不等式与不等式组讲义

1、不等式与不等式组基本性质不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫勺解法等式的解集.不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点，是实心 圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元 次方程的解则是一个具体的数值.3不等式的基本性质（重点）（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.如果a b,c 0,那么ac_bc（或a）c c（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变如果a b,c：0那么ac_bc（或

2、ab、_ ）cc说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有:一.知识梳理1.知识结构图不等式的定义（二）.知识点回顾概念不等式的解集1不等式不用不等 号连接起来的式子叫做不等式.常见的不等号有五种:“W”2不等式的解与解集不等式的解法白勺解实际应用不等式的解：使不等式成立的未知数的值, 叫做不元一次不等式组（1）不等式的两边都加上a cb c（或减去）同一个数或同一个整式不等号的方向不变如果a b，那么若 a b 0，贝Ua 大于 b ;若 a bv0,贝Ua 小于 b ;若 a b 0,贝Ua 不小于 b ;若 a baaW0,则 a 不大于 b ;若 ab 0 或0，则 a、b 同号；若

3、abv0 或0，则 a、b 异号。bb任意两个实数 a、b 的大小关系：a-b0：= ab :a-b=O：= a=b:a-b0：= aa,cd可转换为dwc。4.一元一次不等式（重点）只含有一个未知数，且未知数的次数是1.系数不等于 0 的不等式叫做一元一次不等式.注：其标准形式： ax+bv0 或 ax+bw0, ax+b 0 或 ax+b 0（a 0）.5.解一元一次不等式的一般步骤（重难点）（1） 去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化系数为 1 .说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似不同的是：一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改

4、变，这是解不等式时最容易出错的地方.例：解不等式：口 一匸叮236.元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；不等式组中不等式的个数至少是2 个，也就是说，可以是 2 个、3个、4 个或更多.7元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集.一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定.8.不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设ab）（重难点）不等式组图示解集xa（同大取大）x

5、vb（同小取小）b v x c a（大小交叉取中间）无解（大小分离解为 空）9 解一元一次不等式组的步骤（1） 分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2） 利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集（三）常见题型归纳和经典例题讲解1.常见题型分类定义类1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（）12A. +12B.X29C.2x+yw5X2.若（m-2）x2m 1-1 5是关于X的一元一次不等式，则该不等式的解集为.用不等式表示a与 6 的和小于 5;X与 2 的差小于一 1;数轴题1.a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“v”或“”号填空：ab;|a|b|;a+b0b0aab0

6、;a+bab;aba.2.已知实数 a、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）_|11i ib -10a 1A、ab0 B 、a A bC 、a b 0 D 、a + b0D.1(X- 3)02同等变换1.与 2x 033-4(x-1)：12x 1 5x +12. （ 2010 福建宁德）解不等式一竺1,3.(2006 年绵阳市)1-x.2 3此类试题易错知识辨析（1 ）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况女口不等式ax b（或ax：b） （a 0）的形式的解集：当a - 0时，x -（或x-）aa当a : 0时，x：-（或x-）aa当a : 0时，x-（或x）aa4

7、 若不等式（a + 1）x a+ 1 的解集是 xv1,贝 U a 必满足（）（A）av0（B）a1（C）av1（D）av15 若 m 5，试用 m 表示出不等式（5 m）x 1 m 的解集_.6. 如果不等式（m- 2）x2 m的解集是x2B.n2C.m=2D.m 27. 如果不等式（a 3）xvb的解集是xv匚，那么a的取值范围是 _.A.2x+17B.4x 12D. 2x 61.（ 201限制条件的解1.不等式3(x 2)wx+4 的非负整数解有几个.()A.4B.5C.6D.无数个2.不等式1114xx的最大的整数解为(44)A.1B.0C.1D.不存在含绝对值不等式1._ 不等式 I

8、x| -的整数解是 _.不等式 Ix| 2C. 当a0 时，xv2 D. 当a0 时，xv2;当av0 时，x 2不等式的性质及应用1.若 x + y x y, y x y,那么(1) x+ y 0, (2) y xv0, (3) xy b，得 *一2vb2(B) 由ab，得 2av- 2b(C) 由ab，得ab22(D) 由ab，得ab依据题意列不等式1. 当 x_ 时，代数式 2x 5 的值不大于 0.2. 当 x_ 时，代数式_归！的值是非负数.2 63. 当代数式 3x的值大于 10 时，x的取值范围是 _ .2114. 已知 x 的丄与 3 的差小于 x 的一丄与一 6 的和，根据这

9、个条件列出不等式你能估计出它的解集吗?22已知解集求范围1. 关于x的方程 5 a（1 x） = 8x （3 a）x 的解是负数，贝Ua的取值范围是（）A、av 4B 、a5C、a 5D、av 52. 已知一 4 是不等式ax 9 的解集中的一个值，试求a的取值范围.x3. 已知不等式 -1 x与ax 6 5x同解，试求a的值.24. 如果关于 x 的不等式一 k x + 6 0 的正整数解为 1, 2, 3，正整数 k 应取怎样的值？5. 不等式 a（x 1）x+1 2a 的解集是 xy,求 p 的取值范围.4x +3y = p_17. 若关于x的方程 3x+2m=2 的解是正数，则m的取值

10、范围是（）A.m1B.m 1D.mc 1字母不等式|21 已知关于x的不等式 2v（1 - a）x的解集为x v，则a的取值范围是（）.1 aA. a 0 B.a 1 C.a v0 D.a v1x m y,求 p 的取值.125 若不等式组丿 k(A)kv2(B)k2(C)kv1(D)12,则 m 的取值范围是( ().x m1(A) m 2(C)m 17 知(x- 2)2+l2x 3y a |= 0, y 是正数，则 a 的取值范围是 _ .x + v = 2k8 k 满足_ 时，方程组丿中的 x 大于 1, y 小于 1.M_y =49 若 m、n 为有理数，解关于 x 的不等式( (m2

11、 1)x n.2x + y=1+3m,”卄口亠”卄,+卄口10 已知方程组丿的解满足 x+ yv0,求 m 的取值范围.M+2y=1_m强化练习题1.当2(k _3)：10 k时，求关于 x 的不等式也5) x-k的解集.343x 5y = k,2当 k 取何值时，方程组丿的解 x, y 都是负数.Zx + y = -5x + 2y = 4k3.已知中的 x, y 满足 0vy xv1,求 k 的取值范围.、2x + y = 2k +1-3x4Xa,宀口亠+4.已知 a 是自然数，关于 x 的不等式组丿 的解集是 x2,求 a 的值.、x2 05.关于x的不等式组丿X-a0，的整数解共有5个，求a的取值范围.3-2-16 k 取哪些整数时，关于 x 的方程 5x+ 4 = 16k x 的根大于 2 且小于 10?x + v = 2m + 77.已知关于 x, v 的方程组丿的解为正数，求 m 的取值范围.x y = 4m -3如果不等式组la2的解集是0 3.一10.（2009 年湖北恩施）如果一元一次不等式组的解集为x 3.则a的取值范围是x a ax a0,一11.（