数学简单三对角矩阵矩阵行列式的基本探究

1、简单三对角矩阵矩阵行列式的基本探究云鹏(21)指导教师：厚彪【摘要】三对角矩阵的行列式的计算在行列式的计算中占据特殊地位，由于三对角矩阵具有明显 的规律性但其行列式运算又有一定的难度经常成为出题的热点，本篇小论文绐简单三角矩阵行列 式运算做出基本解法，并通过三对角短阵得到一组Cos (nx)与Sin(nx)的简明展开公式。【关键词】三对角矩阵；矩阵；数列递推；三角函数；斐波那契数列1 .引言在进行行列式计算之前我们先探究一下斐波那契数列通项公式的计算方法。例1、现已知斐波那契数列满足如下关系：玲=1,6=1,居*=+居t，(21)，试求其 通项公式。初 易知对于1、2项为任意值但满足工* =

2、十21(？1)的数列的加法与数乘满足线性 解：空间八条条件。则存在满足用=工+41，(之1)的两个数列 、也。他们的任意为=屹;* W。)不 恒成立。则任意中的任意一项%勿使恒成立。鉴于工+1 = U，(训的递推形式，我们不妨设数歹-%、色为两组几何级数，其 公比分别为、生且=(%)、(%)”根据+|=1+*(叫可列方程qFW 化简可知qLq-i=o。又因为=1,再=i,可求得匕=正*2=-。2呼”阴又因为温=1,4=1,可求得占=4*2=-则斐波那契数列的表示为,=fl-V52我们简化上述求法为特征方程法。并可以广泛运用在三对角矩阵矩阵行列式的计算中。2 .简单三对角矩阵行列式的特征方程行列

3、式的计算说到底是一种值的计算，对于简单三对角矩阵更可以理解为一种数列afl的 通项公式计算。那么我们计算简单的三对角矩阵的行列式时，可以先按特定的行列展开得到一种 递推公式，然后根据递推公式进行计算，得出数列4的通项公式，其常用方法与斐波那契数 列的求法相似。7 5 0 - 002 7 5 0 0小 I 0 2 70 0例2、计算|An|二0 0 0 - 750 0 0 - 27解：设二川O0”旦U -凡 ， = (1户7噎+(-1门/2A2:从最后一仃展开“，可知n V 7n-1 V ；0。 0 5继续展开可知=7an/Tan.2。此时我们可以根据导论中的解法设出满足an=7an-|-，0a

4、n-2的两个等比数列, =(%)、C” =(%)” O可列方程qq+i=,并可解的q尸2电二5。 52又根据2尸7双=39。可知2尸( 5尸一丁2尸。附注：线性代数与空间解析几何学习指导的36页给出了本题另外一种解法。但该种运算具有一定的局限性：其特征方程必有两个不等根(对实根不做要求)。L就无法构成线性空间进行运算。2100012100例3、计算廿01200 O0002100012解：设工二川O0”以U，-田“鼻，心 = (-1r2%+(-A :从最后一仃展开 可知n V 7n-1 V /00 0 1继续展开可知an=2an/-an.2.可列方程q-2q+i=o,并可解的q尸q?二i此时无法

5、解出期的通项公式。可见此时特征方程的解法是失效的.an=an ran-2 an -an-l =an-ran-2 我们改写为an=n+l,之后就可以轻松得到00 1综上所述：简单三角矩阵的行列式的解可利用特征方程得到，特征方程失效的场合可以根 据递推关系轻松推得通项公式.g加1)0.00f(Dg(2)(2).00【小猜想：An| 二0f(2)g(3)00* . . . 也可以通过特征方程解出。】000.g(n-l)/?(n-l)000/(n-Dg(n)3 .三角函数的n次展开。关于三对角矩阵的行列式的证明题又颇为经典的一道。COSX100012cosx1 00012cosx 00例 4、证明cs

6、nx=|4|二 . 000.2cosx100012 cosx解：设4二|An|从最后一行展开3可知/=2际*%+(-1片0. 0继续展开可知 =2cOSXan-ran-2。COS X100012 cosx1 00I 4 I012cosx 00接下来我们把cs nx=|4| 二 . * * 视作已知探究000.2 cosx100012 cosx接下来的证明可由数学归纳法与三角恒等变形求得，此处略。(详见线性代数与空间解析几何学习指导48页)cos(nx)的展开式0由已得到的递推公式an=2cosxanan.2,可列方程q-2cosx q+l=0。解得 q=cosxJl-(cosx)-i q=co

7、sxsinxi(cosx + sin xi) +(cosx-sin xi) 经计算cos nx=-于是我们就得到了用复数表示的cos nx的展开式。既然cos nx可展开，我们有足够的理由相信sin nx也可以以类似方式展开。 利用三角恒等变形我们可以得到以下结果：sin nx=sin (n-l)x + x= sin(n-l)x cos x + cos (n-l)x sin x= sin(n-l)xcosx +sin xcos (n-2)x + x= sin(n-l)x cos x + sin xcosxcos (n-2) x-sinxsinxsin (n-2) x= sin(n-l)x co

8、s x+ sin 2xcos (n-2) x+ - cos 2xsin (n-2 )x- -sin (n-2) x222= sin(n-l)x cos x+sin nx- -sin( n-2) x化简可得sin nx=2 cos x sin (n-l)x-sin( n-2)x设 a“ = sinnx 可得 an=2cosxanj-an.2. i(cosx + sin xi)n -i(cosx-sin xi) 最终计算结果为sm僦=-sin nx=综上所述，我们可以得到cos nx=i (cosx + sin xi )n - i (cosx-sin xi )n2(cosx+sin xi)n +(

9、cosx-sin xi)2该表达式利用复数表达实数，并通过i的引入免去的cos nx的奇偶讨论，并使得任意角的三 角函数值理论上可计算。4 .通过特征方程构造简单三对角矩阵行列式谈完了简单三对角矩阵行列式的求解，我们接下来谈谈简单三角行列式的构造。我们以构造简单三对角矩阵行列式.口二|4|为例。设叫=smnx ,由中论述可知an=2cosxanan_2。0 00An) 0 0_ An.1-并将递推公式改写为一：十：000 k.00 2cosx00k, 0其中1*2应满足大出2 = 1。我们不妨令卜尸及2二1。0则V O0 1 2cosx sinx 0又因为递推公式从第三项开始生效，可写出% = Hnx|, a2= 0 2cosxsin x000002cosx1 00则可知sm nx=|A.| =012