自动控制原理复习资料卢京潮版

1、第二章：限制系统的数学模型§ 2.1 引言系统数学模型一描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式建模方法机理分析法实验法(辩识法)本章所讲的模型形式时域：微分方程复域：传递函数§ 2.2 制系统时域数学模型1、线性元部件、系统微分方程的建立(1) L-R-C 网络RUcLuc1一UcLC(2)弹簧一阻尼器机械位移系统分析A、B点受力情况由 k1(Xi Xa) kXA解出 XA Xik-2Xok11一UrLC代入 B等式：f(Xi Xo x0) k2X0k1一阶线性定常微分方程得：f k1 k2 x0 k1k2x0 fk1xi(3)电枢限制式直流电动机电枢回路：U

2、a R i Eb一克希霍夫电枢及电势：Eb Ce m一楞次力矩方程：Jm m fm m Mm 牛顿消去中间变量有:消去中间变Tmllk1k2k3k4kmik1k2k3kmua 一二阶线性定常微分方程3 33 3 HI a即：l lTmk1k2k3k4kmTmk1k2k3kTmmUa电磁力矩：Mm Cm i一安培2、线性系统特性满足齐次性、可加性线性系统便于分析研究.在实际工程问题中,应尽量将问题化到线性系统范围内研究.非线性元部件微分方程的线性化例：某元件输入输出关系如下,导出在工作点0处的线性化增量方程解：在.处线性化展开,只取线性项：令 y y -y o得 y Eosin 03、用拉氏变换

3、解微分方程l 2l 2l 2ua(初条件为0)复习拉普拉斯变换的有关内容1复数有关概念(1)复数、复函数复数sj复函数F sFxjFy例：Fss22j(2)复数模、相角(3)复数的共腕(4)解析：假设F(s)在s点的各阶导数都存在,称F(s)在s点解析 2拉氏变换定义3几种常见函数的拉氏变换1.单位阶跃：1t2.指数函数：f(t)0 t 0ate t 03.正弦函数：f(t)0sin t4拉氏变换的几个重要定理(1)线性性质:Laf1(t) bf2(t)aF(s) bF2(s)(2)微分定理：L f t s F s f 0进一步：L f n tnn-1n-2n-2n 1sFs sf0 sf0

4、L sf 0 f 0零初始条件下有：Lfn t sn Fs例 2:求 L cos t解:cost 1L sin t(3)积分定理:,1L f t dt - Fss1 ,1f -1 0(证略)s零初始条件下有:1 .t dt - F ss进一步有:例 3:求 Lt=?解:t dt例4:求L解:tdt(4)位移定理实位移定理:例 5: f t(J解：f(t)1(t)1(t1)虚位移定理:L eatF s- a(证略)例6:求 Leat例7:-3tL e cos5ts 37-272s s 3 s 35例8:L e 2tcos(5t-)L e 2t cos 5(t -)(5)终值定理(极限确实存在时)

5、证实：由微分定理 f t e stdt sFs f 00lim sF s f 0s 0取极限：lim f t e stdts 00:有：flim sFs 证毕s 0例 9: F s例 10: f sin 11 lim s2 0t s 0 s2拉氏变换附加作业一.f(t),求F(s尸？二.F(s),求f(t尸？5.拉氏反变换 j.(1)反变换公式：f(t) 一F(s).estds2 j j(2)查表法一一分解局部分式(留数法,待定系数法,试凑法)微分方程一般形式:F(s)的一般表达式为:(I)来自:C aC(n-1)aC C b°r(m) b1r(m-1)bm.1r bmr其中分母多项

6、式可以分解因式为：A(S) (S P1)(S P2) (S Pn)(II)Pi为A(s)的根(特征根),分两种情形讨论：I: A(s) 0无重根时：(依代数定理可以把F(S)表示为：)即：假设G可以定出来,那么可得解：而 G计算公式：(明G lim (s Pi).F(S)S PiCiB(s)A (s)s Pi(5)(说明(田)的原理,推导(田)s 2例 2: F(s) 求 f(t) ?s 4s 3解：F(s) S上一 旦 旦(s 1)(s 3) s 1 s 3,一S25s 5例 3: F(s),求 f(t) ?s 4s 3解：不是真分式,必须先分解：(可以用长除法)例 4: F(s) 2 S

7、3s2 2s 2s 3(s 1-j)(s 1 j)CiC 2s 1 - j s 1 j解法1 tjt-jt-e (2 j)e (2 j)ejt jtjt jtesint, e cost)2j2j解法二:II : A(s) 0有重根时:设Pl为m阶重根,Sm 1, Sn为单根.那么Fs可表示为：其中单根Cm 1, Cn的计算仍由1中公式田田来计算.重根项系数的计算公式：说明原理例 5 F(s)s 2s(s 1)2(s 3)求 f(t) ?解：F(s)2F旦“三(s 1) s 1 s s 33.用拉氏变换方法解微分方程.例：| 2| 2l 2Ur解：L: s22sz L(s)-s举例说明拉氏变换的

8、用途之一一解线性常微分方程,引出传函概念.如右图RC电路：初条件：Uc0 Uco输入 Urt Eo.1t依克西霍夫定律:L变换:依(*)式可见,影响CR电路响应的因素有三个:1:输入ur2:初条件比0分析系统时,为在统一条件下衡量其性能输入都用阶跃,初条件影响不考虑3:系统的结构参数一一只有此项决定系统性能 四义零初条件下输入 /出拉氏变换之比(不随输入形式而变)CRs 1 Ur(s)§ 2-3线性定常系统的传递函数一一上述C R电路的结论适用于一般情况般情况下：线性系统的微分方程:C(n)(t)aiC(n-1) (t)简单讲一下：传递函数的标准形式:an-iC(t)anC(t)b0

9、rg(t)“飞bm/(t)bmKt)r _ |lewI： D(s)为首1多项式型：G(s)上工 上S 1 ST* . . .K :根轨迹增益II: D(s)为尾1多项式型:G(s)KTS 1K :开环增益开环增益的意义:般情况下:首1型:G(s)*K (s 乙)(s Zm) s(s Pi) (s Pn-l)K*sm b；sm1* n l 1a1 s尾i型:G(s)K(iS 1) (mS 1)s (T$1)(Tnls1)b0sml n ls a0sm 1b1sn l 1a1s由(1)式:b,*bman-im(i 1n-l(i 1乙)Pi)乙为零点Pi为极点比拟(1)(2): K.*bm* an-

10、l.*b * m7 Kan-li 1 n-l(Pi)i 1Zi) 首1型多用于根轨迹法中.尾1型多用于时域法,频域法中.传递函数定义:条件c(0) c(0)r(n 1)(0)c(m 1)(0)定义:有关概念：特征式,特征方程,特征根零点乙使G(s) 0的s值R(s)G(S)C(s)使G(s) 的s值分子：(*)式R(s)前面的系数极点Pj身的结构参数 注(1)为何要规定零初始条件？分析系统性能时,需要在统一条件下考查系统：输入：都用阶跃输入.初条件：都规定为零一一为确定一个系统的起跑线而定 .那么系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数)(2) 为何初条件可以为零？1)我们研究系统的响应,都

11、是从研究它的瞬时才把信号加上去的.2)绝大多数系统,当输入为0时,都处于相对静止状态.3)零初始条件是相对的,常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化时)(3) 零初条件的规定,并不阻碍非零初条件时系统全响应的求解可以由G(s)回到系统微分方程,加上初条件求解.传递函数的性质:1. G(s):复函数,是自变量为s的有理真分式(m& n)ab均为实常数.m<n的解释：1) .实际系统都存在惯性,从微分方程上反映出来,即 C(s)的阶次比R(s)阶次高.反映到G(s)上即有分母阶次n方分子阶次m.2) .反证法：设m>n那么：说明：2. G(s):只与系统本身的结构参数有关与输入

12、的具体形式无关.输入变时,C(s)=G(s)R(s)变,但G(s)本身并不变化但G(s)与输入、输出信号的选择有关.r(t),c(t) 选择不同,G(s)不同.(见前CR电路.)3. G(s)与系统的微分方程有直接联系r(t) (t)4. G(s) L k(t) -G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换5. G(s)与系统相应的零极点分布图对应G(s)的零极点均是复数,可在复平面上表示：假设不计传递函数,G(s)与其零极点分布图等价.VS1J1me-3 -2 -1 0例：G(s)K (s 2)一 2 一 一(s 3)(s2 2s 2)G(s)系统零极点分布图系统性能稳定性；动态特性.假设当系统参

13、数发生变化时,分析其特性：1)用解微分方程法十分繁琐一一一个元部件参数改变,影响ai, bi,得反复解2)假设掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性,那么当某个元部件的参数改变 时,ai,bi变化,零极点位置变化,系统性能的变化规律就能掌握了,这样, 我们可以有目的地改变某些参数, 改善系统的性能,且免除了解微分方程的 烦恼.一一这是为什么采用 G(s)这种数模的原因之一.三.采用传递函数的局限：1. G(s)原那么上不反映 C(0)金0时的系统的全部运动规律.(虽然由G(s)转到微分方 程,可以考虑初条件的影响.)2. G(s)只适用于单输入,单输出系统.3. G(s)只适用于线性定常系统一

14、一由于拉氏变换是一种线性变换 .Ur(t)RCUc(t) a(t).Uc(t) Buc(t) UcUr(s) RCUc(s) s L a(t).Uc(t)BL u?t) u«而 L a(t) UcA(s) Uc(s)例：L Uc(t) UcsUc2(s)使U c(s)/U(s)不能得出传递函数是古典限制理论中采用的数学模型形式,经常要用(典型元部件传递函数略讲,重点以伺服电机引出结构图的概念)例1某系统,当输入为r(t) 1(t)时,输出为C1 -et -e4t 33求：1)系统传递函数G(s) ?2)系统增益？3)系统的特征根及相应的模态？4)画出系统对应的零极点图；5)系统的单位

15、脉冲响应k(t) ?6)系统微分方程；7)当 c(0)1,c(0) 0,r(t)1(t)时,系统响应 c(t) ?解1)C(s)R(s)2(s 2)(s 1)(s 4)(2s D1(s 1)(-s 1)42)由式,增益K=13)由式：特征根模态t e4t e4)零极点图见右IS5) k(t) L R0(R SC) G(s)6) G(s)C(s) 2(s 2)R(s) (s 1)(s 4)-不受零初始条件限制L 1 : c(t) 5c(t) 4c(t) 2r(t) 4r(t)7)对上式进行拉氏变换,注意代上初条件例2系统如右图所示 G0(s)方框对应的微分方程为求系统的传递函数Uc“小Ur解：对

16、G0(s)相应的微分方程进行拉氏变换(T°s 1 )U c(s)Go(s)KoUa(s)Uc(s) KoUa(s)Tos 1又由运算放大器特性,有u0 0 ,i0 0Ua(s)Ur(s) Uc(S)R 1 R0 RsC 1x有4.典型元部件的传递函数1.电位器无负载时2 .电桥式误差角位置检测器3 .自整角机注自整角机与电桥式误差检测器功能相同1前者工作于交流状态,后者直流2自整角机无摩擦,精度高3自整角机1, 2可以大于3604 .测速发电机5.1直流测速发电机U(s)楞次定律G(s) Us) kt2交流发电机电枢限制式直流电动机结构同发电机楞次定律：Eb kb. 3克希霍夫：Ua

17、 Ri Eb安培定律：Mm Cm.idJ m . M m fm. 2牛顿te律：dt利用前四个方程中的三个消去中间变量 Eb,i,Mm得出:TmJmRRfm kb.Cm时间常数UnKmcmRfmkb-cm传递系数Gi(s)G2(s)KmTmS 1KmQ (s)Ua(S)同一系统输入输出量选择不同有不同形式的传递函数O (s)S(TmS 1) U a(s)假设分别对每一个方程分别求传递函数,那么可构成以下结构图:分析问题的角度不同,同一系统可以有不同形式的结构图,但彼此等价.此图清楚的说明了电动机内部各变量间的传递关系,经简化后可得上面形式结构图6.两相交流伺服电动机堵转力矩：Ms cm.ua机

18、械特性：Mm Ms c/3牛顿定律：Mm Jm3 fm.3利用前两式消去Mm,Ms可得：分别各式进行拉氏变换得：方框图7.齿轮系：传动比iZiCl)2负载轴上的粘滞阻尼,惯量向电机轴上的折算:对于电机轴：Ji3 M m M1fi 3Mi为负载轴转矩对于负载轴： J 2 屹 M 2 f 2 M2在啮合点：Fi F2又有：巨亘i4叫 ri Zi利用4式中的3个,消去中间变量M1,M2, 2,得出Mm 1之间关系一般地,有多级齿轮转动时： Z.可见：由于一般减速器总有一二i 1Z 1越靠近电机轴的惯量、粘滞摩擦,对电机轴的影响越大,远离电机轴的负载影响那么较小假设一级减速比i1很大,那么负载轴的影响

19、可以忽略不计8.调制器,解调器用于1交、直流元件协调工作时2交流元件,但工作频率不同时交直流的元件各有其优点,都要用直流工作时,工作点不易隔离,易漂移 交流元件有时要屏蔽,否那么干扰较大调制：把直流或低频信号驮在交流元件的工作频率上的过程解调：把驮在交流元件频率上的有用低频或直流信号取出来的过程一般不考虑调制、解调器的动态过程,认为其传函为15.典型环节依上讨论可见：输入输出信号选择不同,同一元部件可以有不同的传递函数.不同的元部件可以有相同形式的传递函数1 .环节一一把传函形式相同的元部件归并在一起的分类一一具有抽象性,概括性.如,电位器,自整角机,测速发电机等等.同属比例环节.2 .典型环

20、节及其传递函数序号微分方程划、节名称传递函数例1比例划、节电位器,放大器,自整2惯性划、节CR电路,交、直流电动机3振荡环节R-L-C电路,弹簧质块阻尼系统4积分划、节减速器r c5微分环节测速发电机r Uc6一阶复合微分划、节7二阶复合微分划、节注:1 环节与部件并非一一对应,有时一个环节可代表几个部件,有时一个部件可表成几个环节2任一个系统的传递,可以视为典型环节的组合如：GsK(s 2)2 2s(Ts 1)( Ws2 2 1 1)6.负载效应问题：传递函数要在系统正常工作,考虑负载影响条件下推导出来例如右电网络,当两级相联时:Uc Uc U11 (R2cle2s2 C1s C2s).2U

21、r U1 UrR1 (R2c2s 1)3百2 Cg Czs)当两级断开时:sG1RsC1 1sCisC2R21sC21R2c2s 1而区幺5Ur U1 Ur1(RsG 1)(R2c2s 1)RRCGs2 (R1C1 R2c2)s 1Q)比拟(1)(2),可见两式不等.二.当两级相联时,后级有分流,对前级有负载影响.2典型环节及其传递函数序号微分方程划、节名称传递函数G(s)例1比例划、节电位器,放大器,自整角机2惯性划、节CR电路,交、直流电动机3振荡环节R-L-C电路,弹簧质块阻尼系统4积分划、节减速器(Q9C )【c5微分环节测速发电机6一阶复合微分环节7二阶复合微分环节五、求G(s)时须

22、注意的问题一一负载效应要在系统正常工作的条件下考虑其传递函数,把后一级对前一级的负载效应考虑进去例：如右电路,求G(s)Uc(s)Ur(s)解1当成整体看:回路 I ： ilRli2R2Uc Ur回路 II： u1i2R2uc节点 a： i1i2i3123电容C1:i3C1曲1131 dt心 - duc/、电谷C2： %C2dt一：isG R2.生Ucdt-：i3C1R2c2UcCiUc(7) 一(3): ii C21 C1C2R21 Ci Uc(8)(8) 一(1): CiCzRzUc (Ci C2)UcRi C2UcR2 Uc Ui即：C1c2Ruc (CR C2R C2R2)uc Uc

23、UiL 变换：CQ2R2S2 (CiRi C2Ri C2R2)s iUc(s) Ui(s)所以,G(s)2C1c2R2s (Ci RC2RC2R2)s 1解2:分解成两局部看：对后一局部：Ui i2R2 Uc变换：(C2R2s i)Uc(s) Ui(s)所以 Gi(s)Uc(s)U2(s)C2R2s 1同理对前一局部:G2(s)Ui(s)Ur(s)1CRs 1G(s)Uc(s) Uc(s)U1(s)Ur(s)U1(s) Ur(s)G1(s)G2(s)C2R2s 1C1Rs 1C1C2RR2s2 C2R2s C1R1s 1比拟：分母少一项CzRs-解2中未考虑前一级的负载效应(3)积分定理:Ms

24、 C m U aMmMsC m消去 Ms,Mm q m m &UaJ mm fnM m§ 2.4限制系统的结构图及其等效变换1 .结构图的组成及绘制(1)组成：信号线；方框(环节);比拟点；引出点.电磁力矩：Mm Cm?i安培?力矩平衡：JmfmM m牛顿工作原理图一方框图一结构图例：x-y记录仪:2 .结构图的等效变换和化简:1） .环节串联:2） .环节并联:3） .反应等效:.比拟点、引出点的移动.1TT_ 川RJm£ +fmru引出点换位:S儿-fcTp f 比拟点前移:UaKm移： STmS+l一Gs 土1/G12引出点前移:引出点后移:比拟点、引出点换位

25、:例2: x-y记录仪结构图如下：求-L垃Us作业题216讲解：以便解决作业问题调速系统工作原理图见课本P67图2-57(1)依运算放大器原理R速度调节器：G(s)C1SRC1S 1RC1S电流调节器：G2(S)(2)依题画结构R21CSR2c2 s 1RC2sraa：(3)等效化简：(略)例3.化简结构图：求C0R(s)解(1)：等效变换法:例5:化简结构图.求2R(s)弱侬现前向通道G4好G近&+G$) J44幽迎庖&虱回路=叼尔时痴?解(2):梅逊公式法:例8:化简结构图,求系统传递函数 C0 ?R(s)顺着信号流动方向不能走重复的路线2.5信号流图（1） .信号流图的组

26、成（2） .信号流图与结构图的关系信号流图结构图前向通道数：1; 回路数：41、田不接触源节点一一输入信号阱节点一一输出信号混合节点引出点,比拟点支路环节支路增益一一环节传递函数前向通道从源节点到阱节点回路信号流动形成的封闭回路互不接触电路无公共点或公共支路信号流图一结构图结构图一信号流图 前向通道路：1回路数：34.梅逊公式用梅逊公式,可不经过任何结构变换,一步写出系统的传递函数nR i(1)公式：(s) 口其中： 1LiLLj LiLjLk称为特征式pi :从输入端到输出端第k条前向通路的总传递函数i：在 中,将与第i条前向通路相接触的回路所在项除去后所余下的局部, 称为余子式Li :所有

27、单回路的“回路传递函数之和LiLj ：两两不接触回路,其“回路传递函数乘积之和LLjLk ：所有三个互不接触回路,其“回路传递函数乘积之和“回路传递函数指反应回路的前向通路和反应通路的传递函数只积并且包含表示反应极 性的正负号.(2).举例：例1：共有4个单回路:只有II、III两个回路不接触:LLj 1 GiG2G3G4G5G6儿G2G3G4G5H2H3G2G3H2G4G5H3G3G4H4只有一条前向通路 p1G1G2G3G4G5G6所有回路均与之接触1 1例2:有五个回路：两条前向通路：例3:L1 L 2L5CRs5Li有五个单回路：并且CRs可找出六组两两互不接触的回路：In ； 1 -

28、 m ； i - v ； n- m； m- iv； iv-v有一组三个互不接触回路i - n -m前向通路一条：p1133 3CRs例4:回路4个：LiG1H1G2H2G1G2H3G3H3两两不接触回路两个：I - n , n- iv前向通道两条: 例5系统结构图,求C(s) ?R(s)解：本结构图有2条前向通道,6个回路(其中I , V两回路不相交)1 H G2 G1 GG ( G3) ( G3) ( G3).( H)1 H G2 G1 G1G2 G3HPi G1G2； 11例6 求P2G3； 2 1 H小G1G2 G3(1 H)(s)1 H G2 Gl G1G2 G3HC(s) 9 ?R(

29、s)解：共有3个单回路(全部有公共接触局部)前向通道共有6条:由梅逊公式:例7系统结构图1),画出系统信号流图2) .求&SL也R1(s) R2(s)解：1).2).例 6 求包s) ? Cis)- ? R(s)N(s)刎1 G1G2H1 G2H2H3 H3H4 ( GiG2Hl)( H3H4)解：/1=1 G1G2H1 G2H2H3 H3H4 G1G2H1H3 T4 F1 G1G2；1 1 ( H3H4)对 R(s) ：C(s)G1G2CI H3H4)R(s)Pn1G3；n1 1 ( H3H4)对 N(s) ：Pm G2；n2 1 ( H3H4)C(s) (G2 G3)(1 H 3H4) N(s)1 H 以 G巡)-*-感 Hj -H2ts)- sj|-*例 7 求 C(s)/R(s) ?G3 一解：1 G1 G2 ( G)( G2) 11G1 G2讨一个:T