)m 2m(m 1)(1 x)f(n)(x)m(m 1)(m 2) (m n 1)(1 x)m n所以 f(0)

39、 1 f(0) m f (0) m(m 1)f(n)(0) m(m 1)(m 2) (m n 1)于是得哥级数m(m 1) 21 mxx22!m(m 1) (m n 1) n xn!可以证明(1 x)m 1 mxm(m2!1)x2m(m 1) (m n 1) n xn!(1x1)间接展开法例4将函数f(x)cos x展开成x的哥级数解已知-x3sin x x - 3!x55!1)n2n 11 x(2n 1)!对上式两边求导得24cosx 1 2!4!1)n2n x 丽例5将函数f(x)11 x2展开成x的哥级数解因为-1x2xn( 1 x1)把x换成x2得(1)nx2n(1x1)注收敛半径的确

40、定1x2 1 得 1 x 1例6将函数f(x) ln(1x)展开成x的哥级数解因为f (x) 上1 x而。是收敛的等比级数1 x(1)nxn ( 1 x01)的和函数1 x x2 x3 1 x1)nxn所以将上式从0到x逐项积分ln(1 x) xX2 xi X4234n 11)n n 1(1x1)x解 f(x) ln(1 x) 0ln(1dxx 1刈dx 0rxn 10( 1)nxndx ( 1)叱(1x1)0 n 0n 0 n 1上述展开式对x 1也成立这是因为上式右端的哥级数当x 1时收敛 而ln(1 x)在x 1处有定义且连续例7将函数f(x) sin x展开成(x )的哥级数解因为2s

41、inx sin 4 (x 4) cos(x 4) sin(x并且有cos(x 4)1 ?x 4)2 sin(x -) (x 4) (xZ)3i(x所以sin x 字1例8将函数f (x)(x 7) 14)2-)3(x2 4x 3展开成(x 1)的哥级数111 x 144解因为f(x) x2 4x 3(x 1)(x 3) 2(1 x)12(3 x)1( 1)n(x 1)n 1( 1)n(x 1)n4n 0( )2n 8n 0( )4n11nJ1)* 产)(x 1)n(1 x 3)提示 1 x 2 (x 1) 2(1 21) 3 x 4 (x 1) 4(1 寸)1 x J1)n(1n (x 1)n

42、14n (1)1)收敛域的确定由x 1221 X J展开式小结x x2xnx 1)ex 1sin x1 22!xx31 n xn!cosxx55!x41)nx2n 1 x2!4!1)n(2n2nx(2n)!1)!ln(1 x)x22x3x47n 11)n n 11)(1 x)mmxm(m21)x2m(m 1)(m n!1) xn(1x1)11函数的哥级数展开式的应用一、近似计算例1计算V240的近似值 要求误差不超过0 0001解因为 5/240 5/243 3 3(1 4)1/534所以在二项展开式中取m 1 x 即得5341 4 1 14 9 1这个级数收敛很快52 2! 3853 3 3

43、12取前两项的和作为51240的近似值其误差（也叫做截断误差）为|引4 1万381 49 1533!铲14 914 1)54 4!好 )381181225 3811781125 27 40120000于是取近似式为5240 3(1为了使“四舍五入”引起的误差5 34）（叫做舍入误差）与截断误差之和不超过10 4计算时应取五位小数然后四舍五入因此最后得5 240 2.9926例2计算ln 2的近似值要求误差不超过 0 0001解在上节例5中令x 1可得(1)n 11 n如果取这级数前n项和作为ln2的近似值其误差为|rn|为了保证误差不超过10 4就需要取级数的前10000项进行计算.这样做计算

44、量太大了 我们必需用收敛较快的级数来代替它把展开式ln(1x) xx2 x3 x4n 1(1)nRx 1)中的x换成ln(1x)x2 x 一2x33x44(1 x1)两式相减得到不含有偶次哥的展开式ln(1 x) ln(1x)2(x 3x35x5)(1 x 1)12解出x -31x 1代入最后一个展开式 31n2 2(1133如果取前四项作为11115 35 7 37ln2的近似值则误差为1 11|r4| 2(9 3911 31113 3133211 9(9)214 39700000 ,2131111_9于是取ln2111工3 33 5 35同样地考虑到舍入误差计算时应取五位小数10.3333

45、3 1-10.01235 1-10.00082 1-10.000073333535737因此得ln 2 0 6931例3利用 sinx x 1x3求sin9的近似值 并估计误差 3解首先把角度化成弧度9 - 9(弧度)或(弧度)180203从而 sin 20 20 3! 20其次估计这个近似值的精确度在sin x的哥级数展开式中令x五得sin20 20 3! 205! 201 7! 20等式右端是一个收敛的交错级数且各项的绝对值单调减少取它的前两项之和作为sin20的近似值起误差为5115|r2| 1 (0.2)51 1 5! 20 1201300000因此取200.157080200.003

46、876于是得 sin9 0 15643这时误差不超过10 5例4计算定积分2=V12e0x2dx的近似值 要求误差不超过 0 0001 （取 上 0.56419）解 将ex的哥级数展开式中的x换成x2得到被积函数的哥级数展开式x2( x2)e x 1 -1!(x2)22!(x2)33!2n(1)n，( n 0n!).根据哥级数在收敛区间内逐项可积x2 dx1 122、0n2n1)n-dxn!(1)nn!1 02x2ndx1 02e122 3124 5 2!26 7 3).前四项的和作为近似值其误差为13V28 9 4!190000所以12e0X2dxr(1 人1_4_2 5 2!126 7 3

47、!0.5205例5计算积分1sinx .dx 0 x的近似值要求误差不超过0 0001解由于lim snx 1因此所给积分不是反常积分如果定义被积函数在 x 0处的值为1则它x 0 x在积分区间0 1上连续.展开被积函数有sinxix2x4x6zx-13TIT7!(在区间0 1上逐项积分得1皿dx 1 .0 x 3 3! 5 5! 7 7!因为第四项117 7! 30000所以取前三项的和作为积分的近似值sjnxdx 1 J-，0.94610 x 33! 55!、欧拉公式 复数项级数设有复数项级数(U1 iV1)(U2 iV2)(Un ivn)其中Un vn(n 1 2 3)为实常数或实函数如果实部所成的级数U1 U2Un收敛于和U并且虚部所成的级数V1 V2vn收敛于和v就说复数项级数收敛且和为u iv绝对收敛如果级 (un ivn)的各项的模所构成的级数Ju2 v2收敛n 1n 1则称级数(un ivn)