1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)

1、一九九六年（文科） 一. 选择题：本题共 15 个小题;第（1） - （10）题每小题 4 分，第（11） -（15）题每小题 5 分，共 65 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知全集 I=1，2, 3, 4, 5, 6, 7集合 A=1, 3, 5, 7，B=3, 5.则 (B) I =A B (C) l=A_. B (D) l=A_. B ,则 x 的取值 范围是 1 . 3i ( B) -1 3i ( C) 1 - , 3i 6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法 (A) (B) 3 x|2k 二一 4 一 . 1 (C) (D) (

2、4) 1 _ :x ： 2k 一 ，k Z 4 5 、 x | 2k x ： 2k ,k Z 4 4 1 1 _ x | k x ： k二 二k Z 4 4 1 3 、 x | k - x ： k -，k Z 4 4 复数(_3i) (A) (5) (2)当a 1时, ( 2 x 在同一坐标系中，函数y = 与y = logaX的图象是 (A) 720 种 (B) 360 种 (C) 240 种 (D) 120 种 (6)已知，是第三象限角且时一2；，则2= ( D) (A) 4 ( B) 3 3 4 (7)如果直线丨、m与平面 （C） -1 4 :- - 满足：丨二 （D） 4 _ 3 ,丨

3、 / :, m 二：z 禾口 m_ , 那么必有 （A ） （A） ： _ 且 l_m (B) 丨且 m 一： (C) m / 一：且丨 _m （D） ? / :且： (8) 当- 3 _ x _ 时，函数 f (x) = sin x 3 cosx 的 (D ) (A) 最大值是 1,最小值是-1 (B) 最大值是 1，最小值是 2 (C) 最大值是 2，最小值是-2 (D) 最大值是 2,最小值是-1 (9) 中心在原点，准线方程为 x = _4，离心率为的椭圆方程是 2 2 2 2 (A) y 1 ( B) 1 1 ( A ) 4 3 3 4 2 2 (C) y2 =1 ( D) X2)

4、1 4 4 (10) 圆锥母线长为 1,侧面展开图圆心角为 2400,该圆锥的体积是 (C ) (A容兀 (B)鲁兀 (C 獰兀 (D)护 81 81 81 81 (11) 椭圆25x2 -150 x 9y2 18y 0的两个焦点坐标是 (B ) (12)将边长为a的正方形 ABCD&对角线 AC 折起，使得 BD=a，则（A）（-3，5），（-3，-5 ） （ , ， （， （B）（3, 3）， （3, -5） （D）（7, -1 ）,（-1 , -1 ） 2 2 (14) 设双曲线 务-与=1(0 ： a :：: b)的半焦距为 C,直线I过(a , 0), a b (0, b )

5、两点。已知原点到直线I的距离为c ,则双曲线的离心率 4 为 (A) (A)2 ( B)3 ( C2 ( D)年 (15) 设f (x)是(：)上的奇函数，f(x 2)=-f(x)，当0 x乞1时， f(x)二x，贝y f(7.5)等于 (B) (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5 二. 填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题 中横线上。 (16) 已知点(-2 , 3)与抛物线y2 =2px(p 0)的焦点的距离是 5, 贝 y p= _ 答: 4 (17) 正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角 形共有

6、_ (用数字作答) 答：323 (A) a6 3 (B) ：2 (C) ；a3 12 (D) ；a3 (13)等差数列an的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 (C ) (A) 130 (B) 170 (C) 210 (D) 260 三棱锥 D-ABC 的体积为 (D ) (18) tg20。+tg40。+ V3tg20 逹g40。的值是 _ 答：3 (19) _ 如图， 正方形 ABCD 所在平 面与正方形 ABEF 所在平面成 600 的二面角，则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值是 三. 解答题：本大题共 5 小题;共 50 分.解答应写出文字说

7、明、证明 过程或推演步骤。 (20) (本小题满分 11 分) 解不等式loga(x 1-a) 4 解：(I)当a 1时，原不等式等价于不等式组: x+2N 解得 x2a-1. x +1 a a. (H)当0心时，原不等式等价于不等式组: x 2 9 解得 a-1*2a-1. x 1 - a ： a. 综上，当a 1时，不等式的解集为x|x 21; 当0 . a : 1时，不等式的解集为x|a-1 ： x ： 2a-1. (21) (本小题满分 12 分) 设等比数列an的前 n 项和为Sn.若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q. 解：q=1，则有 S=3a1 , S=6a1 , Sa=9

8、a1.但 a1 = 0，即得 S+S6M 2S9，与 题设矛盾，故q =1. 又依题意 S3+S6=2S9可得 答: ,2 4 D C B CO -q3) . ai(1-q6) _ 2 ajl-q9) 1 -q 1 -q 1 - q 整理得 q(2q6q31) = 0. 由 q =0 得方程 2q6 -q3 _1 =0. (2q3 1)(q3 -1) =0, .q “,q3 一 1=0,. 2q3 1 =0, 14 2 (22) (本小题满分 12 分) 已知 ABC 的三个内角 A, B, C 满足： A+C=2B 丄= 一 1.求cosAC 的值 cos A cosC cosB 2 解：由

9、题设条件知： B=60，A+C=120 乙2 2, 1 1 2、2. cos60 cosA cosC 将上式化为 cosA cosC - -2.2 cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 A 亠 C A _ C 2 cos cos 2cos(A C) cos(A-C) 2 2 将 cosA C =cos60 = ,cos(A C)= -丄代入上式得 2 2 2 A C . 2 cos 2 cos(A - C) 2 2 将cos(A-C) =2COS2(A C) -1代入上式并整理得 2 一 2A_C A C 4,2 cos ( ) 2 cos 3 2=0 2 2 A C 、

10、/- A C (2 cos 2)(2_2cos 3)=0 2 2 A - C r 2 2 cos 3 0, 2 A - C 2 cos 2 =0. 2 从而得cos宁二子 (23) (本小题满分 12 分) 【注意：本题的要求是，参照标本的写法，在标本、 线上填写适当步骤，完成(I)证明的全过程;并解答( 如图，在正三棱柱 ABC-ABC 中，ABAA=a , E、 3 CG 上的点，且 BE=a , CF=2a (I)求证：面 AEFL 面 ACF; (H) 求三棱锥 A-AEF 的体积。 (I) 证明： T BE=a , CF=2a , BE/ CF,延长 线交于 D,连结 AD DB0A

11、 DCF DB BE DC - CF . T BE:CF=1:2,. DC=2DB DB二BC DB=AB. ABD 是等腰三角形， 且/ ABD=120./ BAD=30,、的横 ).】 F 分别是 BB、 Ai Ci B FE 与 CB 延 人均粮食占有量比现在提高 10%如果人口年增长率为 1%那么耕地 平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ /粮食总产量 人均粮食 总产量 = = 产量 耕地面积 占有量 总人口数 / CAD=90 DAL T 且 CAL AD,二 FA! AD. T FFA AC=A DAL 面 ACF 而 DA 面 ADF 面 ADFL面 ACF.面 AEF

12、 (H)解：T Vd-AEF=V：-AA1F. 在面 ABG 内作 BG 丄 AiCi, 垂足为 G. LG 呼a. 面 ABCi 丄面 AQ, E迂BB,而 BB/面 AC, 三棱锥E-AAF的高为齐 SxAIA= 1 AA AC=3 a2. 2 2 ,.3 3 - V1-AEF=VE-AA1F= a - 4 （24） （本小题满分 10 分） 某地现有耕地1 0000 公顷 规划 10 年后粮食单产比现在增加 22% 解：设耕地平均每年至多只能减少 x 公顷，又设该地区现有人口为 P 人，粮食单产为 M 吨/公顷。 依题意的不等式M（丫律%）04 一曽0 10%）. 14 化简得 x E

13、iLO 14 103 I/1 (1 OS 1.22 -143 1 (1 C；4 4.41 C2 4.41 -) 1.22 3 1 1 :14 1 1.1445 ： 4.1 1.22 .x 4(公顷) 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少 4 公顷 （25）（本小题满分 12 分） 已知11,12是过点 P G 2,4 ）的两条互相垂直的直线，且11,12与双 曲线y2x2=1各有两交点，分别为A、B1和A、B2。 （I）求11的斜率 k1的取值范围； （H）若A恰是双曲线的一个顶点，求|A2R|的值。 解：（I）依题意，11,12的斜率都存在。因为11过点 P G 2,4）且与 双曲线有两

14、个交点，故方程组 有两个不同的解。在方程组（1）中消去 y，整理得 （k12 -1）x2 2 2k12x 2k12 -1 =0 （2） 若k12 -4 ,则方程组（1）只有一个解，即h与双曲线只有一个交点, 与题设矛盾 故汀-1 = 0 ,即| k1产1。方程（2）的判别式为 =1 -4), (1) M =(2.2k12)2 -4(k12 -1)(2k12 一1) =4(3k一1). 设12的斜率为 k2,因为12过点 P (2,0 )且与双曲线有两个交点，故 方程组 y = k2(x + 72)(k2 式 0), ( 3) y2 -X2 =1 有两个不同的解。在方程组(3)中消去 y，整理得

15、 (k22 -1)x2 2、一 2k22x 2k22 -1 =0 (4) 同理有 k22 _1 =0, ：2 =4(3k22 -1). 又因为12，所以有k1 k-1. 于是，12与双曲线各有两个交点，等价于 *2-10, * 3k2 -1 0解得胃V k1 X賦 k1 k_1, |k1 |式1. k(- .3,-1) 一(-1,-)-(寻,1) - (1, .3) 3 3 (n)双曲线 y2-x2=1 的顶点为(0, 1)、(0, -1 )。 取 A (0, 1)时，有 k1(0 ,2) =1, 解得匕=一2,从而k2 1 = - 2 , 2 k1 将k2 =72代入方程(4)得 x2 4，

16、2x 3 = 0. (5) 记12与双曲线的两交点为 A (x1,y 1) B2 (X2,y2).则 2 2 2 2 2 I A2B2 | =(X1 -X2)(如 *2) =3(x1-X2)=3(为-X2)-4畑2 由( 5)知 % x2 - -4 2,X2 =3, 同理，由方程（4）可求得|A2B|2,整理得 2 2 .| A2B2 | =3（-4、.2） -43 = 60, 即 | A2B2 2.15. 当取A （0, -1 ）时，由双曲线y2x2=1关于 x 轴的对称性，知 | A2B2 | = 2、15 所以li过双曲线的一个顶点时，| A2B2 |=2.15。 一九九六年（文科） 一

17、. 选择题：本题共 15 个小题;第（1） - （10）题每小题 4 分，第（11） -（15）题每小题 5 分，共 65 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 （1）已知全集 I=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7集合 A=1, 3, 5, 7 , B=3, 5.则 （C ） (B) I 二 A 一 B (C) I 二 A _ . B ( D) I 二 A _ . B (A) I 二 A B 在同一坐标系中，函数y二a*与y = logaX的图象是 范围是 3 (A) x|2k二 4 1 _ :x ： 2k ,k Z 4 ,则 x 的取值 3)若 (2)当a 1时

18、, ( 2 2 x cos x 那么必有 (A)：且 l m ( B) ： _ 且 mil (C) m/ :且 I _m ( D) ： / :且: (8) 当-？ 一 x 一 时，函数 f (x) = sin x . 3 cosx 的 (D ) (A) 最大值是 1，最小值是-1 (B) 最大值是 1，最小值是-1 2 (C) 最大值是 2，最小值是-2 (D) 最大值是 2，最小值是-1 (9) 中心在原点，准线方程为x = _4，离心率为-的椭圆方程是 2 2 2 2 2 (A) =1 ( B)乞丄=1 ( A ) (B) (C) (D) (4) 1 5 、 x | 2k x ： 2k 亠

19、, k = Z 4 4 1 1 _ x | k x k , k 三 Z 4 4 1 3 、 x | k x : k , k Z 4 4 复数(2 2i)4等于 (A) 1 . 3i ( B) -1 3i ( C) 1 - . 3i ( D) -1 - 3i (5) 6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法 (A) 720 种(B) 360 种 (C) 240 种(D) 120 种 (6) 已知，是第三象限角且 (A) (7) 4 ( B) 3 3 4 如果直线I、m与平面:、 24 e a sin ，则 tg = 25 2 (C) - 4 、满足： 4 3 I = ： * ,丨

20、 / ：, m 二：z 禾 (D) 4 3 3 4 2 2 （C） y2 =1 （D） x2 M 1 4 4 （10） 圆锥母线长为 1,侧面展开图圆心角为 2400,该圆锥的体积是 （C） （A 2 2 二 （B）-r （C） 45 二 （D） 1 二 81 81 81 81 （11） 椭圆25x2 -150 x 9y2 18y 0的两个焦点坐标是 （B ） （A）（-3，5），（-3，-5） （ B）（ 3, 3），（ 3, -5 ） （C）（ 1, 1）,（ -7，1） （ D）（ 7, -1 ）,（-1，-1 ） （12） 将边长为a的正方形 ABCD&对角线 AC 折起，使得

21、 BD=a，则 三棱锥 D-ABC 的体积为 （D ） （A） （B） （C）三 a3 （D），a3 6 12 12 12 （13） 等差数列 g的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 (A) 130 ( B) 170 (C) 210 (D) 260 2 2 (14)设双曲线x2 - y2 =1(0 ： a : b)的半焦距为 C,直线l过(a , 0), a b (0, b )两点。已知原点到直线I的距离为 3c , 4 为 (A) 2 (B) . 3 (C)2 (D) （15）设f（x）是上的奇函数，f（x 2） =f（x），当0辽x乞1时, 则双曲线的离

22、心率 （A ） 2、3 3 f（x）二x，贝 f（7.5）等于 （B ） 二. 填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题 中横线上。 (16)已知点(-2， 3)与抛物线y2 =2px(p 0)的焦点的距离是 5， 贝 y p= _ 答: 4 (17)正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角 形共有 _ (用数字作答) 答：32 (18) tg20。+tg40。+ V3ig 20 屯40。的值是 _ 答：飞 (19) 如图，正方形 ABCD 所在平 面与正方形 ABEF 所在平面成 600 的二面角，则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值

23、是 _ 三. 解答题：本大题共 5 小题;共 50 分.解答应写出文字说明、证明 过程或推演步骤。 (20) (本小题满分 11 分) (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5 D C B 答: 解不等式loga(x a) 1. 解：(I)当a 1时，原不等式等价于不等式组: x +1 a ； 解得 x2a1. x +1 a a. (H)当： a :：: 1时，原不等式等价于不等式组: 综上，当a 1时，不等式的解集为x|x .2a1; 当0：1时，不等式的解集为x|a1：x ：2a1. (21) (本小题满分 12 分) 设等比数列a.的前 n 项和为Sn.若 S3

24、+S=2S，求数列的公比 q. 解：q=1,则有 S3=3a1 , Ss=6a1 , Ss=9a1.但 a0 ,即得 S+S6M 2S9,与 题设矛盾，故 q . 又依题意 S3+S6=2S9可得 Q(1 -q3) . 4(1 - q6) _ 2 內(1 一 q9) 1 _q 1 _q 1 - q 整理得 q3(2q6 -q3 -1)=0. 由 q =0 得方程 2q6 -q3 _1 = 0. (2q3 1)(q3 -1) =0, q =1,q3 _1 =0, 2q3 1 =0, (22) (本小题满分 12 分) 已知 ABC 的三个内角 A, B, C 满足： A+C=2B 丄= _注.求

25、cosAC 的值 cos A cosC cosB 2 解：由题设条件知: B=60, A+C=120X +1 -a a 0, x +1 a c a. 解得 a 1 ： x : 2a h,丄丄2.2. cos60 cosA cosC 将上式化为 cosA cosC - -2.2 cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 A 亠 C A _ C 2 cos cos 2cos(A C) cos(A-C) 2 2 将 cosA C = cos60 = ,cos(A C) = -1 代入上式得 2 2 2 将cos（AC）去歸甘）代入上式并整理得 4、2cos2(A C) 2 込 4-3

26、、2=0 2 2 (2cosC - 2)(2、2cosC 3)-0 A C , 2 2 cos 3 = 0, 2 A -C 厂 2cos 2=0. 2 （23）（本小题满分 12 分） 【注意：本题的要求是，参照标本的写法，在标本、的横 线上填写适当步骤，完成（I）证明的全过程;并解答（II）.】 如图在正三棱柱 ABC-ABC 中，嗨人心,E、F 分别是 BB、 CG 上的点，且 BE=a , CF=2acos A -C 2 D (I)求证：面 AEF1面 ACF; (H) 求三棱锥 Ai-AEF 的体积。 (I) 证明： T BE=a , CF=2a , BE/ CF,延长 线交于 D,连

27、结 AD DB0A DCF .DB BE 二 - . DC CF T BE:CF=1:2, DC=2DB DB二BC DB=AB. 丁厶 ABD 是等腰三角形， 且/ ABD=120/ BAD=30, CAD=90 DAL AC. T FC 丄面 ACD . CA 是 FA 在面 ACD 上的射影， 且 CAL AD, FA! AD. / FFA AC=A DAL 面 ACF 而 DA 面 ADF 面 ADFL面 ACF.面 AEFL面 ACF. (H)解：T Vki-AEF=VE-AA1F. 在面 ABCi 内作 BG丄AiCi , i - 垂足为 G. B iG-3 a . 2 面 ABC

28、i 丄面 AiC, EBB ,而 BB/面 Ai Ci B FE 与 CB 延B C D AC, SA AIA= 1 AA AC=3 a2. 2 2 Vvi-AEF=VE-AA1F= 3 a3 （24）（本小题满分 10 分） 某地现有耕地1 0000 公顷。规划 10 年后粮食单产比现在增加 22% 人均粮食占有量比现在提高 10%如果人口年增长率为 1%那么耕地 平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ 解：设耕地平均每年至多只能减少 x 公顷，又设该地区现有人口为 P 人，粮食单产为 M 吨/公顷。 依题意的不等式 M （1 22%）（10：-10 x）_MJ（1.10%）. px

29、（1+1%） P 10 化简得x “3【11 (1 .01) 1.22 10 1。3 11 (1 0.01) 1.22 3 1.1 1 2 2 =10 1 (1 - C10 0.01 C10 0.01 -) 1.22 3 1 1 :103 1 1.1045 4.1 1.22 x4(公顷) 答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少 4 公顷 （25）（本小题满分 12 分） 三E-AAF 的高为卑 a. 粮食 产量 总产量 耕地面积 人均粮食=总产量 占有量-总人口数 已知11,12是过点 P G 2,0 ）的两条互相垂直的直线，且11,12与双 曲线y?x?=1各有两交点，分别为 A、Bi和A、B2。 (I)求li的斜率 ki的取