2020年中考数学考点第22讲与圆有关的位置关系

1、中考第22讲与圆有关的位置关系聚焦考点1 点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：(1)点P在圆上？ d = r;(2)点P在圆内？ d<r;点P在圆外？ d>r.2.直线和圆的位置关系 (1)设r是。的半径，d是圆心O到直线l的距离.直线和圆的位直大系图形公共占个八、1数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称相交2d< r交占 八、割线1相切CJ1。41d= r切点切线相离20d>r无无(2)切线的性质：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。推论2:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

2、(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(4)切线长：经过圆外一点作圆的一条切线；这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.三角形的外接圆和内切圆名师点睛名称图形内、夕卜心性质三角形的外接圆18二辿垂直平分线的交点称为三角形的外心三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内切圆HD三条角平分线的交点称为三角形的内心hC三角形的内心到三角形三条边的距离相等考点1:圆的切线的判定与性质【例题1】如图，AB是。0的直径,为AP的中点，延长CO交。0于点且长为1

3、0,点P是AB下方的半圆上不与点 A, B重合的一个动点，点D,连接AD,过点D作。0的切线交PB的延长线于点E,连CE.若/ADC= 30° ,求BD的长；(2)求证： DA室 AECP，一，一，一1, ，一在点P运动过程中，若 tan/DCE= 5,求AD的长.【点拨】(1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得/ DOB= 60。，利用弧长公式求前的长；(2)先证得四边形 DCP比矩形，从而证明 DA8AECP (3)可以利用tan / DCE在RtDAC中获得三边的 数量关系, 在 RtAOC中建立方程求解.【解答】解：(1) ,. ZADC= 30° , O

4、A= OR . . / OAD= 30°DOB= 60° 1 BD-60 X 兀 X51805兀(2)证明：连接OP.,. AO= OR 点 C是 AP的中点，DCP= 90.DE是。0 的切线，/ CDE= 90° .AB是。0 的直径，/ APB= 90° . .四边形 DCPE矩形.，DC= EP.又AO CR /AC氏 /CPE= 90° , .DA8 ECP(SAS)(3)由(2)知，四边形 DCPE矩形， DA室AECP ，/ADC= /CEP= Z DCE. . tan ZDCE= 1, . .tan ZADC= 1. 2，2 ,

5、设 AC= x,则 DC= 2x, AD-5x.在 RtAOC中，OC= 2x-5, AO=AC2+OC,.5 2=x2+(2x 5)2,解得 Xi=0(舍去)，x2=4. .AD- 4 5.归纳：1.切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直”若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂线，证半径”.这两种情况可概括为一句话：“有交点，连半径，无交点，作垂线” .2 .求线段长度时通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾股定理求解，有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求解.

6、考点2:圆的切线综合应用【例题2】(甘肃兰州，27, 10分)如图，三角形 ABC是。的内接三角形，AB是。的直径，ODL AB于点0,分另1J交 AG CF于点E、D,且DE=DC(1)求证：CF是。的切线;(2)若。的半径为5, BC=/0,求DE的长.【提示】(1)第一步：连接 OG易知/ A=/OCA由ODLAB证得/ A+ / AEO=90 ;第二步：根据“等边对等角”有/DECWDCE代换得/ OCE它DCE=90 ,从而证得结论；1(2)第一步：作DHL EG根据 等角的余角相等 可得/ EDHh A, EDC中根据三线合一得 EH=HC=1 EC,2于是AB=10,由勾股定理可

7、得 AC=3j10；第三步：由 AES ABC#公0 生，代入数据求得AE,进AC AB一步求出EG EH;第四步：由等角的正弦相等得sin / A= sin / EDH从而史 里，进而求得DE的AC DE长.【解答】解：(1)证明：连接 OC 则/ A=Z OCA 1-, OD±AB,AOE=90 ,/ A+ / AEO=90 ,DE =DQ./DECWDCE / AEOW DEC / AEO= / DCE，/ OCE+DCE=90 , . CF 是。O 的切线.。的半径为 5,BC= J10 . . AB=10,AC=300 ,1 一(2)作 DHL EC,贝U/ EDHW A,

8、 . DE=DQ. EH =HCEC, 2AO AE. AES ABC；,. ae二挈 亚，EC=AC-AE3JG 尬二近, 3 10333EHDEEH=1 EC=20 , / EDHW A,sin / A= sin / EDH 即匹23ACABELiD DE=归纳：当。C与AB相切时，只有一个交点，同时要注意AB是线段，当圆的半径 R在一定范围内时，斜边AB与。C相交且只有一个公共点.考点3:圆与其它知识的综合应用【例题3】【例1】 如图，点C是以AB为直径的圆。上一点，直线 AC与过B点的切线相交于 D,点E是BD的中点，直线 CE交直线 AB于点F.(1)求证：CF是。0的切线；_4(2

9、)若 ED= 3, cosZF=-,求。0 的半径.5CB OC根据圆周角定理得【分析】(1)要判断CF是切线，根据切线的判定“有切点，连半径”，连接ZACB= 90° ,即/ BCD= 90° ,则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE= BE,所以/ BCE= / CBE根据角之间的等量代换证得/ OCE= 90° ,进而证得 CF是切线；(2)由题意得CE= BE= DE= 3,在RtBFE中，一一BF.利用cos/F= EF和tan/F可计算出BF,再利用勾股定理可得 EF,由CF= CE+ EF得CF,最后在 Rt OCF中，利用正切函数可计算出OC.【解

10、析】(1)证明：如图，连接 CB OC.BD为。0 的切线，DB±AB,，/ABD= 90° , . AB 是直径， ./ ACB= 90° , ./ BCD= 90° , . E为BD的中点，CE= BE,/ BCE= / CBE 而/ OCB= / OBC /OBCF /CBE= Z OCB- Z BCE= 90° , OCXCF,，CF是。0 的切线;(2)解：C& BE= D& 3,在 RtBFE中，cos/F=4, tan / F= BE= 3, 5BF 4 .BF= 4,EF=加。BF2 =5, .CF= CE+ E

11、F= 8,在 RtOCF中，tan Z F = °C= 3,CF 4 .OC= 6.即。0的半径为6能力提升一、选择题：1 .矩形ABCD, AB= 8, BC= 3。5,点P在边AB上，且BP= 3AP,如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的 圆，那么下列判断正确的是 （）A.点B, C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B, C均在圆P内【答案】C【解析】：画出矩形后求解出DP的长度即圆的半径，然后求出BP, CP的长度与DP的长度作比较就可以发现答案.在 RtADP 中，DP= AD + AP =7,在 RtBCP 中，BP= 6, PC=

12、 BC2+ BP2 =9. PO DP, BPV DP, 点B在圆P内，点C在圆P外.答案：C2 .在 4ABC 中，Z C= 90° , AC= 3 cm, BC= 4 cm,若。A, OB 的半径分别为 1 cm,4 cm ,则。A,0B 的 位置关系是（）A.外切B .内切C .相交D .外离【答案】A【解析】：如图所示，由勾股定理可得AB=寸AC2 + BC2 =32+ 42 = 5（cm）,0A, OB的半径分别为1 cm,4 cm ,圆心距d=R+ r, .-.OA,OB的位置关系是外切.答案：A3 . （2018 重庆市 B卷）（4.00分）如图， ABC中，/ A=3

13、0° ,点 O是边AB上一点，以点 O为圆心，以OB为半径作圆，O O恰好与AC相切于点D,连接BD.若BD平分/ ABG AD=",则线段CD的长是（A. 2 B .心 C【答案】B【解答】解：连接 OD.OD是。的半径，AC是。O的切线，点 D是切点, ODL AC在 R1AAOD43, .一/A=30° , AD=2/3,OD=OB=2 AO=4 ./ ODBh OBD 又BD平分/ ABC ./ OBDh CBD ./ ODBh CBDOD/ CB,AD _AQCD=/3.故选：B.4.（2019?黑龙江口尔滨?3分）如图,PA.PB分别与。O相切于A.B

14、两点，点C为。上一点，连接 AC.BC,若/ P= 50° ,则/ ACB的度数为()C. 70°A. 60°B. 75°D. 65°【解答】解：连接 OA.OB,.PA.PB分别与。O相切于A.B两点，OA! PA, OBL PB, ./ OAP= / OBP= 90° ,，/AOB= 180° -Z P= 180° -50° =130° , ./ACB=/ AOB=-1-X 130° =65。.故选：D.5. （2019湖北仙桃）（3分）如图，AB为。0的直径，BC为。0的切线，弦

15、 AD/ OC直线CD交BA的延长线于点E,连接BD.下列结论：CD是。0的切线；COL DR EDM EBDED?BC= BO?BE其中正确结论的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】A【解答】解：连结 DQ.AB为。0的直径，BC为。0的切线，/CBQ= 90° , . AD/ QC/ DAQ= / CQB / ADQ= / CQD又,.QA= QD/ DAQ= / ADQ .ZCQD= /CQBico-DO在 CQD 和 CQB 中，OD-O8 .CQ牵ACQB( SAS,，/CDQ= /CBQ= 90° .又点D在。0上， .CD是。0的切线；故

16、正确， .CQ牵 ACQB .CD= CB,.QD= QR CQ垂直平分DB,即CQL DB，故正确；.AB为。0的直径，DC为。0的切线， /EDG /AD乐 90° , /EDA廿AD©= /BDO+ADG90° , ./ADE= / BDO,.OD= OR .ZODB= Z OBD ./ EDA= / DBE,一/ E= / E, .EDAAEBtD 故正确； . /EDO= /EBG= 90° ,/ E= / E, .EOm AECB.ED _ OD灰一病,.OD= OBED?B& BO?BE 故正确；故选：A.6.（2019酊苏苏州？3

17、分）如图,若 ABO 36°,贝U ADC的度数为、填空题:AB为。的切线，切点为 A,连接AO、BO, BO与。O交于点C,延长BO与OO交于点D ,连接AD ,【答案】27°(3, 4),点P是。M上的任意一点，O对称，则AB的最小值为.【解答】切线性质得到BAO 90oAOB 90o 36o 54oQOD OAOAD ODAQ AOB OAD ODAADC ADO 27o7. (2018 山东泰安 3分)如图，OM 的半径为2,圆心M的坐标为 PAL PB,且PA、PB与x轴分别交于 A B两点，若点 A、点B关于原点【答案】6【解答】解：: PAL PB,./APB

18、=90 ,.AO=BO.AB=2PO若要使AB取得最小值，则 PW1取得最小值，连接OM交。M于点P',当点P位于P'位置时，OP取得最小值,过点M作MQLx轴于点Q,则 OQ=3 MQ=4.OM=5X / MP =2, .OP =3,.AB=2OP =6,D, OE是ACD勺内切圆，连接 AE,8.（2018 山东威海 3分）如图，在扇形 CAB中，CDLAB,垂足为BE,则/ AEB的度数为 .【答案】135°【解答】解：如图，连接 EC. E>A ADC勺内心,/ AEC=90ZADC=135 ,在 AEC和 AEB中,AE=AEZEAOZEASAC=A&

19、amp; . EAC EAB / AEB玄 AEC=135 ,故答案为135° .9.（2018年江苏省泰州市？3分）如图， ABC中，Z ACB=90 ,sinA= , AC=12,将 ABC绕点 C 顺时 .L Q针旋转90°得到 A'B'C , P为线段A' B'上的动点，以点 P为圆心，PA'长为半径作。 巳 当O PAABC的边相切时，O P的半径为1S61O2或【解答】解：如图1中，当。P与直线AC相切于点Q时，连接PQ设 PQ=PA =r,. PQ/ CA , r=156如图2中，当。P与AB相切于点T时，易证A'

20、;、B'、T共线,综上所述，O P的半径为崂或一.三、解答题：10.在RtABC中，/ C= 90° , AC= 3, BC= 4,若以C为圆心，R为半径的圆与斜边 AB只有一个公共点,求R的值.CB_2ii解：当。0 与 AB 相切时，AB= 3+4 = 5, .$ ab> 2AB CD= -AC- BG一如图，当OC与斜边AB相交时，点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时八12案为：3< FK4或F 5AC- BC 3X4 12CD= AB - 5 - 5，AC< R< BC,即 3V R< 4.故答11.如图，AB是。0的直径，/ BAC=

21、 60° , 过点C的切线CD交PQ于点D,连接OC.(1)求证：4CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQPACOB 求 BP： PO的值.(【解析】：(1)证明：.AB是。0的直径，/ACB= 90° . PQLAB,，/APQ= 90° .又. /BAa 60° , OA= OC.OAC是等边三角形，/ ABC= /Q= 30° .P是OB上一点，过点 P作AB的垂线与AC的延长线交于点 Q./ACG= 60° .，/DCQ= 180° -90° -60° =30° ./DC年 Z Q.CDQ

22、是等腰三角形.(2)设。0 的半径为 x,则 AB= 2x, AG= x, BG=黄x.1 . CDQPACOB，CQ= BG= 3x.AQ= AC+ CQ= (1 +3)x.，A1AQ=1+'x.BP AB-AP 3-2v3x, PO= AP AO= ；3 1 x.2 .BP： PO= 3.OE为半径12. (2018 扬州)如图，在 ABC中，AB= AC, AQL BC于点 O, OaAB于点E,以点 O为圆心,作半圆，交AO于点F.(1)求证：AC是。0的切线；(2)若点F是OA的中点，OE= 3,求图中阴影部分的面积； 在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+ PF取

23、最小值时，直接写出 BP的长.【解析】：(1)证明：作O也AC于点H. . AB= AC, AOL BG AO平分/ BAC.又. OEL AR OHL AG .OH= OE，即OH为。0的半径. .AC是。的切线.(2)二点F是OA的中点, .OA= 2OF= 2OE= 6.X.OE= 3, ./OAE= 30° , /AOE= 60°S 阴影=SAOE S 扇形 EOF1二2乂 3X3260x 兀 X3 23609 33 兀=2作F点关于BC的对称点F',连接 EF'交BC于点P,此时PE+ PF最小.OF = O已 OE，/F' = / OEF

24、. Z AOE= / F' + / OEF =60° ,.F' =30° . . ./ F' =/ EAF .EF' = E、3，3,即 PE+ PF最小值为 33.在 RtAOPF 中，OP= tan30 ° - OF = J3 ,在 RtABO中，OB= tan30 ° - OA= 2V3,BP= 23-3=3.13.(2018 聊城)如图，在 RtABC中，/ C= 90° , BE平分/ ABC交AC于点E,彳EDL EB交AB于点D,00是ABED的外接圆.(1)求证：AC是。0的切线；(2)已知。0的

25、半径为2.5 , BE= 4,求BC, AD的长.【点拨】(1)证AC是。0的切线，可转化为证 OEL AQ (2)求BC, AD的长可通过证明 BD曰 BEC和 AO® AABC.【解答】解：（1）证明：连接OE.1 . OB= OE .OBE= Z OEB. BE 平分/ABCOBE= Z CBE.2 .ZOEB= Z CBE.1.OE/ BC.又.U 90° ,AEO= 90° ,即 OELAC.又OE是。0的半径，AC为。0的切线.(2) 1. EDL BE ，/BED= /上 90°BD BE 5416又一/DB2/EBC .BD曰ABEC.

26、-Be=玩，即十 BCbc= T . /AEO= /C= 90° , /A= /A, .AOHAABC.AO OEAD+ 2.5 2.5 .45 AB= Bd 艮p ad+ 5 =16-.' AD= T 514. (2019?四川省凉山州？ 8分)如图，点 D是以AB为直径的。O上一点，过点 B作。的切线，交 AD的 延长线于点C, E是BC的中点，连接 DE并延长与AB的延长线交于点F.(1)求证：DF是。的切线；(2)若 OB= BF, EF= 4,求 AD的长.【分析】(1)连接OD由AB为。O的直径得/ BDC= 90° ,根据 BE= EC知/ 1 = /

27、 3、由OD= OB知/ 2=/ 4,根据BC是。的切线得/ 3+74=90° ,即/ 1 + 72 = 90° ,得证；(2)根据直角三角形的性质得到/F=30° , BE= 4-EF= 2,求得DE= BE= 2,得到DF= 6,根据三角形的内角和得到OD= OA求彳导/ A= Z ADO=-L/BOD= 30° ,根据等腰三角形的性质即可得到结论.【解答】解：(1)如图，连接 OD BD,AB为。的直径, ./ ADB= / BDC= 90° ,在 RtBDC中， BE= EC,DE= EC= BE,Z 1 = Z 3, BC是。的切线，. / 3+Z4= 90° ,. / 1 + /4= 90° ,又.一/ 2=/ 4,1 + /2= 90° ,DF为。的切线;(2) OB= BF,OF= 2OD ./ F= 30° , / FB已 90° ,BE= _LEF= 2,2d DE= BE= 2,DF= 6, . / F= 30° , / ODF= 90° , ./ FOD= 60°