第三章量纲分析和相似理论ppt课件

1、 第三章第三章 量纲分析和类似实际量纲分析和类似实际第一节第一节 量纲和单位量纲和单位第二节第二节 量纲分析量纲分析第三节第三节 类似实际类似实际第四节第四节 用方程式分析构造类似用方程式分析构造类似第五节第五节 用量纲分析法分析构造类似用量纲分析法分析构造类似第一节 单位和量纲 1.单位单位: 为了定量地描画某个物理量，就需求用一定的规范去衡为了定量地描画某个物理量，就需求用一定的规范去衡量和表示。假设所取的规范不同，那么测得的结果也就不同。量和表示。假设所取的规范不同，那么测得的结果也就不同。我们把所取的这个规范就称为单位。我们把所取的这个规范就称为单位。 单位有两个含义：单位有两个含义：

2、 一是表示被测物理量的类型，一是表示被测物理量的类型， 二是表示丈量的二是表示丈量的“尺度。尺度。 在实验中，各种物理量丈量时需求选用适当的单位。如在实验中，各种物理量丈量时需求选用适当的单位。如丈量物体的长度，可选用米、厘米、毫米等单位，丈量某段丈量物体的长度，可选用米、厘米、毫米等单位，丈量某段时间间隔可选用小时、分、秒等单位。虽然力学实验存在各时间间隔可选用小时、分、秒等单位。虽然力学实验存在各种各样的物理量，但普通只需对其中三种根本物理量定出单种各样的物理量，但普通只需对其中三种根本物理量定出单位，其他物理量的单位可以由根本物理量的单位导出。根本位，其他物理量的单位可以由根本物理量的单

3、位导出。根本物理量的单位称为根本单位，其物理量的单位称为导出单位。物理量的单位称为根本单位，其物理量的单位称为导出单位。 1960年第十一届国际大会经过了国际单位制年第十一届国际大会经过了国际单位制SI ，在，在国际制单位中，国际制单位分为三类：根本单位；导出国际制单位中，国际制单位分为三类：根本单位；导出单位；辅助单位。单位；辅助单位。 1)根本单位根本单位第十一届国际计量大会第十一届国际计量大会1954年和第十四届计量大会，决议年和第十四届计量大会，决议选取七个有严厉定义的单位作为国际单位制的根本单位。这七个单选取七个有严厉定义的单位作为国际单位制的根本单位。这七个单位是：米位是：米 (长

4、度长度)千克千克(质量质量)秒秒(时间时间)安培安培(电流强度电流强度)开尔文开尔文(热力学温度热力学温度)摩尔摩尔(物质的量物质的量)和坎德拉和坎德拉(发光强度发光强度)，它们在量纲上，它们在量纲上是彼此独立的，这七个国际单位称为根本单位。是彼此独立的，这七个国际单位称为根本单位。2)导出单位导出单位导出单位是借助乘和除的数字符号经过代数式用根本单位的表导出单位是借助乘和除的数字符号经过代数式用根本单位的表示。有些导出单位已具有专门称号和特有的代号，这些专门称号和示。有些导出单位已具有专门称号和特有的代号，这些专门称号和代号本身又可以用来表示其它导出单位，从而比用根本单位表示更代号本身又可以

5、用来表示其它导出单位，从而比用根本单位表示更简单。简单。 3)辅助单位辅助单位有些个别单位，国际计量大会尚未规定它们是属于根本单位还有些个别单位，国际计量大会尚未规定它们是属于根本单位还是导出单位，这些国际制单位被列为第三类，即所谓是导出单位，这些国际制单位被列为第三类，即所谓辅助单位辅助单位，而且可以随意把它们当作根本单位或导出单位。这类单位目前只需而且可以随意把它们当作根本单位或导出单位。这类单位目前只需两个，即平面角的国际制弧度和立体角的国际制球面度。两个，即平面角的国际制弧度和立体角的国际制球面度。 2.量纲： 是物理量的单位种类，又称因次。如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、

6、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲长度量纲，用L表示。根本量纲和导出量纲： 根本量纲是具有独立性的量纲，在力学领域中有三个根本量纲：长度量纲L、时间量纲T、质量量纲M 导出量纲由根本量纲组合表示，如：加速度的量纲 a=LT-2 力的量纲 F=ma=MLT-2任何物理量B的量纲可写成 B=MLT。 无量纲量： 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实践是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量。例如角度，可以用弧长和半径的值来度量，其单位可用弧度表示。但由于与根本量纲无关，故角度是无量纲的。 物理量 量 纲 物理量 量 纲 物理量 量 纲

7、 长度 L 力 MLT-2 力矩 ML2T-2 时间 T 能、功 ML2T-2 惯性矩 ML 质量 M 功率 ML2T-3 角速度 T-1 面积 L2 密度 ML-3 角加速度 T-2 体积 L3 频率 T-1弹性系数ML-1T-2 速度 LT-1 压强 ML-1T-2 加速度 LT-2 应力 M-1T-2力学中常见物理量的量纲第二节第二节 量纲分析量纲分析 量纲调和性原理：量纲调和性原理又被称为量纲一量纲调和性原理：量纲调和性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理。指一个物理景致性原理，也叫量纲齐次性原理。指一个物理景象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程象或一个物理过程用一个物

8、理方程表示时，方程中每项的量纲应该是调和的、一致的、齐次的。中每项的量纲应该是调和的、一致的、齐次的。物理方程量纲的均匀性：一个正确的物理方程，式物理方程量纲的均匀性：一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样，并应采用同一度量单中的每项的量纲应该一样，并应采用同一度量单位。位。物理方程量纲的齐次性：当量度单位改动时，方程物理方程量纲的齐次性：当量度单位改动时，方程的构造方式不变的性质。的构造方式不变的性质。 假设知有哪些物理量参与某一物理景象，即可借助量纲分析方法导出某一物理景象的根本方程式，建立它们之间的普通关系。 例如，知物体做匀速圆周运动与物体质量M、圆半径R，线速度V及向心力F诸物

9、理量有关，试求其关系。首先写出量纲表达式： rqpRMFV 这几个物理量的量纲是 1 LTV LR MM 2 MLTFprpqprqpTLMLMMLTLT221故有根据量纲齐次原那么，必需使 12, 1, 0prpqp21,21,21rqp解得 所以 212121RMFV从而 MFRV 此即匀速圆周运动线速度公式。 量纲的相互关系：量纲的相互关系：两个物理量相等，不仅数值相等，且量纲也要一两个物理量相等，不仅数值相等，且量纲也要一样。样。两个同量纲参数的比值是无量纲参数，其值不随两个同量纲参数的比值是无量纲参数，其值不随所取单位的大小而变。所取单位的大小而变。导出量纲可和根本量纲组成无量纲组合

10、，但根本导出量纲可和根本量纲组成无量纲组合，但根本量纲之间不能组成无量纲组合。量纲之间不能组成无量纲组合。一个完好的物理方程式中，各项的量纲必需一样一个完好的物理方程式中，各项的量纲必需一样, ,因此方程才干用加、减并用等号联络起来。因此方程才干用加、减并用等号联络起来。量纲调和量纲调和当度量单位改动时，方程的构造方式不变，即方当度量单位改动时，方程的构造方式不变，即方程可以转换为无量纲综合数群间的关系。程可以转换为无量纲综合数群间的关系。 量纲齐次量纲齐次力学分析力学分析实际计算实际计算实验研讨实验研讨原型实验原型实验模型实验模型实验 模型实验是将发生在原型中的力学过程模型实验是将发生在原型

11、中的力学过程, ,在在物理类似条件下，经减少物理类似条件下，经减少( (或放大或放大) )后在模型上重后在模型上重演。对模型中的力学参数进展丈量、记录、分析，演。对模型中的力学参数进展丈量、记录、分析，并根据类似关系换算到原型中去，到达研讨原型并根据类似关系换算到原型中去，到达研讨原型力学过程的目的。力学过程的目的。第三节第三节 类似实际类似实际 物理景象类似物理景象类似 是指除了几何类似之外，在进展物理过程的系是指除了几何类似之外，在进展物理过程的系统中，在相应的地点位置和对应的时辰，模型统中，在相应的地点位置和对应的时辰，模型与原型的各相应物理量之间的比例应坚持常数。与原型的各相应物理量之

12、间的比例应坚持常数。在两个系统中，一切向量在对应点和在两个系统中，一切向量在对应点和对应时辰方向一样、大小成比例，一对应时辰方向一样、大小成比例，一切标量也在对应点和对应时辰成比例切标量也在对应点和对应时辰成比例模型实验的优点：模型实验的优点：经济性好模型尺寸小经济性好模型尺寸小针对性强突出主要要素，略去次要要素针对性强突出主要要素，略去次要要素数据准确室内实验数据准确室内实验模型实验的运用：模型实验的运用：替代大型构造实验或作为大型构造实验的辅助实验。替代大型构造实验或作为大型构造实验的辅助实验。作为构造分析计算的辅助手段。作为构造分析计算的辅助手段。验证和开展构造计算实际。验证和开展构造计

13、算实际。模型实验的实际根底模型实验的实际根底构造类似实际构造类似实际一、构造类似定理一、构造类似定理类似第一定理类似第一定理牛顿牛顿1786彼此类似的景象，单值条件一样，其彼此类似的景象，单值条件一样，其类似准数一样。类似准数一样。 单值条件：单值条件：几何类似几何类似物理参数类似物理参数类似边境条件类似边境条件类似初始条件类似初始条件类似以牛顿第二定律为例来阐明第一类似定理性质 牛顿第二定律，即作用力F等于质量m与加速度a的乘积，其方向与加速度方向一样，即： maF 对于第一景象 amF对于第二景象amF 假设此两景象各物理量之间存在以下关系： aCamCmFCFamF ，amFCCC，分别

14、为力、质量和加速度的类似系数 amCCFCamF 上式阐明，假设两景象转变时不破坏原有方程式，那么必需使 amFCCC令： amFiCCCC 假设此两景象类似，必需使： 1amFiCCCC 上式阐明其中两个类似系数恣意选定后，第三个类似系数必需由上式决议，因此上式是判别景象类似的条件，称为“类似目的。上式也可以写成另一种方式 maFK 可以看出，对一切类似景象，其类似判据是一样的，它是一个不变量，因此，可以用类似判据，来确定两个类似景象中的物理量之间的关系。K 称为类似准数。 类似第一定理，也可以用文字归纳为，对于彼此类似的景象，其类似目的为1，或其类似判据为一不变量，或者说类似系统的类似准数

15、相等。 amFamF 上式表示彼此类似景象中的各物理量之间有一定关系 ，如去掉上标可写成普通方式，称为类似判据：小结小结: :类似常数类似常数: :在两类似景象中，两个相应的物理量在两类似景象中，两个相应的物理量为常数。对于与此两景象彼此类似的第三个景为常数。对于与此两景象彼此类似的第三个景象中象中, ,可以具有不同的数值。可以具有不同的数值。类似目的类似目的: :由彼此类似景象中各类似常数组成的由彼此类似景象中各类似常数组成的无量纲量无量纲量, ,彼此类似的景象都满足类似目的等彼此类似的景象都满足类似目的等于于1 1的条件。的条件。类似准数类似准数: :在一切类似的景象中是一个不变量，在一切

16、类似的景象中是一个不变量，无量纲量无量纲量, ,一切类似的系统类似准数应相等。一切类似的系统类似准数应相等。确定类似准数有两种方法确定类似准数有两种方法: :方程分析法知描画物理过程的方程。方程分析法知描画物理过程的方程。量纲分析法知系统中相关的物理量而无法建立量纲分析法知系统中相关的物理量而无法建立方程。方程。2.类似第二定理类似第二定理 描画物理景象的方程式必需是量纲的齐次方程，因此我们用与方程各项一样量纲去除方程的各项，那么该方程式可变为无量纲综合数群的方程方式。类似第二定理指出相互类似景象中，其类似判据可不用利用类似目的来导出，只需将方程转变为无量纲方程方式，无量纲方程各项即为类似判据

17、。因表示景象各物理量之间的关系方程式，均可转变为无量纲方程方式，因此都可以写出类似判据方程式。 举例如下：布金汉布金汉Buckingham定理定理 设有一等截面直杆，两端受偏心拉力P，偏心距为l。知杆中最大拉应力为 APWPl无量纲方程为 APWPl1显然，模型实验中各物理量也应满足上式，于是有 APWlP 1模型和实物的同类物理量应满足类似，即有 ACAWCWlClPCPAWlP , ,C , ,AWlpCCCCC、为类似系数 c(b)(a)将式c代入(b)式得到 APCCCWPlCCCApwlpC1将上式与(a)相比较可知，假设要两景象类似，必需使 1 1ApWlpCCCCCCC或者常数

18、WPlWlP常数PAP(d) 式(d)称为类似判据，阐明彼此类似景象的判据为不变量。它就是类似实际第二定理，也称为 定理，即一个景象中各物理量之间的关系方程式都可以转换成无量纲方程，无量纲方程中的各项就是类似判据。因此描画一景象各物理量之间的关系方程式，都可转换成由类似判据组成的方程。 写成普通方式得： APKWPlK21，3.类似第三定理 类似逆定理 类似第三定理指出，在物理方程一样的情况下，如两个景象的单值条件类似，亦即从单值条件下引出的类似判据假设与景象本身的类似判据一样，那么这两个景象一定类似。 类似第一、第二定理明确了类似景象的性质，它们是在假定景象类似为知的根底上导出的，但是没有给

19、出类似景象的充分条件。 单值条件，是指一个景象区别于一群景象的那些条件。属于单值条件的要素有：系统的几何特性、对所研讨的对象有艰苦影响的介质特性、时间、系统的初始条件和边境条件等。 LMipiCxxtMpCtt下标p表示实物，下标M表示模型 2时间类似：对于构造的动力问题，在随时间变化的过程中，要求模型与原型在对应时辰进展比较，要求相对应的时间成比例。在随时间变化的过程中，每一时辰都对应着一批确定的物理量。由于其总是在一样的时间根底上进展的，因此必需坚持不变的时间比例关系 1几何类似：两个系统的几何类似是指它们的对应边成比例、对应角相等。几何尺寸之比称为几何类似常数。 在几何类似系统中，任何相

20、应点i点的坐标应满足 3物理参数的类似： 对于弹性构造有影响的物理参数，有弹性模量E、泊松比密度等，在模拟时，应满足以下比例关系：CCCEEMpMpEMp， 4初始条件的类似： 物理景象一方面取决于该景象的本质，另一方面也取决于它的初始条件，因此要求模型与原型在初始时辰的运动参数类似。包括初始几何位置、质点的位移、速度和加速度。模型上的速度、加速度和原型的速度和加速度在对应的位置和对应的时辰坚持一定的比例，并且运动方向一致。5边境条件的类似： 在两个类似景象中，除了具有一样的根本方程外，还要求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件支承条件、约束条件和边境上的受力情况等坚持类似。例如周围固支的

21、板与周围简支的板，其处置方法是不同的。 在物理方程一样的条件下，单值条件决议所研讨过程中各物理量的大小。这时，单值条件类似就成为类似的充分条件。 应该指出我们在表达上面三个类似定理时，为了简便起见，没有采用微积分运算方程式，但此三个定理对微积分方程同样适用，例如：对于微分符号 dx，我们可以看成 x2-x1，因此 dx 与 x 具有同样的物理意义，在确定类似系数与类似判据时可不思索微积分符号。此外还有载荷、质量类似等四、用方程式分析构造类似四、用方程式分析构造类似 对于物理量之间的关系方程式曾经知道的问题，运用类似实际可以很容易求得模型与原型的相应物理量之间的关系式。 现利用上述定律处理拉伸试

22、件类似律的问题。 拉伸试件的剩余伸长 Eblll00llllEb由实验得知 00AlllEb00lA所以均匀伸长量部分伸长量或写为 001lA无量纲方程的各项就是类似判据，故类似判据为 常数常数00lACCC 、将类似系数 代入， 可得 001lCACCC 因此，用一样资料的比例试件替代规范试件进展拉伸试件，并要求得到一样的延伸率的话，那么必需满足上式。 1 , 1CC对同种资料由于要求延伸率一样，故 1C这样，拉伸试件的类似判据拉伸试件类似率应为 常数00lA规范圆试件标距与直径的比值为10或5，所以3 .11420000dlAl65. 500Al所以，比例试件应满足以上两式。 在构造计算中

23、，经常会遇到微分方程式，利用边境条件来求解时非常困难，而我们运用类似实际可以很容易建立判据方程，利用判据方程可得模型与原型之间诸物理量之间的关系，用模型测得结果换算成实践需求数值，所以用方程式来分析构造的类似条件，在这类问题中有实践价值。 利用描画景象的根本微分方程组和全部单值利用描画景象的根本微分方程组和全部单值条件来导出类似准数。详细步骤：条件来导出类似准数。详细步骤：写出景象的根本微分方程组和全部单值条件；写出景象的根本微分方程组和全部单值条件；写出类似常数的表达式；写出类似常数的表达式；将类似常数表达式代入微分方程组进展类似转换，将类似常数表达式代入微分方程组进展类似转换，从而得到类似

24、准数；从而得到类似准数；用一样的方法，从单值条件方程中得到类似准数。用一样的方法，从单值条件方程中得到类似准数。当单值条件化为数值而无方程时，从单值条件得当单值条件化为数值而无方程时，从单值条件得不出类似准数。不出类似准数。例例1 1：单自在度系统有阻尼受迫振：单自在度系统有阻尼受迫振动类似准数的导出。振动微分方动类似准数的导出。振动微分方程如下：程如下： 22d ydymckypdtdt解：对于原型系统振动微分方程解：对于原型系统振动微分方程22pppppppppd ydymck ypdtdt22mmmmmmmmmd ydymck ypdtdt对于模型系统振动微分方程对于模型系统振动微分方程

25、设模型和原形各物理量的类似常数为设模型和原形各物理量的类似常数为模型系统各物理量为模型系统各物理量为将上式代入模型系统，得：将上式代入模型系统，得：pmppmtpmypmkpmcpmmppCttCyyCkkCccCmmC,ppmptmpympkmpcmpmmpCptCtyCykCkcCcmCm,ppppykpppycpppympCykCCdtdycCCCdtydmCCCtt222与原型系统相比较，得：与原型系统相比较，得：由上式得由上式得ppppykpppycpppympCykCCdtdycCCCdtydmCCCtt222pykycymCCCCCCCCCtt2pymykymycymCCCCCC

26、CCCCCCCCCtttt222myptKCCCCmktKCCCmctKCCCympmtktctm2322221, 1, 1, 1 假设要模型与原型类似，根据类似第一定理，类似目的等于1。PLa2()()(3)6ppppppppppppppppppMP LaMPLaWWP afLaE I那么类似系统的构造类似常数为那么类似系统的构造类似常数为例例2 2：一悬臂梁构造，在梁端作用一集中荷：一悬臂梁构造，在梁端作用一集中荷载载P P，截面高，截面高h h，宽，宽b,b,求类似准数。求类似准数。解：对于原型构造，在恣意截面解：对于原型构造，在恣意截面a处弯矩、正应力和挠度为：处弯矩、正应力和挠度为：

27、plplppppIICCWWCCbbhhaallCmImwmmmml43,将以上各式代入原型系统方程，将以上各式代入原型系统方程，pppppffCCMMCPPCEECmfmmMmpmE,mmmmmmPlEfmmmmmPmmmmlPMmaLIEaPCCCCfaLWPCCCaLPCCCMl3622将上式并与模型系统相比较，得类似准数如下将上式并与模型系统相比较，得类似准数如下由类似条件得到原型受力分布由类似条件得到原型受力分布1112PlEfPlPMCCCCCCCCCClPfELKPLKPLMK3221PlEmfmpPmmplPmMmpCCCfCffCCCCCMCMMl2323(2)24()2()

28、2q xyLLxxEIq xMLxq xLxW解：类似系统的对应各物理量的类似常数为：解：类似系统的对应各物理量的类似常数为：43,mmmmmyMqlpppppmmmmlEIlWlppppyMqxSSSSSyMqxLEIWSSSSSSLEIW例例3：受均布载荷：受均布载荷q作用的简支梁在截面作用的简支梁在截面x处处的挠度、弯矩和正应力如下，求类似准数。的挠度、弯矩和正应力如下，求类似准数。43,mypmMpmpmpmxpqmlpmEpmlpmlpyS yMS MSqS qxS xLS LES EIS IWS W模型系统各物理量为模型系统各物理量为原型系统方程原型系统方程323(2)24()2(

29、)2pppppppppppppppppppq xyLL xxE Iq xMLxq xLxW模型系统方程模型系统方程323(2)24()2()2mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmq xyLL xxE Iq xMLxq xLxW将模型系统各物理量代入上式将模型系统各物理量代入上式43234223(2)24()2()2qlElqlqllppypppppppppMPPPppppppS S q xS yLL xxS S E IS S q xS MLxS S q xSLxSW1223EyqMq llq整理得整理得2111EyqMlqlqS SSSS SS SS3223(2)24()2()2Eqqlq

30、yMlpppppppppppPPPppppppS SSSS Sq xyLL xxE Iq xMLxq xS SSLxW那么类似条件那么类似条件为为 类似第二定理也称为定理，其普通方式可表述为： 如有n个物理量参与某一物理景象，并且其中有k个物理量量纲是彼此独立的，那么n 个物理量之间的关系方程式可简化为(n-k) 个无量纲乘积之间的关系方程式。五、用量纲分析法分析构造类似五、用量纲分析法分析构造类似 定理定理 把表示物理过程的方程转换成由类似准数表示的方程。把表示物理过程的方程转换成由类似准数表示的方程。0),(21nxxxf12(,.,)0n k 五、用量纲分析法分析构造类似五、用量纲分析法

31、分析构造类似 定理定理 假定一物理景象中有n个物理量，那么其关系方程式可表示如下 0)(21nxxxf，此方程可用级数方式表示： 021kinbiaiixxxN式中N为无量纲数。由于方程式必需是量纲的齐次方程 ksnbsassxxxN21各项同除以恣意一项0112121KinBiAiikskinbsbiasaisixxxTxxxNN得假设上式中有m个相互独立的物理量可作为根本单位， 设mxxx21，为根本单位，nmmxxx21，因此我们建立n-m个无量纲数群，称为项： 为导出单位，mnmnmnnnmnnmnmxxxxxxxxxxxx2121222111222111以上诸式分子和分母的量纲一样，

32、因此均为无量纲项，代入上式可得： 0)()()()()()(12122112121222111iimnmnmniiiiiiiKmnKnHHnGGnFmBAixxxxxxxxxxxxTmxxx21，上式又是无量纲方程，因此mxxx21，101111211xxKHGAmni由于为根本单位，彼此无合并能够，的指数综合为零所以上式可写成 0),(0121121mnKmnHGifTiii或 由此 定理可表达如下：一切的量纲齐次方程均可化为无量纲综合数群之和的方式，无量纲数群 项的数目为n-m个，其中n为方程中不同物理量的数目，m表示彼此独立可作根本单位的物理量数目。 例例4 4：单自在度系统有阻尼受迫振

33、动导出类似准数：单自在度系统有阻尼受迫振动导出类似准数 ( , , , , , )0f m y t c k p 解解1 1：设景象中各物理量的关系方程如下：设景象中各物理量的关系方程如下：1111cm y t取取m m，y y，t t为量纲独立的物理量，有：为量纲独立的物理量，有：2222kmy t3333pmy t各物理量的量纲：各物理量的量纲： Mm 2 MLTp 2 MTk 1 MTc Tt Ly 由无量纲量由无量纲量11、2 2 、3 3 得得比较可得比较可得 333222111221TLMMLTTLMMTTLMMT2, 1, 12, 0, 11, 0, 133322211122123

34、,ctktptmmmy所以所以由于由于数对于类似的物理景象具有不变的方式，故模数对于类似的物理景象具有不变的方式，故模型设计时需模型物理量与原型物理量满足下式，即：型设计时需模型物理量与原型物理量满足下式，即：2222,p pm mmpp pm mmpp pm mmmppc tc tmmk tk tmmp tp tm ym y将各物理量的类似常数代入上式，即得类似条件将各物理量的类似常数代入上式，即得类似条件11122ympmkmtcCCCCCCCCCCtt解解2 2：设景象中各物理量的关系方程如下：设景象中各物理量的关系方程如下：( , , , , , )0f m y t c k p 物理量

35、个数物理量个数n=6, 用绝对系统，根本量纲用绝对系统，根本量纲3个，个，那么那么函数为：函数为：123(,)0 一切物理量组成无量纲方式的一切物理量组成无量纲方式的数的普通方式为：数的普通方式为：356124aaaaaam c ky tp1211 , , , , mFL TcFL TkFLyLtTpF查表得物理量的量纲查表得物理量的量纲代入上式得代入上式得35612412111 aaaaaaFL TFL TFLLTF根据量纲调和要求，对量纲根据量纲调和要求，对量纲F、L、T有有123123412560200aaaaaaaaaaa假假设确定假假设确定a1,a4,a5,那么：那么：2153145

36、542aaaaaaaaa 故无量纲故无量纲数可写为：数可写为：15145514415422aaaaaaaaaaaamkkytkcpcm cky tp，可得三个独立可得三个独立数：数：1232,mkkytkcpc22123,1ctktptmmmy与方法 结果比较：451511445,0,00,00,0,111aaaaaaaaa分别取根据第一类似定理，故模型设计时需模型物理量与根据第一类似定理，故模型设计时需模型物理量与原型物理量满足下式，即：原型物理量满足下式，即：22,ppmmmpppmmmpp pm mmpm km kcck yk yppk tk tcc将各物理量的类似常数代入上式，即得类似

37、条件。将各物理量的类似常数代入上式，即得类似条件。1112ctkpymckmCCCCCCCCC例例5 5：对受集中载荷的简支梁导出类似准数：对受集中载荷的简支梁导出类似准数 ( , , ,)0PlfMW解：受横向荷载作用的梁的正截面应力解：受横向荷载作用的梁的正截面应力是梁的跨径是梁的跨径l l，截面抗弯模量，截面抗弯模量W W，梁上作用荷载，梁上作用荷载P P和弯矩和弯矩M M的函数，的函数，这些物理量的之间关系可写成普通方式：这些物理量的之间关系可写成普通方式：物理量个数物理量个数n=5, 根本量纲根本量纲k=2个，那么个，那么函数为：函数为：123(,)0 一切物理量组成无量纲方式的一切物理量组成无量纲方式的数的普通方式为：数的普通方式为：abc deP M l W23 , , FLMFLWLlLpF查表得各物理量的量纲查表得各物理量的量纲那么量纲矩阵那么量纲矩阵 对量纲对量纲L、F有有2300acdeabc确定确定a、b、d，那么，那么1133cabeabd a b c d e P M l WL -2 0 1 1 3F 1 1 1 0 0 故无量纲故无量纲数可写为：数可写为：11331313abdababbdadWPP Ml WWlMMW 可