第二十二曲面积分ppt课件

1、1. 根本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 一致积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 一直非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例第一类曲面积分的特例.2) 设曲面,),( ,0:Dyxz问以下等式能否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式留意公式运用条件添加辅助面的技巧(辅助面普通取平行坐标面的平面)

2、(3) 两类曲面积分的转化zyxo,ddddddyxzxzyzyx其中 为半球面222yxRz的上侧.且取下侧 , 提示提示: 以半球底面以半球底面0原式 =3323R032.R0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为 ,高斯公式有1.计算为辅助面, 利用证明证明: 设设(常向量)那么单位外法向向量, 试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设 为简单闭曲面, a 为恣意固定向量, n 为的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,c

3、os,(cos0ayxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134思索思索: 此题此题 改为椭球面改为椭球面1222222czbyax时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧, 然后用高斯公式 .2121I9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: 取足够小的正数取足够小的正数, 作曲面作曲面取下侧 使其包在 内, 2为 xoy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 ,1与21ozyx取上侧,

4、 计算, )0( z那么21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算, 得其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性用重心公式xzoyzyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222设L 是平面与柱面1 yx的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记记 为平面为平面2zyx上 L 所围部分的上侧, D为在 xoy 面上的投影.I3131312

5、zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdLDDyxyxdd)6(2Dxyo11D 的几何中心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxD(1) 在任一固定时辰 , 此卫星能监视的地球外表积是象机能监视其视野所及地球外表的每一处的景象并摄像, 假设地球半径为R , 卫星距地球外表高度为H =0.25 R , 卫星绕地球一周的时间为 T , 试求(2) 在yzxo解解: 如图建立坐标系如图建立坐标系.,54cos8 . 0arccosR25. 1R3T的时间内 , 卫星监视的地球外表积是多少 ?多少 ? yzxoR25

6、. 1R02201dsindRS)cos1 (22R252R(2) 在2S2025234RSR3T时间内监视的地球外表积为54cos其中S0 为盲区面积yzxoR25. 1R02201dsindRS)cos1 (22R252R(2) 在2S其中盲区面积200d2S202dsinR)sin1 (42R258R256R3T时间内监视的地球外表积为54cos2025234RSRyozxnRQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd SRQPzyxdcoscoscos,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解法解法1 1 令令,22xyQyxP那么

7、xQ这阐明积分与途径无关, 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.,BA它与L所围区域为D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思索思索:(2) 假设 L 同例2 , 如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 假设L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:BALyxyxyxId)(d)(22那么添加辅助线段LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Ly

8、xyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0: t332aICoyxABLD sin)cos1 (:taytaxLDyaLxo计算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L为上半圆周, 0,)(222yayax提示提示: :LxxyyexyeId)2cos(dsinLxyd2Lxyd2BAyxDdd0ax20d0022dsin2tta0: t2a沿逆时针方向.ABABL8.9. 设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, ,22yx 证明在此力场中场力所作的功与所取的途径无关.提示提示:)dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易证53yxkyP