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1、每日一题 677 椭圆的“垂径定理”已知椭圆()，为椭圆内不在坐标轴上一点 过作不过原点的直线交椭圆于两点，恰为的中点，过作的垂线交椭圆于两点，为弦的中点记到直线的距离为，求的最大值分析与解不妨设，则根据椭圆的“垂径定理”，可得直线的斜率为，于是进而由，可得设，则由椭圆的“垂径定理”，有又于是因此记()，则等号当且仅当时取得因此所求的最大值为我们都知道垂径定理是圆的重要性质，其内容为：已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径对于椭圆也有类似的性质，我们称之为椭圆的“垂径定理”，描述如下：已知不过原点OO 的直线与椭圆x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1 交于AA 、BB

2、 两点，MM为弦 ABAB 的中点，则直线AB AB 与直线 OM OM 的斜率之积kAB?kOM =- b2a2.kAB?kOM=- b2a2.注一当 a=b=ra=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；注二这里并不要求a>ba>b ，也就是说此结论对焦点在x x 轴和焦点在 y y轴上的椭圆均适用；注三双曲线 x2a2- y2 b 2=1x2a2- y2b2=1 的垂径定理中的斜率之积kAB?kOM =b2a2.kAB?kOM=b2a2.点差法是证明这一性质的最好方法：设 A(x1,y1 )A(x1,y1)， B(x2,y2)B(x2,y2)，则x 21a 2+y2 1b 2=1x22a2+y2 2b 2=1x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1两式相减，有x21- x22a2+y21- y22b2=0,x12- x22a2+y12 - y22b2=0,两边同时除以 x21- x22x12 - x22，并化简可得y21- y22x21- x22=- b2a2,y12- y22x12 - x22=- b2a2,利用平方差公式变形，有y1- y2x1- x2?y1+y22- 0x1+x22- 0=- b2a2, y1- y2x1- x2?y1+y22- 0x1+x22 - 0=- b2a2,此即欲证性质

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