数学物理方程学习指导书第1章预备知识

1、第1章 预备知识在高等数学课程的学习中，常微分方程的定解问题的求解方法是我们熟悉的.该类问题主要有两个特点：（1）问题的所求量是一个未知函数；（2）所求的函数仅有一个自变量.而问题中所给的定解条件也只是给出了唯一确定未知函数所需要的条件.这类问题的物理背景是非常明确的：方程描述了一类物理现象满足的普遍规律，定解条件则是某一具体现象应该满足的限制条件.例如：方程描述了自由落体运动中质点的位移随时间变化的一般规律，而定解条件则给出了运动的初始状态.在常微分方程中，所需确定的未知函数仅依赖于一个自变量，这就意味着所描述的物理现象只与一个因素有关.显而易见，这类定解问题仅仅描述了较为特殊的物理现象，而

2、大量常见的物理现象则是这类模型力所不及的.例如温度，不仅与时间有关，还应该与地点有关，简单的至少应表为.要客观地描述现实中的温度场，就必须考虑这类多元函数所满足的微分方程及相应的定解条件.偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程就应运而生.数学物理方程是研究几类偏微分方程定解问题求解方法的课程，这些定解问题有着明确的物理背景，大致可分为三类：热传导方程；波动方程；泊松方程.前两类称为发展方程，讨论的是与时间有关的物理量的分布规律；最后一类称为稳态方程，其讨论的物理量的分布与时间无关.类比于高等数学中多元函数偏导数的求解借助于一元函数的求导法则，多元函数的积分也化为定积分求解.偏微分方程能否转

3、化为常微分方程求解？这涉及到两个基本问题：（1）如何转化？（2）转化以后的问题的解与原问题的解之间的关系如何？对于问题（1），可用分离变量法各积分变换法解决，而问题（2）的解决则基于线性叠加原理.因此常微分方程的定解问题的求解的有关结论和公式，在数学物理方程的求解中起着基本的作用.11 常微分方程定解问题111 一阶常微分方程对于一阶常微分方程定解问题： （1.1）在方程两边同时乘上，则方程化为：方程两边同在上求积分，并利用（1 .1）中的定解条件（边界条件）可得： （1.2）如果，则(1.2)对于不同的，可看成是(1.1)的导出方程的通解.如果是，则(1.2)表示的是(1.1)的一个特解.因

4、此，一阶非线性方程解的结构为：非齐次线性方程的通解等于导出方程的通解与一个非齐次特解之和.这个结论对于高阶线性方程同样成立.若是常数，则(1.2)可化为： （1.3）这种形式解在热传导方程的求解过程中将会用到.112 二阶常微分方程对于二阶常微分方程定解问题： （1.4）我们先讨论为常数的情形.求解这个问题主要有两个步骤：一、（1 .4）中微分方程的通解可表示为： (1.5)其中是导出方程 （1.6）的两个线性无关的特解，是非齐次方程 （1.7）的一个特解.二、根据(1.4)中的定解条件确定(1.5) 中的两个任意常数，进而得到(1.4)的解. 方程(1.6)的通解根据特征方程法可得到如下三种

5、情形：记特征方程的两个根为，则（1） 当是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为：（2） 当是两个相等的实根时，齐次方程的通解为：（3） 当是一对共轭复根时，齐次方程的通解为： 然后，利用常数变易法确定设代入（1.7）得从中解出再积分一次即得到.例1 求的通解.解；特征方程的根为，于是导出方程的通解为： 为求非齐次方程的一个特解，利用常数变易法，设代入原方程，得解之得然后各自积分，得所以原方程的通解为： 113 Euler 方程从前面的讨论中可以看出，二阶常系数常微分方程的通解至少可以用已知函数的积分来表示，对于变系数的微分方程，其解则不一定可以用已知函数显式表达出来.但对于某些较为特殊的方程，

6、可以利用适当的变换得到解的显式表达，例如Euler 方程 二阶Euler 方程的一般形式为： （1.8）根据方程的特点，作自变量代换，并记，则由复合函数的求导法则有：，将上述两式代入（1.8）中可得： （1 .9）而这是我们熟悉的二阶常系数非齐次微分方程，利用所学过的方法可以求出其通解，进而得到(1.8)的解.例2求解方程解：设，则记.将其代入原方程得；即 其特征方程为：，特征根：（1）（2）所以，原方程的通解为： 这个结果将在后面的学习内容中用到.12 常微分方程的特征值问题常微分方程的特征值问题对于我们来说是一个新的概念，在数学物理方程定解问题的求解中起着非常重要的作用.121 常微分方程

7、的特征值问题的提法 对于二阶常系数常微分方程的边值问题，如果方程和边界条件都是给定的，则该边值问题是可以求解的.例如： . （1.10）对于给定的常数和函数，我们可以求出它的唯一解，当然，对于，所得到的解的性质也是不同的.特别地，如果，则（1.10） 成为： . （1.11）对于任意的常数总是方程的解，我们称之为平凡解，但这种解对于方程而言意义并不大.问题：是否存在常数使得边值问题（1.11）有非零解？定义1：如果存在常数使得边值问题（1.11）有非零解，则称为边值问题（1.11）的特征值，相应的非零解称为对应于的特值函数.边值问题（1.11）也就称为特征值问题.对于不同的边界条件，我们还有其

8、它结构的特征值问题，具体如下： . （1.12） . （1.13） . （1.14）122 特征值问题的求解特征值问题的求解是直接从定义出发来讨论什么样的能使得边值问题有非零解.具体求的步骤可以分成如下三步：（1） 对不同范围的，给定微分方程的含有两个任意常数的通解；（2） 由对应的边界条件确定任意常数得到定解问题的解；（3） 确定的值，使得到的定解问题的解非零.确定了的值后，相应的定解问题的非零解就是对应于的特征函数.特征值也称为本征值；固有值，特征函数也称为本征函数；固有函数.我们以（1.13）为例讨论该边值问题的特征值和特征函数.例3求的特征值和特征函数.解：方程的通解结构随的取值而不同

9、.（1），由边值条件可得：解之得：，即.所以，不是特征值.（2），由边值条件可得：为任意常数.所以是特征值，为相应的特征函数.（3），由边值条件可得：要使则要求，由此得，所以，特征值为，相应的特征函数为，根据类似的步骤，我们可以得到其他三类特征值问题的特征值和特征函数，为以后使用方便，现将这四类边值问题的特征值和特征函数汇总于下表1.1中；表1.1 四类边值问题的特征值和特征函数问题特征值特征函数n 的取值（1.11）n =1,2,.（1.12）n =0,1,2,.（1.13）n =0,1,2,.（1.14）n =0,1,2,.除了上述四类边值问题外，对于方程，还有由其他边界条件构成的边值问题

10、.例如：直线型构件在一端与外界存在热交换：交换的热流量的大小与两种介质的温度差成比例.这类边界条件可表示为：.相应的特征值问题如下； . （1.15）其中，利用与前面类似的方法进行讨论：（1）不是（1.15）的特征值；（2）当时，记.则方程的通解为：再由边界条件知在的情形下，有，记，则满足如下方程： (1.16)图1-1这是一个超越方程，它的根不能直接表达，但根据图解法（图1-1）可以很容易地得到(1.16)所具有的基本性质：（1） 方程有无穷多个正根；（2） 时，.显而易见，特征根的分布同样具有上述的两条性质.从而（1.15）的特征根和特征函数为： （1.17）123 周期边界条件的特征值问

11、题设函数在上有定义且以为周期，因为不是定义在有限区间上，因此不存在如前所讨论的边界条件，但由于其周期性，我们考虑如下的地二阶常系数齐次线性微分方程的定解问题： （1.18）其定解条件为，称之为周期边界条件.定解问题（1.18）的求解方法与前面的类似：（1），显然不是周期函数，不满足周期边值条件.所以，不是特征值.（2），由周期边值条件可得：为任意常数.所以是特征值，为相应的特征函数.（3），由边值条件可得：，为正整数.因此，特征值，对应的特征函数.13 几个常用的积分公式本节我们主要给出在高等数学课程中学习过的几个重要的积分公式，这些公式将在我们的课程中得到应用.1 平面区域上的格林（Gree

12、n）公式：设二元函数在平面有界闭区域上具有一阶连续偏导数，则 ， （1.19）其中是区域的正向边界曲线.2斯托克斯（Stokes）公式：设函数在包含空间有向曲面的空间区域上具有连续的偏导数，是上指定侧的单位向量，则 (1.20)其中为有向空间曲线的正向，其方向与的侧构成右手系.根据两类曲面积分之间的关系，我们有等价的表达形式： (1.21)3 高斯公式（Gauss）设空间区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则 (1.22)这里是的整个边界曲面的外侧.利用高斯公式，我们容易得到如下的格林第一、第二公式.4 格林第一公式设是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，是的整个边界曲面的外侧，依次表示沿的外法向的